全国名师联盟2020届高三上学期入学测试考试卷（四）数学理科试卷答案 14页

‎2020届高三入学调研考试卷 理 科 数 学（四）答 案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】由题得，，‎ 所以．故选B．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】由题可得，整理得，．故选A．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】因为，所以，‎ 所以．故选A．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高，所以结论①②③都正确，结论④错误，故选C．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】依题意，结合图形分析可知双曲线的一条渐近线的斜率必大于，即，因此该双曲线的离心率．故选D．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，‎ 作直线：，平移可知，，‎ 即的取值范围是，故选D．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】函数的定义域为，且为定义域上的奇函数．排除C，D，当时，排除B，故选A．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】第一步排语文，英语，化学，生物科，且化学排在生物前面，有种排法；‎ 第二步将数学和物理插入前科除最后位置外的个空挡中的个，有种排法，‎ 所以不同的排表方法共有，故选B．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】因为，则，‎ 所以 ‎．‎ 由已知，，则，故选D．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】设路车和路车的进站时间分别为、，“进站时间的间隔不超过分钟”为时间，则．‎ 图中阴影区域的面积，则，故选C．‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】由得，‎ 当时，，整理得，‎ 所以是公差为的等差数列．‎ 又，所以，‎ 从而，‎ 所以，‎ 数列的前项的和．故选C．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】将长方形中含有的平面取出，过点作，垂足为，延长到，使，则是关于的对称点，如图所示，‎ 过作，垂足为，连接，，‎ 依题意，，，，，，，所以．故选C．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由题知公比，所以，解得，‎ 所以．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由三视图可得，．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】依题意得焦点的坐标为，过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，由抛物线的定义知，‎ 因为，所以，‎ 又，，所以，解得．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由题可知方程恰有两个不同的实数根，‎ 所以与有个交点．‎ 因为表示直线的斜率，当时，，‎ 设切点坐标为，，所以切线方程为，‎ 而切线过原点，所以，，，所以直线的斜率为，‎ 直线与平行，所以直线的斜率为，‎ 所以实数的取值范围是．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由，，得，‎ 所以．‎ 由正弦定理，可得．‎ ‎（2），‎ 在中，由余弦定理，得，‎ 解得或（舍去），‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以．‎ ‎18．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）取的中点为，连结，．‎ 由已知得，为等边三角形，．‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，∴．‎ 又∵平面，平面，∴平面，‎ ‎∵为的中点，为的中点，∴．‎ 又平面，平面，∴平面，‎ ‎∵，∴平面平面．‎ ‎∵平面，∴平面．‎ ‎（2）连结，交于点，连结，则为的中点，且，，‎ ‎∵平面平面，，∴平面，‎ 可求得，，‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 平面的一个法向量为．‎ 设平面的法向量为，有，得，‎ 即，令，得，，∴．‎ ‎∴．‎ 二面角的余弦值是．‎ ‎19．【答案】（1）千元；（2）有的把握认为；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）在直方图中，从左至右前个小矩形的面积之和为，‎ 后个小矩形的面积之和为，‎ 所以中位数位于区间内．‎ 设直方图的面积平分线为，则，得，‎ 所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为千元．‎ ‎（2）由直方图知，网购消费金额在千元以上的频数为，所以“网购迷”共有人．由列联表知，其中女性有人，则男性有人，所以补全的列联表如下：‎ 因为，‎ 查表得，所以有的把握认为“网购迷与性别有关”．‎ ‎（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，．‎ 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，‎ 据题意，，．‎ 所以，．‎ 因为，则，所以的数学期望为．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）因为椭圆过点，所以．‎ 又抛物线的焦点为，所以，所以，‎ 解得（舍去）或．‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）假设在轴上存在定点，使得，‎ ‎①当直线的斜率不存在时，则，，，，由，解得或；‎ ‎②当直线的斜率为时，则，，，，由，解得或．‎ 由①②可得，即点的坐标为．‎ 下面证明当时，恒成立，当直线的斜率不存在或斜率为时，由①②知结论成立．‎ 当直线斜率存在或且不为时，设其方程为，，，‎ 由，得，‎ 直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，‎ 且，．‎ ‎，‎ 所以 ‎．‎ 综上所述，在轴上存在定点，使得恒成立．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为，‎ 又，‎ 由，得或，‎ 当即时，由得；由得或；‎ 当即时，当时都有，∴当时，单调减区间为，单调增区间为，‎ 当时，单调增区间是，没有单调减区间．‎ ‎（2）当时，由（1）知在单调递减，在单调递增，从而在上的最小值为．‎ 对任意，存在，使得，‎ 即存在，使得的值不超过在区间上的最小值为．由得，∴．‎ 令，则当时，．‎ ‎∵，当时，；‎ 当时，，，‎ 故在上单调递减，从而，从而实数．‎ ‎22．【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）消去参数得直线的普通方程为；‎ 因为，所以，‎ 所以曲线的直角坐标方程是．‎ ‎（2）点是直线上的点，设，两点对应的参数分别为，，‎ 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，‎ 方程判别式，可得，．‎ 于是．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 当时，不等式等价于，解得，∴；‎ 当时，不等式等价于，解得，∴；‎ 当时，不等式等价于，解得，∴，‎ 综上所述，原不等式的解集为．‎ ‎（2）由，得，‎ 而，‎ ‎（当且仅当时等号成立，）‎ 由题可知，，即，‎ 解得实数的取值范围是．‎ 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org