中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义07 不等式（组）（教师版） 25页

不等式（组） 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 不等式的有关概念和性质 不等式的定义：用符号“  ”或“  ”表示大小关系的式子，叫作不等式.像 a  3 这样用符号“  ”表示 不等关系的式子也是不等式。 【注意】 1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。 2.常用的不等号有“ , , , ,     ”五种.“  ”“  ”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边 的大小；“ ”“ ”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等 于）；“  ”表示左右两边不相等。 3.在不等式 a>b 或 ab，则 a+c>b+c，a-c>b-c。 基本性质 2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于 0 的整式，不等号方向不变，即 若 a>b,c>0，则 ac>bc（或 ） 基本性质 3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的整式，不等号方向改变，即 若 a>b,c<0，则 acb，则 bb>c，则 a>c。 基本性质 6：如果 a b ，c d ，那么 a c b d   . 【注意】 1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质 2 和性质 3 的区别，当不等式两边乘（或 除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。 2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。 不等式性质与等式性质的相同和不同点： 相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子 不同点： 1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立 2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向 发生改变； 解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。 【典型例题】 1．（2019·阜宁县容山中学初一期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A．x  y B． 2 2 0a b  C． 1 1x  D． 3 4 x  4 03  【答案】D 【详解】 A、是二元一次不等式，故错误； B、是二元二次不等式，故选项错误 C、含有分式，不是一元一次不等式，故选项错误； D、是一元一次不等式， 故选 D. 2．（2019·重庆市南坪中学校初二期中）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ） ① 5x  ，② ( 5) 5x x   ，③ 1 5x  ，④ 2 5x y y   ，⑤ 2 5a   ，⑥ 3 yx  A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】A 【详解】 ① 5x  是一元一次不等式；② ( 5) 5x x   是一元二次不等式；③ 1 5x  是分式；④ 2 5x y y   是二元 一次不等式；⑤ 2 5a   是一元一次不等式；⑥ 3 yx  是二元一次不等式，故正确的有两个故选 A. 【考查题型】 考查题型一 不等式性质的应用 1．（2019·四川中考真题）若 m n＞ ，下列不等式不一定成立的是（ ） A． 3 3m n ＞ B． 3 3m n﹣ ＜﹣ C． 3 3 m n D． 2 2m n＞ 【答案】D 【详解】 解：A、不等式的两边都加 3，不等号的方向不变，故 A 错误； B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故 B 错误； C、不等式的两边都除以 3，不等号的方向不变，故 C 错误； D、如 2 22 3m n m n m n＝ ， ＝﹣， ＞ ， ＜ ；故 D 正确； 故选：D． 2.（2019·浙江中考真题）已知四个实数 a，b，c，d，若 a>b，c>d，则（ ） A．a+c>b+d B．a-c>b-d C．ac>bd D． a b c d  【答案】A 【详解】 A. ∵a>b，c>d，∴ a+c>b+d，正确； B.如 a=3,b=1,c=2，d=-5 时， a-c=1，b-d =6，此时 a-c或<”时，边界点为空心，若符号为“≥或≤”，边界点为实心。 3、 定方向时要注意“小于向左，大于向右”。 解一元一次不等式的一般步骤： 1 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为 1 解一元一次方程和解一元一次不等式的区别： 一元一次方程 一元一次不等式 解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数 （或式子），方程的解不变 方程的两边乘（或除以）同一个 不为零的数，方程的解不变 不等式两边加（或减）同一个数（或式 子），不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变 解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项； ④合并同类项；⑤未知数的系数 化为 1 ①去分母；②去括号；③移项；④合并 同类项；⑤未知数的系数化为 1 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除 以）是负数，不等号要改变方向 解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解 【典型例题】 1．（2018·广东中考模拟）不等式 2x－5≥－1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：不等式 2x-5≥-1 的解集为 x≥2． 故选 B． 2．（2019·太原市第五十三中学初二期中）用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ） A．x≥-2 B．x≤-2 C．x＜-2 D．x＞-2 【答案】D 【详解】 解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示-2 的点是空心圆点 ∴x＞-2 故选：D． 3．（2019·河北初一期末）已知 ൅ ͵ ，要使 是负数，则 的取值范围是（ ） A． ൅ B． ൅ C． 㘸 ൅ D． 㘸 ൅ ൅【答案】A 【详解】 ∵ ൅ ͵ ∴x= 㘸 ൅∵ 是负数， ∴ 㘸 ൅ ＜0 解得 ൅故选 A. 【考查题型汇总】 考查题型二 求一元一次不等式的特解的方法 1．（2019·江苏中考真题）不等式 1 2x   的非负整数解有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【详解】 解： 1 2x   ， 解得： 3x  ， 则不等式 1 2x   的非负整数解有：0，1，2，3 共 4 个． 故选：D． 2．（2019·内蒙古中考模拟）不等式 3（x﹣1）≤5﹣x 的非负整数解有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】 解不等式得：3x﹣3≤5﹣x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非负整数解有 0、1、2 这 3 个，故答案选 C． 3．（2017·广东中考模拟）如图，直线 y x m   与  4 0y nx n n   的交点的横坐标为 2 ，则关于 x 的 不等式 4 0x m nx n     的整数解为（ ）. A． 1 B． 5 C． 4 D． 3 【答案】D 【详解】 当 0y  时，对于  4 0y nx n n   ，则 4x   ．故 4 0nx n  的解集为 4x   ． y x m   与  4 0y nx n n   的交点的横坐标为 2 ，观察图象可知 4x m nx n    的解集为 2x   ． 4 0x m nx n     的解集为 4 2x    ． x 为整数， 3x   ． 4．（2019·内蒙古中考模拟）不等式 3 1 22 x    的最小整数解是__． 【答案】0 【详解】 解 3x 1 22    的解集为 x＞-1， ∴最小整数解为 0 考查题型三 确定不等式中字母的取值范围的方法 1．（2019·黑龙江中考真题）已知 x=4 是不等式 ax-3a-1＜0 的解，x=2 不是不等式 ax-3a-1＜0 的解，则实数 a 的取值范围是____． 【答案】a≤-1. 【详解】 解：∵x=4 是不等式 ax-3a-1＜0 的解， ∴4a-3a-1＜0， 解得：a＜1， ∵x=2 不是这个不等式的解， ∴2a-3a-1≥0， 解得：a≤-1， ∴a≤-1， 故答案为：a≤-1． 2．（2019·四川中考真题）关于 x 的不等式 2 1x a  只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为（ ） A． 5 3a    B． 5 3a    C． 5 3a    D． 5 3a    【答案】C 【详解】 解：解不等式 2x+a≤1 得： 1 2 ax  „ , 不等式有两个正整数解，一定是 1 和 2， 根据题意得： 12 32 a „ 解得：-5＜a≤-3． 故选：C． 3．（2012·江苏中考模拟）已知关于 x 的不等式 x≥a-1 的解集如图所示,则 a 的值为__. 【答案】0 【解析】 由图可得 1x   ， 1 1a    , 0a  考查题型四 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法 1．（2019·河南中考模拟）若不等式组 1 3 0 x a bx      的解集是﹣1＜x≤1，则 a＝_____，b＝_____． 【答案】-2 -3 【详解】 解：由题意得： 1 3 0 x a bx      ① ② 解不等式 ① 得: x>1+a , 解不等式②得:x≤ 3 b  不等式组的解集为: 1+a＜x≤ 3 b  不等式组的解集是﹣1＜x≤1, ..1+a=-1, 3 b  =1, 解得:a=-2,b=-3 故答案为: -2, -3. 知识点三 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式 组的解集。 不等式组解集的确定方法： 【注意】 1、 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。 2、 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。 解一元一次不等式组的一般步骤： 1. 求出不等式组中各不等式的解集 2. 将各不等式的解决在数轴上表示出来。 3. 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 【考查题型汇总】 考查题型五 一元一次不等式组的解集的确定方法 1．（2018·湖南中考真题）不等式组 2 0 2 4 0 x x      的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解不等式 x+2＞0，得：x＞-2， 解不等式 2x-4≤0，得：x≤2， 则不等式组的解集为-2＜x≤2， 将解集表示在数轴上如下： 故选 C． 2．（2019·山东中考模拟）一元一次不等式组 2 0 11 03 x x     的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 详解：解不等式组 2 0 11 03 x x    ＋ 得－3＜x≤2， 在数轴上表示为： 故选 D. 3．（2019·江苏中考模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ） A． 2 3 x x     B． 2 3 x x     C． 2 3 x x     D． 2 3 x x     【答案】D 【详解】 由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为 2 3 x x     ， 故选 D． 4．（2019·广东中考模拟）不等式组 2 1 3 3 1 2 x x      ＜ 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 2 1 3 3 1 2 x x      ＜ ① ② ∵解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥-1， ∴不等式组的解集为-1≤x＜1， 在数轴上表示为： ， 故选 A． 考查题型六 求一元一次不等式组的整数解的方法 1．（2019·台湾中考真题）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋 糕，花费的金额不超过 2500 元．若他将蛋糕分给 75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元 购买蛋糕？（ ） A． 2150 B． 2250 C． 2300 D． 2450 【答案】D 【详解】 解：设阿慧购买 x 盒桂圆蛋糕，则购买 10 x 盒金爽蛋糕，依题意有     350 200 10 2500 12 6 10 75 x x x x        ， 解得 1 12 32 3x  ， x 是整数， 3x  ，  350 3 200 10 3    1050 1400  2450 （元）． 答：阿慧花 2450 元购买蛋糕． 故选：D． 2．（2019·四川中考真题）红星商店计划用不超过 4200 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100 元的商品共 50 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元，两种商品均售完．若所 获利润大于 750 元，则该店进货方案有( ) A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种 【答案】C 【详解】 解：设该店购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品 50 x 件， 根据题意，得：     60 100 50 4200 10 20 50 750 x x x x        ， 解得： 20 25x  ， ∵ x 为整数，∴ 20x = 、21、22、23、24， ∴该店进货方案有 5 种， 故选：C． 3．（2019·浙江中考模拟）如图，等腰三角形 ABC 的周长为 20cm，底边 BC 长为 y（cm），腰 AB 长为 x （cm）. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求 x 的取值范围； （3）腰长 AB=3 时，底边的长． 【答案】（1）y＝20﹣2x；（2）5＜x＜10；（3）14． 【详解】 （1）∵等腰三角形的腰长为 x，底边长为 y，周长为 20， ∴y＝20﹣2x， （2） 㘸 㘸 ， 解得：5＜x＜10． 所以 x 的取值范围为 5＜x＜10. （3）将 ͵ ൅ 代入 y＝20﹣2x 得 ͵ 㜳㐮 ，所以底边的长为 14. 考查题型七 求一元一次方程组中的待定字母的值 1．（2017·内蒙古中考模拟）若不等式组 㘸 㜳 㘸 ൅ 的解集为﹣1＜x＜1，那么(a+1)(b﹣1)的值等于_____． 【答案】4 【解析】 先解不等式组，再对照已知解集 㘸 㜳 㜳 ，即可求出 a、b 的值． 解不等式组，得 㜳 且 x ൅ 对照已知解集 㘸 㜳 㜳 有 㜳 ͵ 㜳 ൅ ͵㘸 㜳 解得 a ͵ 㜳 b ͵ − 㜳 㘸 㜳 ͵ 㜳 㜳 㘸 㜳 㘸 ͵㘸 2．（2012·四川中考真题）如果关于 x 的不等式组： ൅x-a ≥ x-b ≤ ，的整数解仅有 1，2，那么适合这个不等式组 的整数 a，b 组成的有序数对（a，b）共有___________个． 【答案】6 【详解】 ൅x-a ≥ x-b ≤ ， 由①得： a ൅ ；由②得： ． ∵不等式组有解，∴不等式组的解集为： a ൅ ． ∵不等式组整数解仅有 1，2，如图所示： ， ∴0＜ a ൅ ≤1，2≤ ＜3，解得：0＜a≤3，4≤b＜6． ∴a=1，2，3，b=4，5． ∴整数 a，b 组成的有序数对（a，b）共有 3×2=6 个． 3．（2018·四川中考真题）若不等式组 㘸 㘸 的解集为 1 1x   ，则 ͵ ________. 【答案】-1 【解析】 由不等式得 x＞a+2，x＜ 㜳 b， ∵-1＜x＜1， ∴a+2=-1， 㜳 b=1 ∴a=-3，b=2， ∴（a+b）2009=（-1）2009=-1． 故答案为-1． 考查题型八 求一元一次方程组中的待定字母的取值范围 1．（2018·山东省寿光世纪学校中考模拟）若不等式组 8 4 1x x x m      的解集是 x＞3，则 m 的取值范围是 （ ）. A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3 【答案】C 【解析】 详解： 8 4 1x x x m      ① ② ， 解①得，x>3； 解②得，x>m， ∵不等式组 8 4 1x x x m      的解集是 x>3， 则 m ⩽ 3. 故选：C. 2．（2019·四川中考真题）若关于 x 的代等式组 1 02 3 3 5 4 4( 1) 3 x x x a x a          恰有三个整数解，则 a 的取值范 围是（ ） A． 31 2a „ B． 31 2a „ C． 31 2 a  D． 1a„ 或 3 2a  【答案】B 【详解】 解不等式 1 02 3 x x   ，得： 2 5x   ， 解不等式  2 5 4 4 1 3x a x a     ，得： 2x a ， ∵不等式组恰有三个整数解， ∴这三个整数解为 0、1、2， ∴ 2 2 3a  ， 解得 31 2a  ， 故选：B． 3.若关于 x 的一元一次不等式组 x 2m<0 x m>2    有解，则 m 的取值范围为 A． 2m> 3  B． 2m 3  C． 2m> 3 D． 2m 3   【答案】C 【详解】 解 x 2m<0 x<2m x m>2 x>2 m      ， ∵不等式组有解，∴2m＞2﹣m. ∴ 2m> 3 .故选 C. 知识点四 列一元一次不等式（组）解应用题 列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”， 如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等. （2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量. （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式. （4）解：解出所列不等式的解集. （5）验：检验答案是否符合题意. （6）答：写出答案. 在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难 点.以上过程可简单表述为:  分析 求解 抽象 检验问题 不等式 解答 . 【考查题型汇总】 考查题型九 利用一元一次不等式（组）解决实际问题的方法 1．（2019·湖北中考真题）某县有 A、B 两个大型蔬菜基地，共有蔬菜 700 吨.若将 A 基地的蔬菜全部运往甲 市所需费用与 B 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从 A、B 两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表: （1）求 A、B 两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？ （2）现甲市需要蔬菜 260 吨，乙市需要蔬菜 440 吨.设从 A 基地运送 m 吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使 总运费最少？ 【答案】（1）A、B 两基地的蔬菜总量分别为 300 吨和 400 吨；（2）当 A 基地运 300 吨到乙市，B 基地运 260 吨到甲市，B 基地运 140 吨到乙市时，总运费最少为 14760 元. 【详解】 （1）设 A、B 两基地的蔬菜总量分别为 x 吨、 y 吨. 根据题意得： 700 20 15 x y x y     解得： 300 400 x y    ， 答：A、B 两基地的蔬菜总量分别为 300 吨和 400 吨. （2）由题可知： 0 260 0 300 0 400 (260 ) 0 m m m m           ∴ 0 260m  ∵  20 25(300 ) 15(260 ) 24 400 260w m m m m          4 14760m  . ∵4>0， ∴ w 随 m 的增大而增大， ∴ minw =14760. 答：当 A 基地运 300 吨到乙市，B 基地运 260 吨到甲市，B 基地运 140 吨到乙市时，总运费最少为 14760 元. 2．（2019·辽宁中考模拟）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的 2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且用于购买甲、乙两种图书的 总经费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？ 【答案】（1）乙图书每本价格为 20 元，则甲图书每本价格是 50 元；（2）该图书馆最多可以购买 28 本乙图 书． 【详解】 解：（1）设乙图书每本价格为 x 元，则甲图书每本价格是 2.5x 元， 根据题意可得： 800 800 242.5x x   ， 解得： 20x  ， 经检验得： 20x  是原方程的根， 则 2.5 50x  ， 答：乙图书每本价格为 20 元，则甲图书每本价格是 50 元； （2）设购买甲图书本数为 x ，则购买乙图书的本数为： 2 8x  ， 故  50 20 2 8 1060x x  „ ， 解得： 10x„ ， 故 2 8 28x  „ ， 答：该图书馆最多可以购买 28 本乙图书． 考查题型十一 方程组与不等式组相结合解决实际问题 1．（2018·山东中考模拟）今年 3 月 12 日植树节期间，学校预购进 A，B 两种树苗．若购进 A 种树苗 3 棵， B 种树苗 5 棵，需 2100 元；若购进 A 种树苗 4 棵，B 种树苗 10 棵，需 3800 元． (1)求购进 A，B 两种树苗的单价； (2)若该学校准备用不多于 8000 元的钱购进这两种树苗共 30 棵，求 A 种树苗至少需购进多少棵． 【答案】（1）A 种树苗的单价为 200 元，B 种树苗的单价为 300 元；（2）10 棵 【解析】 （1）设 B 种树苗的单价为 x 元，则 A 种树苗的单价为 y 元， 可得： ൅ ൅ ͵ 㜳 㐮 㜳 ͵ ൅ ， 解得： ͵ ൅ ͵ ， 答：A 种树苗的单价为 200 元，B 种树苗的单价为 300 元. （2）设购买 A 种树苗 a 棵，则 B 种树苗为（30﹣a）棵， 可得：200a+300（30﹣a）≤8000， 解得：a≥10， 答：A 种树苗至少需购进 10 棵． 2．（2019·湖南中考模拟）东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完， 接着又用 900 元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的 1.5 倍，但每套进价多了 5 元． （1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元； （2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套悠悠球的售价至少是多 少元？ 【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是 25 元；（2）每套悠悠球的售价至少是 35 元． 【解析】 （1）设第一批悠悠球每套的进价是 x 元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元， 根据题意得： 900 5001.55x x   ， 解得：x=25， 经检验，x=25 是原分式方程的解． 答：第一批悠悠球每套的进价是 25 元． （2）设每套悠悠球的售价为 y 元， 根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%， 解得：y≥35． 答：每套悠悠球的售价至少是 35 元． 考查题型十二 利用不等式计算获利问题 1．（2014·四川中考真题）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价 y1（元/台） 与采购数量 x1（台）满足 y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1 为整数）；冰箱的采购单价 y2（元/台）与采购数量 x2（台）满足 y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2 为整数）． （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于 1200 元，问该商 家共有几种进货方案？ （2）该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下， 问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润． 【答案】（1）5 （2）采购空调 15 台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650 元． 【解析】 （1）设空调的采购数量为 x 台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台， 由题意得， ， 解不等式①得，x≥11， 解不等式②得，x≤15， 所以，不等式组的解集是 11≤x≤15， ∵x 为正整数， ∴x 可取的值为 11、12、13、14、15， 所以，该商家共有 5 种进货方案； （2）设总利润为 W 元， y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100， 则 W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2， =1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x）， =1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000， =30x2﹣540x+12000， =30（x﹣9）2+9570， 当 x＞9 时，W 随 x 的增大而增大， ∵11≤x≤15， ∴当 x=15 时，W 最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元）， 答：采购空调 15 台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650 元． 2．（2018·四川中考模拟）宜兴某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200 元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 400 元/台时，可售出 200 台，且售价每降低 10 元， 就可多售出 50 台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务． （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围； （2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？最大利润 是多少？ 【答案】（1）y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）售价定为 320 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获 得的利润 w 最大，最大利润是 72000 元． 【解析】 (1)、根据题中条件销售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 台， 则月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50× 㐮㘸x 㜳 ， 化简得：y=-5x+2200； (2)、根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台， 则 x≥300 且−5x+2200≥450 解得：300≤x≤350． 所以 y 与 x 之间的函数关系式为：y=-5x+2200（300≤x≤350）； (3)、W=（x-200）（-5x+2200）， 整理得：W=-5 㘸 ൅ +72000． ∵x=320 在 300≤x≤350 内， ∴当 x=320 时，最大值为 72000， 即售价定为 320 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w 最大，最大利润是 72000 元． 3．（2018·山东中考模拟）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分 类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且垃圾箱的单价是温馨提示 牌单价的 3 倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放 48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，且费用不超过 10000 元， 请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元；（2）答案见解析 【详解】 （1）设温情提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元， 根据题意得，2x+3×3x=550， ∴x=50， 经检验，符合题意， ∴3x=150 元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元； （2）设购买温情提示牌 y 个（y 为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个， 根据题意得，意，   100 48 50 150 100 10000. y y y       ∴50 52y  ， ∵y 为正整数， ∴y 为 50，51，52，共 3 中方案； 有三种方案：①温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个， ②温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个， ③温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个， 设总费用为 w 元 W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000， ∵k=-100 0 ，∴w 随 y 的增大而减小 ∴当 y=52 时，所需资金最少，最少是 9800 元． 考查题型十三 运用一元一次不等式组进行方案设计 1．（2018·河南中考模拟）某校计划购买篮球、排球共 20 个．购买 2 个篮球，3 个排球，共需花费 190 元； 购买 3 个篮球的费用与购买 5 个排球的费用相同． （1）篮球和排球的单价各是多少元？ （2）若购买篮球不少于 8 个，所需费用总额不超过 800 元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写 出其中最省钱的购买方案． 【答案】（1）篮球每个 50 元，排球每个 30 元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球 8 个，排球 12 个； ②购买篮球 9，排球 11 个；③购买篮球 10 个，排球 10 个；方案①最省钱 【解析】 解：（1）设篮球每个 x 元，排球每个 y 元，依题意，得： 2 3 190 3 5 x y x y     解得 50 30 x y    ： ． 答：篮球每个 50 元，排球每个 30 元． （2）设购买篮球 m 个，则购买排球（20-m）个，依题意，得： 50m+30（20-m）≤800． 解得：m≤10． 又∵m≥8，∴8≤m≤10． ∵篮球的个数必须为整数，∴ m 只能取 8、9、10． ∴满足题意的方案有三种：①购买篮球 8 个，排球 12 个，费用为 760 元；②购买篮球 9，排球 11 个，费用 为 780 元；③购买篮球 10 个，排球 10 个，费用为 800 元． 以上三个方案中，方案①最省钱． 2．（2019·广西中考模拟）某文化商店计划同时购进 A、B 两种仪器，若购进 A 种仪器 2 台和 B 种仪器 3 台， 共需要资金 1700 元；若购进 A 种仪器 3 台，B 种仪器 1 台，共需要资金 1500 元． （1）求 A、B 两种型号的仪器每台进价各是多少元？ （2）已知 A 种仪器的售价为 760 元/台，B 种仪器的售价为 540 元/台．该经销商决定在成本不超过 30000 元的前提下购进 A、B 两种仪器，若 B 种仪器是 A 种仪器的 3 倍还多 10 台，那么要使总利润不少于 21600 元，该经销商有哪几种进货方案？ 【答案】（1）A、B 两种型号的仪器每台进价各是 400 元、300 元；（2）有三种具体方案：①购进 A 种仪器 18 台，购进 B 种仪器 64 台；②购进 A 种仪器 19 台，购进 B 种仪器 67 台；③购进 A 种仪器 20 台，购进 B 种仪器 70 台． 【详解】 解：（1）设 A、B 两种型号的仪器每台进价各是 x 元和 y 元． 由题意得： 2 3 1700 3 1500 x y x y      ， 解得： 400 300 x y    ． 答：A、B 两种型号的仪器每台进价各是 400 元、300 元； （2）设购进 A 种仪器 a 台，则购进 A 种仪器（3a+10）台． 则有： 400 300(3 10) 30000 (760 400) (540 300)(3 10) 21600 a a a a        „ … ， 解得 7 1017 209 13a  ． 由于 a 为整数， ∴a 可取 18 或 19 或 20． 所以有三种具体方案： ①购进 A 种仪器 18 台，购进 B 种仪器 64 台； ②购进 A 种仪器 19 台，购进 B 种仪器 67 台； ③购进 A 种仪器 20 台，购进 B 种仪器 70 台． 3．（2019·贵州中考真题）某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有 A， B 两种客车可供租用，A 型客车每辆载客量 45 人，B 型客车每辆载客量 30 人．若租用 4 辆 A 型客车和 3 辆 B 型客车共需费用 10700 元；若租用 3 辆 A 型客车和 4 辆 B 型客车共需费用 10300 元． （1）求租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是多少元； （2）为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元；（2）共有三种租车方案，方案一： 租用 A 型客车 2 辆，B 型客车 5 辆，费用为 9900 元，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆，费用为 9400 元，方案三：租用 A 型客车 5 辆，B 型客车 1 辆，费用为 9800 元，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型 客车 2 辆最省钱． 【详解】 （1）设租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 x 元、y 元， 4 3 10700 3 4 10300 x y x y      ， 解得， 1700 1300 x y    ， 答：租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元； （2）设租用 A 型客车 a 辆，租用 B 型客车 b 辆， 45 30 240 1700 1300 10000 a b a b      ， 解得， 2 5 a b    ， 4 2 a b    ， 5 1 a b    ， ∴共有三种租车方案， 方案一：租用 A 型客车 2 辆，B 型客车 5 辆，费用为 9900 元， 方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆，费用为 9400 元， 方案三：租用 A 型客车 5 辆，B 型客车 1 辆，费用为 9800 元， 由上可得，方案二：租用 A 型客车 4 辆，B 型客车 2 辆最省钱．