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- 2021-04-16 发布
课时分层训练(三十七) 数学归纳法
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是( )
A．1 B.2
C．3 D.4
C [∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.]
2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )
A．一切正整数命题成立
B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立
D．以上都不对
B [本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．]
3．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )
【导学号：01772235】
A. B.
C. D.
C [由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝
.猜想an＝.]
4．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为
( )
【导学号：01772236】
A．f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2
C [边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n－2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加(n－1)条．]
5．用数学归纳法证明3(2＋7k)能被9整除，证明n＝k＋1时，应将3(2＋7k＋1)配凑成( )
【导学号：01772237】
A．6＋21·7k B.3(2＋7k)＋21
C．3(2＋7k) D.21(2＋7k)－36
D [要配凑出归纳假设，故3(2＋7k＋1)＝3(2＋7·7k)＝6＋21·7k＝21(2＋7k)－36.]
二、填空题
6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝__________时，命题亦真．
2k＋1 [n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．]
7．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为__________．
(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 [当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，
则当n＝k＋1时，左端为
1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.]
8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f
(32)>，则其一般结论为__________________．
f(2n)>(n≥2，n∈N*) [因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)．]
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2).
【导学号：01772238】
[证明] (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立.3分
(2)假设n＝k时命题成立，即
1＋＋＋…＋<2－.6分
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－
＝2－命题成立.10分
由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立.12分
10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*，λ>0)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．
[解] (1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.5分
(2)由(1)可猜想数列通项公式为：
an＝(n－1)λn＋2n.7分
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1,2,3,4时，等式显然成立，
②假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时等式成立，
即ak＝(k－1)λk＋2k，9分
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k
＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1，
所以当n＝k＋1时，猜想成立，
由①②知数列的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n(n∈N*，λ>0).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立
B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
D [∵f(k)≥k2成立时，f(k＋1)≥(k＋1)2成立，
∴f(4)≥16时，有f(5)≥52，f(6)≥62，…，f(k)≥k2成立．]
2．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝__________；当n>4时，f(n)＝__________(用n表示)．
5 (n＋1)(n－2)(n≥3) [f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，
f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)
＝2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝(n＋1)(n－2)(n≥3)．]
3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)由题意知S2＝4a3－20，
∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.2分
又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.
又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，
∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.
综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.5分
(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，结论显然成立；7分
②假设当n＝k(k≥1)时，ak＝2k＋1，
则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝＝k(k＋2)．
又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，
∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，
解得2ak＋1＝4k＋6，10分
∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．
由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1. 12分