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- 2021-04-16 发布
江西省高安中学2017-2018学年上学期期末考试
高二年级数学（文）试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知双曲线方程为x2－3y2＝6，则双曲线的离心率等于( )
A. B． C. 2 D．3
4．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此
发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念
币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用
1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估
计军旗的面积大约是（ ）
A. B. C. D.
5．“是真命题”是“为真命题”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若关于x的不等式|x－2|＋|x－1|≥a在R上恒成立，则a的最大值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
7．在－20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( )
A.200 B.100 C.90 D.70
8．已知变量与变量之间具有相关关系，并测得如下一组数据
则变量与之间的线性回归方程可能为（ ）
A． B． C． D．
9．已知变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．3 D．
10．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
11．设函数在处的切线方程为，则的值是( )．
A． B． C． D．
12．设数列前项和为，已知，则等于（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店
记录的促销期间8天的销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是 ．
14．已知抛物线方程为，则抛物线上的点到焦点的距离为 ．
15．设的内角所对边分别为，若，则角
.
16．若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：．
以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为：(为参数).
(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)当θ∈ (0，π)时，求直线l与圆C的公共点的极坐标．
18． （本小题满分12分）在中，分别为内角所对的边，且满足，
.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积.
19. （本小题满分12分）随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）
经常使用
偶尔或不用
合计
30岁及以下
70
30
100
30岁以上
60
40
100
合计
130
70
200
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？
（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；
（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式： ，其中.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
20．（本小题满分12分）已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线过椭圆的左端点A，与椭圆的另一个交点为B.，AB的垂直平分线交轴于点，且·＝4，求的值．
22．（本小题满分12分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若存在，且,使不等式成
立，求实数的取值范围.
江西省高安中学2017-2018学年上学期期末考试
高二年级数学（文）试题答案
一、选择题：1-6 ACBCAB 7-12 BABDCB
二、填空题：13. 15 14. 2 15. 16.
三、解答题：
17.解：(1)圆C：，即，
故圆C的直角坐标方程为.直线的普通方程为.……………(5分)
(2)由(1)知圆C与直线的直角坐标方程，将两方程联立解得即圆C与直线在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为，即为所求.(10分)
18.解：（1）∵，∴由正弦定理化简得：，
∵，∴，∵，∴为锐角，则；……………(5分)
（2）∵，，，∴由余弦定理得：
即 ，整理得：
解得（舍去）或，则.……………(12分)
19.解：（1）由列联表可知，.
因为，
所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.
（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.
（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为， ， ；偶尔或不用共享单车的2
人分别为， .
则从5人中选出2人的所有可能结果为， ， ， ， ， ，
， ， ， 共10种.
其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，
故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
20. (1)设数列{an}的公差为d，
由且成等比数列，得(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝－1或d＝2.
当d＝－1时，a3＝0，这与a2，a3，a4＋1成等比数列矛盾，舍去．所以d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n，
即数列{an}的通项公式为an＝2n，(n∈N*)．……………(6分)
(2)，
所以……………(12分)
21.解：(1)由e＝＝，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.
由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组得a＝2，b＝1.
所以椭圆的方程为.……………(5分)
(2)由(1)可知A(－2,0)．设B点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程为．
于是A，B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理，得.
由，得.从而.
设线段AB的中点为M，则M的坐标为．
以下分两种情况：
①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，
＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2.
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为．
令x＝0，解得，
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)．
·＝－2x1－y0(y1－y0)
＝，
整理得7k2＝2，故k＝±.所以y0＝±.综上，y0＝±2或y0＝±.……………(12分)
22.解:(1)∵f′(x)=x+(2a-2)- = = (x＞0).令f′(x)=0得x=2或x=-2a.
∴①当-2a=2,即a=-1时, f′(x)≥0在x＞0时恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当-2a＞2,即a＜-1时,f(x)在(0,2)和(-2a,+∞)上单调递增,在(2,-2a)上单调递减.
③当0＜-2a＜2,即-1＜a＜0时,f(x)在(0,-2a)和(2,+∞)上单调递增,在(-2a,2)上单调递减
④当-2a≤0,即a≥0时,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. ………(6分)
(2)由(1)知,当a=1时,f(x)在(2,+∞)上单调递增,不妨设x2＞x1＞2,
则不等式|f(x1)-f(x2)|≤k|lnx1-lnx2|可化为f(x2)-f(x1)≤klnx2-klnx1
f(x1)-klnx1≥f(x2)-klnx2,令g(x)=f(x)-klnx,则g(x)在(2,+∞)上存在单调递减区间.
∴g′(x)= f′(x) - ＜0 在区间(2,+∞)有解,即- ＜0在x∈(2,+∞)上有解，
∴k＞x2-4, x∈(2,+∞),故k＞0. ……………(12分)