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- 2021-04-17 发布
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24，7)
B．(－7，24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：选B.根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0.
即(a＋7)(a－24)<0，
解得－70，作出不等式组
表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z＝3x－y，
所以y＝3x－z，当直线y＝3x－z经过点A时，直线在y轴上的截距－z最小，即目标函数取得最大值2.由得A(2，4)，代入直线mx－y＝0得2m－4＝0，所以m＝2.
2．若变量x，y满足则2x＋y的取值范围为________．
解析：
作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1，0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2，2]．
答案：[－2，2]
3．实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝·，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点B坐标为(7，9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
答案：21
4．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．
解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0，2)，B(2，0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.
法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2.
答案：－1或2
5．已知点A(5，5)，直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A.若可行域的外接圆的直径为20，求n的值．
解：
注意到直线l′：x－y＝0也经过点A，所以点A为直线l与l′的交点．
画出不等式组
表示的可行域如图中阴影部分所示．
设直线l的倾斜角为α，则∠ABO＝π－α.
在△OAB中，OA＝＝10.
根据正弦定理，得＝20，解得α＝或.
当α＝时，＝tan ，得m＝－.
又直线l过点A(5，5)，所以5＝－×5＋n，
解得n＝10.
当α＝时，同理可得m＝，n＝0(舍去)．
综上，n＝10.
6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．
生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利
润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋， 这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20，24)．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
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