- 541.74 KB
- 2021-04-16 发布
安徽省五校联盟 2019 届高三上学期第二次质量检测试题
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．设集合 2{ | 1 1}, { | , }A x x B y y x x A ，则 A B R （ ）
A．{ | 0 1}x x ≤ B．{ | 1 0}x x C．{ | 0 1}x x D．{ | 1 1}x x
1．答案：B
解析： 2{ | , } { | 0 1}B y y x x A y y ≤ ，所以 { | 0 1}B y y y R 或 ≥ ，
则 { | 1 0}A B x x R ．
2．若复数 z 满足(1 i) 2 6iz ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．答案：C
解析： 2 6i (2 6i)(1 i) 4 8i 2 4i1 i (1 i)(1 i) 2z
，则复数 z 对应的点为 ( 2, 4) ，位于第三象限．
3．在 ABC△ 中， 3, 2, 120AB AC BAC ，点 D 为 BC 边上一点，且 2BD DC
，则 AB AD
（ ）
A． 1
3 B． 2
3 C．1 D．2
3．答案：C
解析： 2 12 , 2 , 3 3BD DC AD AB AC AD AD AC AB
,
则 2 22 1 2 1 2 1 13 2 3 13 3 3 3 3 2 3AB AD AB AC AB AB AC AB
．
解法二：以 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴建立如图所示平面直角坐标系，
则 (0,0), (3,0), ( 1, 3)A B C ， 2BD DC
， 2 2 8 2 3( 4, 3) ,3 3 3 3BD BC
，
则 1 2 3,3 3D
， 1 2 3(3,0), ,3 3AB AD
，
13 0 13AB AD
．
2
1
2
D
C
BA
4．已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点为 F ，点 0
1, 2P x
在C 上，且 3
4PF ，则 p （ ）
A． 1
4 B． 1
2 C． 3
4 D．1
4．答案：B
解析：抛物线的准线方程为
2
py ，因为 0
1, 2P x
在抛物线上，所以点 P 到准线的距离
1 3
2 2 4
pd PF ，则 1
2p ．
P'
P
F
O
5．已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，则“ nS 的最大值是 8S ”是“ 7 8 9
7 10
0
0
a a a
a a
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．答案：B
解析：若 nS 的最大值是 8S ，则 8
9
0
0
a
a
≥
≤ ；若 7 8 9
7 10
0
0
a a a
a a
，则 7 8 9 8
7 10 8 9
3 0
0
a a a a
a a a a
，
所以 8
9
0
0
a
a
，所以“ nS 的最大值是 8S ”是“ 7 8 9
7 10
0
0
a a a
a a
”的必要不充分条件．
6．函数
2 1
2
xy x
的图象大致为（ ）
6．答案：C
解析：因为函数
2 1
2
xy x
是奇函数，所以其图象关于原点对称，
当 0x 时，
2
2 2
1 1 1 112 2
xy x x
，所以函数
2 1
2
xy x
在 (0, ) 上单调递减，排除 B，D；
又当 1x 时， 2 12y ，排除 A，选 C．
7．已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分所得，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的表
面积为（ ）
A． 20 2 3 B．18 2 3 C．18 3 D． 20 3
2 2
2
正视图 侧视图
俯视图
7．答案：B
解析：如图所示， 1 1 1 1ABCD A B C D 是棱长为 2 的正方体，根据三视图，还原几何体的直观图为图中多
面体 1 1 1ABCD AC D ，其表面积为 2 2 21 36 2 3 2 (2 2) 18 2 32 4 ．
A B
CD
D1
A1
C1
B1
8．若对任意 xR 都有 ( ) 2 ( ) 3cos sinf x f x x x ，则函数 ( )f x 的图象的对称轴方程为（ ）
A． ,4x k k Z B． ,4x k k Z
C． ,8x k k Z D． ,6x k k Z
8．答案：A
解析：由 ( ) 2 ( ) 3cos sinf x f x x x ①，用 x 代换①式中的 x ，得
( ) 2 ( ) 3cos( ) sin( ) 3cos sinf x f x x x x x ②，
联立①②解得 ( ) sin cos 2 sin 4f x x x x
，
所以 ( )f x 的图象的对称轴方程为 ,4 2x k k Z ，即 ,4x k k Z ．
9．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，
七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决
此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“ ”处应填入（ ）
A． 2
21
a Z
B． 2
15
a Z
C． 2
7
a Z
D． 2
3
a Z
9．答案：A
解析：因为 a 被三除余二，被七除余二，即 2a 既是 3 的倍数，也是 7 的倍数，从而 2a 是 21 的倍数，
所以 2
21
a Z ，故选 A．
10．某地环保部门召集 6 家企业的负责人座谈，其中甲企业有 2 人到会，其余 5 家企业各有 1 人到会，会
上有 3 人发言，则发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．15 B．30 C．35 D．42
10．答案：B
解析：解法一：甲企业有 2 人，其余 5 家企业各有 1 人，共有 7 人，所以从 7 人中任选 3 人共有 3
7C 种情
况，发言的 3 人来自 2 家企业的情况有 2 1
2 5C C 种，所以发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况共有
3 2 1
7 2 5 35 5 30C C C （种）．
发言的 3 人来自 3 家不同企业且含甲企业的人的情况有 1 2
2 5 20C C （种）；发言的 3 人来自 3 家不同企业
且不含甲企业的人的情况有 3
5 10C （种）．所以发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况共有20 10 30
种．
11．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b 的离心率为 2， 1 2,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点 ( ,0)M a ，
开始
1n
5 3a n 1n n
输出a
结束
是
否
(0, )N b ，点 P 是线段 MN 上的动点，当 1 2PF PF
取得最小值和最大值时， 1 2PF F△ 的面积分别为 1 2,S S ，
则 2
1
S
S （ ）
A．4 B．8 C． 2 3 D． 4 3
11．答案：A
解析：因为双曲线的离心率为 2，所以 2 , 3c a b a ，所以 1 2(0, 3 ), ( 2 , 0), (2 , 0)N a F a F a ，
线段 MN 的方程为 3 3 ( 0)y x a a x ≤ ≤ ，设 0 0 0( , 3 3 ), 0P x x a a x ≤ ≤ ，
则 1 0 0 1 0 0( 2 , 3 3 ), (2 , 3 3 )PF a x x a PF a x x a
，
所以 2 2 2 2 2 2
1 2 1 0 0 0 0 0 04 3 6 3 4 6 ( 0)PF PF PF x a x ax a x ax a a x
≤ ≤ ，
当 0
3
4x a 时， 1 2PF PF
取得最小值，此时 3 3,4 4P a a
，
当 0 0x 时， 1 2PF PF
取得最大值，此时 (0, 3 )P a ，所以 2
1
3 4
3
4
S a
S a
．
12．已知函数
2
1lg , 10( ) 10
2 , 0
x xf x
x x x
≤ ≤
≤
，若 1 1
1 1
a
b
≤ ≤
≤ ≤ ，则方程 2[ ( )] ( ) 0f x af x b 有五个不
同实数根的概率为（ ）
A． 1
3 B． 3
8 C． 2
5 D． 1
12
12．答案：B
解析：画出函数
2
1lg , 10( ) 10
2 , 0
x xf x
x x x
≤ ≤
≤
的图象如图所示
-2 O 1
设 ( )f x t ，则方程 2[ ( )] ( ) 0f x af x b 有五个不同实数根转化为方程 2 0t at b 在区间 (0,1) 和
区间( ,0) 上分别有一个实数根，令 2( )g t t at b ，可得到不等式组 (0) 0
(1) 0
g
g
，即 0
1 0
b
a b
，
结合 1 1
1 1
a
b
≤ ≤
≤ ≤ 画出图形如图所示，不等式组 1 1
1 1
a
b
≤ ≤
≤ ≤ 表示的区域为边长为 2 的正方形 ABCD ，
不等式组
0
1 0
1 1
1 1
b
a b
a
b
≤ ≤
≤ ≤
表示的区域为图中阴影部分，所以方程 2[ ( )] ( ) 0f x af x b 有五个不同实数根
的概率
3
32
4 8P ．
a
b
1b a
A B
CD
O
1
1
1
1
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．若 是锐角，且 3cos 6 5
，则 3cos 2
．
13．答案： 4 3 3
10
解析：因为0 2
，所以 2
6 6 3
，又 3cos 6 5
，所以 4sin 6 5
，
则 3cos sin sin sin cos cos sin2 6 6 6 6 6 6
4 3 3 1 4 3 3
5 2 5 2 10
．
14．若 ,x y 满足约束条件
1
2 2
x y
x y
x a
≥
≤
≤
，目标函数 2 3z x y 的最小值为 2，则 a ．
14．答案：1
解析：作出不等式组 1
2 2
x y
x y
≥
≤ 表示的平面区域如图所示，再作出直线 2 3 2x y 的图象，与上述区域
的边界交于点 (1,0)A ，则直线 x a 必过点 (1,0)A ，所以 1a ．
O x
y
1x y
2 2x y
2 3 2x y
A
15．已知球O 与棱长为 4 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的所有棱都相切，点 M 是球O 上一点，点 N 是
1ACB△ 的外接圆上一点，则线段 MN 长度的取值范围是 ．
15．答案：[2 3 2 2, 2 3 2 2]
解析：因为球O 与棱长为 4 的正方体的各棱都相切，所以球O 的半径为 2 2 ，球心O 在体对角线的中点，
1ACB△ 的外接圆是正方体外接球的一个小圆，点 N 是 1ACB△ 的外接圆上一点，则点 N 到球心O 的距
离为 2 3 （即正方体外接球的半径），因为点 M 是球O 上一点，所以线段 MN 的最小值为 2 3 2 2 ，
线段 MN 的最大值为 2 3 2 2 ，所以线段 MN 长度的取值范围是[2 3 2 2, 2 3 2 2] ．
A B
CD
D1
A1
C1
B1
M'
M
N
O
16．设数列{ }na 满足 1 5a ，且对任意正整数 n ，总有 1( 3)( 3) 4 4n n na a a ，则数列{ }na 的前 2018
项的和为 ．
16．答案： 835
解析：由 1( 3)( 3) 4 4n n na a a ，得 1
4 4 533 3
n n
n
n n
a aa a a
，因为 1 5a ，
所以 2 3 4 5 1
50, , 5, 53a a a a a ，则数列{ }na 是以 4 为周期的周期数列，
因为 2018 504 4 2 ，且 1 2 3 4
5
3a a a a ，即一个周期的和为 5
3 ，所以数列{ }na 的前 2018 项
的和为 5 504 5 0 8353 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
在 ABC△ 中， , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，且 2 sin 3 tanc B a A ．
（1）求
2 2
2
b c
a
的值；
（2）若 2a ，求 ABC△ 面积的最大值．
17．解析：（1）由 2 sin 3 tanc B a A ，得 2 sin cos 3 sinc B A a A ，结合正弦定理得 22 cos 3bc A a ，
故
2 2 2
2 2 2 22 3 , 42
b c abc a b c abc
，得
2 2
2 4b c
a
．…………………………………………5 分
（2）由（1）及 2a 知 2 2 16b c ，故
2 2 2 6cos 2
b c aA bc bc
．
又 2 2 2b c bc ≥ ，故8 bc≥ ，当且仅当b c 时取等号， 6 3cos 8 4A ≥ ．
由 6cos A bc ，得 6
cosbc A ，且 0, 2A
， 1 sin 3tan2ABCS bc A A △ ．
2 2 2
2
2 2 2 2
sin sin cos 1 1 16 71 tan 1 , tan 1 1cos cos cos cos 9 3
A A AA AA A A A
≤ ，
3tan 7ABCS A △ ≤ ，即 ABC△ 面积的最大值为 7 ．
18．（本小题满分 12 分）
如图，在五面体 ABCDFE 中，底面 ABCD 为矩形， // ,EF AB BC FD ，过 BC 的平面交棱 FD 于 P ，
交棱 FA 于Q ．
（1）证明： //PQ 平面 ABCD ；
（2）若 , , 2 ,CD BE EF EC CD EF BC tEF ，求平面 ADF 与平面 BCE 所成锐二面角的大小．
A B
CD
EF
P
Q
18．解析：（1）因为底面 ABCD 为矩形，所以 //AD BC ，又因为 AD 平面 ADF ，BC 平面 ADF ，
所以 //BC 平面 ADF ，…………………………………………………………………………………2 分
又因为 BC 平面 BCPQ ，平面 BCPQ 平面 ADF PQ ， //BC PQ …………………………4 分
又因为 PQ 平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ， //PQ 平面 ABCD ．……………………………6 分
（2）由 , ,CD BE CD CB BE CB B ，得CD 平面 BCE ，所以CD CE ．
由 , ,BC CD BC FD CD FD D ，得 BC 平面CDFE ，所以CB CE ．
以C 为坐标原点， , ,CD CB CE 所在直线分别为 , ,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设 1EF EC ，
则 (2, ,0), (2,0,0), (1,0,1)A t D F ，所以 (0, ,0), ( 1, ,1)AD t AF t
．…………………………7 分
设平面 ADF 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 0
0
n AD ty
n AF x ty z
，令 1x ，得 (1,0,1)n ．……9 分
易知平面 BCE 的一个法向量为 (1,0,0)m
，…………………………………………………………10 分
设平面 ADF 与平面 BCE 所成锐二面角为 ，则 2cos 2
m n
m n
．…………………………11 分
所以
4
，即平面 ADF 与平面 BCE 所成锐二面角为
4
．…………………………………………12 分
A B
CD
EF
P
Q
x
y
z
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b 的焦点坐标分别为 1 2( 1,0), (1,0),F F P 为椭圆C 上一点，满足
1 23 5PF PF 且 1 2
3cos 5F PF ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线 :l y kx m 与椭圆C 交于 ,A B 两点，点 1 ,04Q
，若 AQ BQ ，求 k 的取值范围．
19．解析：（1）由 1 23 5PF PF 及 1 2 2PF PF a ，得 1 2
5 3,4 4PF a PF a ．
在 1 2PF F△ 中，由余弦定理得
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
25 9 5 3 32 cos 216 16 4 4 5F F PF PF PF PF F PF a a a a a ，
即 1 2 2a F F ， 1c ， 2 2 2 3,b a c 椭圆C 的标准方程为
2 2
14 3
x y ．………………6 分
（2）联立方程，得
2 2
14 3
x y
y kx m
，消去 y 得 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m ，
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则
2
1 2 1 22 2
8 4 12,3 4 3 4
km mx x x xk k
，且 2 248(3 4 ) 0k m ， ①
设 AB 的中点为 0 0( , )M x y ，连接QM ，则 1 2
0 0 02 2
4 3,2 3 4 3 4
x x km mx y kx mk k
，
AQ BQ ， AB QM ，又 1 ,04Q
， M 为 AB 的中点， 0k ，直线QM 的斜率存在，
2
2
3
3 4 14 1
3 4 4
QM
m
kk k k km
k
，解得
23 4
4
km k
， ②
把②代入①，得
22
2 3 43 4 4
kk k
，整理得 4 216 8 3 0k k ，即 2 2(4 1)(4 3) 0k k ，
解得 1
2k 或 1
2k ，故 k 的取值范围为 1 1, ,2 2
．……………………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
在某市高中某学科竞赛中，某一个区 4000 名考生的参赛成绩统计如图所示．
0.010
0.015
0.020
0.030
40 50 60 70 80 90 100 成绩/分
频率/组距
（1）求这 4000 名考生的竞赛平均成绩 x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（2）由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服从正态分布 2( , )N ，其中 2, 分别取考生的平均成绩 x 和考
生成绩的方差 2s ，那么该区 4000 名考生的成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少？
（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取 4
名，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为 ，求 ( 3)P ≤ ．（精确到0.001）
附：① 2 204.75, 204.75 14.31s ；② 40.8413 0.501 ；
③若 2( , )z N ～ ，则 ( ) 0.6827, ( 2 2 ) 0.9545P z P z ．
20．解析：（1）由题意知，
中点值 45 55 65 75 85 95
频率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1
45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 70.5x ，
所以这 4000 名考生的竞赛平均成绩 x 为 70.5分．……………………………………………………4 分
（2）依题意 z 服从正态分布 2( , )N ，其中 2 270.5, 204.75, 14.31x s ，
2(70.5,14.31 )z N ～ ，
而 1 0.6827( ) (56.19 84.81) 0.6827, ( 84.81) 0.15872P z P z P z ≥ ，
又 0.1587 4000 634.8 635 ，所以竞赛成绩超过84.81分的人数估计为 635．…………………8 分
（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率 1 0.1587 0.8413P ，而 (4, 0.8413)B～ ，
4( 3) 1 ( 4) 1 0.8413 1 0.501 0.499P P ≤ ．…………………………………………12 分
21．（本小题满分 12 分）
设函数 2( ) ln ( )2
af x x x x a x a R ．
（1）若函数 ( )f x 有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围；
（2）若 22, ( ) 2 2a g x x x ，且当 2x 时，不等式 ( 2) ( ) ( ),k x g x f x k N 恒成立，试求 k 的
最大值．
21．解析：（1）由题意知，函数 ( )f x 的定义域为(0, ), ( ) lnf x x ax ，令 ( ) 0f x ，得 ln xa x ．
令 ln( ) xh x x ，则由题意可知直线 y a 与函数 ( )h x 的图象有两个不同的交点． 2
1 ln( ) xh x x
，
令 ( ) 0h x ，则 x e ， ( )h x 在 (0, )e 上单调递增，在 ( , )e 上单调递减， max
1( ) ( )h x h e e ，
又 (1) 0, ( )h h x 在(0, )e 上单调递增，当 0x 时， ( )h x ，当 x e 时，ln 0x
x ， ( )h x 在 ( , )e
上单调递减，当 x 时， ( ) 0h x ．
所以结合 ( )h x 的图象易得，实数 a 的取值范围是 10, e
．…………………………………………4 分
（2）当 2a 时， 2( ) ln 2f x x x x x ．
( 2) ( ) ( )k x g x f x ，即 2 2 ln( 2) 2 2 ln 2 , 2, 2
x x xk x x x x x x x x k x
．…5 分
令 ln( ) ( 2)2
x x xF x xx
，则 2
4 2ln( ) ( 2)
x xF x x
．………………………………………………6 分
令 ( ) 4 2ln ( 2)m x x x x ，则 2( ) 1 0m x x
， ( )m x 在 (2, ) 上单调递增．……………8 分
又 2 3(8) 4 2ln8 4 2ln 4 4 0, (10) 6 2ln10 6 2ln 6 6 0m e m e ，
所以函数 ( )m x 在 (8,10) 上有唯一的零点 0x ，即 0 04 2ln 0x x ．
当 0(2, )x x 时， ( ) 0, ( ) 0, ( )m x F x F x 单调递减，当 0( , )x x 时， ( ) 0, ( ) 0, ( )m x F x F x 单
调递增，
0
0
0 0 0 0
min 0
0 0
41ln 2( ) ( ) 2 2 2
xxx x x xF x F x x x
，
0 0
0, (8,10), (4,5)2 2
x xk x ，又 ,k k N 的最大值为 4．………………………………12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．
22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，直线 1 : 0l x ，圆 2 2: ( 1) ( 1 2) 1C x y ，以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线 1l 和圆C 的极坐标方程；
（2）若直线 2l 的极坐标方程为 ( )4
R ，设 1 2,l l 与圆C 的公共点分别为 ,A B ，求 OAB△ 的面积．
22．解析：（1） 2 2 2cos , sin , ,x y x y 直线 1l 的极坐标方程为 cos 0 ，
即 ( )2
R ．………………………………………………………………………………………2 分
圆C 的极坐标方程为 2 2 cos 2(1 2) sin 3 2 2 0 ．……………………………5 分
（2）将
2
代入 2 2 cos 2(1 2) sin 3 2 2 0 ，得 2 2(1 2) 3 2 2 0 ，
解得 1 1 2 ．
将
4
代入 2 2 cos 2(1 2) sin 3 2 2 0 ，得 2 2(1 2) 3 2 2 0 ，
解得 2 1 2 ．
故 OAB△ 的面积为 21 3 2(1 2) sin 12 4 4
．…………………………………………10 分
4
3
2
1
1
2
B
A C
O
23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知 ( ) 2 1f x x x ．
（1）解不等式 ( ) 4f x ≥ ；
（2）若不等式 ( ) 2 1f x a ≤ 有解，求实数 a 的取值范围．
23．（1）不等式 ( ) 4f x ≥ ，即 2 1 4x x ≥ ，
等价于 0
2 3 4
x
x
≥ 或 0 1
2 4
x
x
≤ ≤
≥ 或 1
3 2 4
x
x
≥ ，解得 2
3x ≤ 或无解或 2x≥ ．
故不等式的解集为 2, [2, )3
．………………………………………………………………5 分
（2） ( ) 2 1f x a ≤ 有解等价于 min( ) 2 1f x a ≤ ．
2 3 ( 0)
( ) 2 1 2 (0 1)
3 2 ( 1)
x x
f x x x x x
x x
≤ ≤ ，故 ( )f x 的最小值为 1．
所以1 2 1a ≤ ，得 2 1 1a ≤ 或 2 1 1a ≥ ，解得 1a ≤ 或 0a≥ ．
故实数 a 的取值范围为( , 1] [0, ) ．…………………………………………………………10 分