2020年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末检测新人教A版选修1-2 6页

第三章 数系的扩充与复数的引入 章末检测 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝(　　)‎ A．－1　　　　　　　　 B．1‎ C．－i D．i 解析：i＋i2＋i3＝i＋(－1)－i＝－1.‎ 答案：A ‎2．已知i为虚数单位，复数z＝，则复数z的虚部是(　　)‎ A．－i B．－ C. i D. 解析：＝＝＝－i，则复数z的虚部是－.‎ 答案：B ‎3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)‎ A．A B．B C．C D．D 解析：设z＝a＋bi(a<0，b>0)‎ ‎∴＝a－bi对应点的坐标是(a，－b)，是第三象限点B.‎ 答案：B ‎4．i是虚数单位，复数z＝的共轭复数＝(　　)‎ A．1－i B．1＋i C.＋i D．－＋i 解析：z＝＝＝＝1－i ‎∴＝1＋i.‎ 答案：B ‎5．若复数z＝(1＋i)(x＋i)(x∈R)为纯虚数，则|z|等于(　　)‎ 6‎ A．2 B. C. D．1‎ 解析：∵z＝x－1＋(x＋1)i为纯虚数且x∈R，‎ ‎∴得x＝1，z＝2i，|z|＝2.‎ 答案：A ‎6．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 解析：z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i，‎ 依题意4t－3＝0，∴t＝.‎ 答案：A ‎7．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在(　　)‎ A．实轴上 B．虚轴上 C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上都不对 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，‎ ‎∵z2＝a2－b2＋2abi为纯虚数，∴ ‎∴a＝±b，即z在直线y＝±x(x≠0)上．‎ 答案：C ‎8．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为(　　)‎ A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i 解析：由定义知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i，‎ ‎∴z＝＝＝＝3－i.‎ 答案：A ‎9．若复数x0＝1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，则(　　)‎ A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3‎ C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1‎ 解析：因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.‎ 答案：B ‎10．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，‎ 6‎ B，C.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i，∴得∴λ＋μ＝1.‎ 答案：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上)‎ ‎11．设i为虚数单位，则＝________.‎ 解析：＝＝＝－－.‎ 答案：－－ ‎12．已知复数z1＝cos 23°＋sin 23°i和复数z2＝sin 53°＋sin 37°i，则z1·z2＝________.‎ 解析：z1·z2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)‎ ‎＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋cos 23°sin 37°)i ‎＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°)‎ ‎＝sin 30°＋i cos 30°＝＋i.‎ 答案：＋i ‎13．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z＝________.‎ 解析：∵a，b∈R且＋＝，‎ 即＋＝，‎ ‎∴‎5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，‎ 即解得 故z＝a＋bi＝7－10i.‎ 答案：7－10i ‎14. 复数z＝(m2－‎3m＋2)＋(m2－‎2m－8)i的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：复数z＝(m2－‎3m＋2)＋(m2－‎2m－8)i的共轭复数为＝(m2－‎3m＋2)－(m2－‎2m－8)i，‎ 又在复平面内对应的点在第一象限，‎ 得 6‎ 解得－20且>时，证明该方程没有实数根．‎ 解析：(1)将x＝1－i代入＋＝1，‎ 化简得＋i＝1，‎ ‎∴解得a＝b＝2.‎ ‎(2)原方程化为x2－ax＋ab＝0，‎ 假设原方程有实数解，‎ 那么Δ＝(－a)2－4ab≥0，即a2≥4ab.‎ ‎∵a>0，∴≤，‎ 这与题设>相矛盾．‎ 故原方程无实数根．‎ ‎21．(14分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．‎ 解析：z＝(a＋bi)＝－‎2a－2bi.‎ 由|z|＝4得a2＋b2＝4，①‎ 6‎ ‎∵复数0，z，对应的点构成正三角形，‎ ‎∴|z－|＝|z|.‎ 把z＝－‎2a－2bi代入化简得a2＝3b2，②‎ 代入①得，|b|＝1.‎ 又∵Z点在第一象限，‎ ‎∴a<0，b<0.‎ 由①②得 故所求值为a＝－，b＝－1.‎ 6‎