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- 2021-04-16 发布
唐山市 2018—2019 学年度高三年级摸底考试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 2{ | 5 6 0}, { | 0 8}≤ ≤A x x x B x x ，则 A B （ ）
A．[0,6) B．[0,1) C．(0,6) D．( 1,8]
1．答案：A
解析： 2{ | 5 6 0} { | 1 6}, { | 0 8}, [0,6)≤ ≤A x x x x x B x x A B ．
2．设 i(1 2i)
2 iz
，则 z （ ）
A． 5 B．2 C． 41
5 D．1
2．答案：D
解析： i(1 2i) i 1 2ii(1 2i) 5 12 i 2 i 2 i 5
z
．
3．等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 3 11 4a a ，则 13S （ ）
A．13 B．26 C．39 D．52
3．答案：B
解析：由等差数列的性质可知， 1 13
1 13 3 11 13
13( )4, 262
a aa a a a S ．
4．随机变量 服从正态分布 2( , )N ，若 ( 2) 0.2, (2 6) 0.6P P ，则 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．答案：C
解析： ( 6) ( 2) (2 6) 0.8, ( 6) 1 ( 6) 0.2P P P P P ，
( 2) ( 6)P P ， 2 6 42 ．
5．cos105 cos15 （ ）
A． 2
2 B． 2
2 C． 6
2 D． 6
2
5．答案：D
解析：解法一
3 2 6cos105 cos15 cos(60 45 ) cos(60 45 ) 2sin 60 sin 45 2 2 2 2 ．
解法二
6cos105 cos15 sin15 cos15 (sin15 cos15 ) 2 sin(45 15 ) 2 sin 60 2
6．已知某几何体的三视图如图所示（俯视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的表面积为（ ）
A．1 4
B．3 2
C． 2 4
D．4
6．答案：D
解析：由题设知，该几何体是棱长为 1 的正方体截去底面半径为 1 的 1
4
圆柱后得到的，如图所示，所以表
面积 21 12 1 1 1 2 (1 1) 2 1 1 44 4S
．
7．设函数 ( ) ( )x xf x x e e ，则 ( )f x （ ）
A．是奇函数，且在(0, ) 上是增函数 B．是偶函数，且在(0, ) 上是增函数
C．是奇函数，且在(0, ) 上是减函数 D．是偶函数，且在(0, ) 上是减函数
7．答案：A
解析： ( ) ( ) ( )x xf x x e e f x ，故 ( )f x 为奇函数， ( ) ( )x x x xf x e e x e e ，
当 0x 时， x xe e ，所以 ( ) 0x xx e e ，又 0x xe e ，所以 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 (0, ) 上是
增函数．
8．已知 1 2,e e
是两个单位向量， 1 2e e
的最小值为 3
2
，则 1 2e e
（ ）
A．1 B． 3 C．1 或 3 D．2
8．答案：C
解析：设向量 1 2,e e
的夹角为 ，则
2 2 22 2
1 2 1 1 2 22 cos 2cos 1e e e e e e
，
当 cos 时，
2
1 2e e
取得最小值 2 3 11 cos , cos4 2 ，故
2
1 2 2 2cos 1e e
或 3，
所以 1 2 1e e
或 3 ．
9．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）
A．求 1 1 1 11 3 5 7 21 的值 B．求 1 1 1 11 3 5 7 19 的值
C．求 1 1 1 11 3 5 7 19 的值 D．求 1 1 1 11 3 5 7 21 的值
9．答案：C
解析：执行程序框图， 1 1 11, 1, 3; 1 , 1, 5; 1 , 1, 7;3 3 5S a n S a n S a n
1 1 1 11 , 1, 21 193 5 7 19S a n 满足条件，退出循环，故该程序框图的功能是求
1 1 1 11 3 5 7 19 的值．
10．已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b 和双曲线 2 2: 1E x y 有相同的焦点 1 2,F F ，且离心率之积为 1，
P 为两曲线的一个交点，则 1 2F PF△ 的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
10．答案：B
解析：双曲线的离心率为 2 ，所以椭圆的离心率 2
2
ce a ，又因为 2c ，所以 2, 2a b ，
由 1 2 1
1 2 2
4 3
2 1
PF PF PF
PF PF PF
，又 1 2 2 2F F ，所以 2 2 2
1 1 2 2PF F F PF ，所以 1 2F PF△ 是直角
三角形．
11．已知函数 ( ) sin sin 3 , [0,2 ]f x x x x ，则 ( )f x 的所有零点之和等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．答案：C
解析：解法一：由 ( ) sin sin 3 0f x x x ，得sin sin 3x x ，在同一坐标系中作出函数 siny x 与函
数 sin 3y x 在 [0,2 ]x 上的图象，由图可知，共有 7 个交点，且这 7 个交点关于点( ,0) 对称，
所以 ( )f x 的所有零点之和等于7 ．
1
0.5
0.5
1
π
3
2π
3
π 4π
3
5π
3
2π
解法二： ( ) sin sin 3 sin(2 ) sin(2 ) 2cos 2 sinf x x x x x x x x x ，令 ( ) 0f x ，得cos 2 0x
或sin 0x ；由cos 2 0x ，得 2 , , ,2 2 4Z Zkx k k x k ，又 [0,2 ]x ，
3 5 7
4 4 4 4x 或 或 或 ；
由sin 0x ，得 0 2x 或 或 ， 3 5 7 0 2 74 4 4 4
．
12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在半径为 3 的球面上， AB AC ，则该三棱锥体积的最大值是
（ ）
A．16
3 B． 32
3 C． 64
3 D．32
12．答案：B
解析：设 ,AB a AC b ，则 1
2ABCS bc△ ， ABC△ 所在外接圆的半径
2 2
2
a br ，球心O 到平面
ABC 的距离
2 2
2 2 9 4
a bd R r ，三棱锥体积最大时，
2 2
3 9 4
a bh R d ，
则
2 2 2 2 2 21 1 3 9 3 93 6 2 12 4
≤P ABC ABC
a b a b a bV S h ab
△ （当且仅当 a b 时等号成
立），设
2 2
9 4
a bt ，则0 3≤t ，
2
3 29 1( ) (3 ) ( 3 9 27)3 3
tV t t t t t ， 2( ) 2 3 ( 3)( 1)V t t t t t ，
当 0 1≤t 时， ( ) 0, ( )V t V t 单调递增，当1 3t 时， ( ) 0, ( )V t V t 单调递减，
所以当 1t ，即 4a b h 时，三棱锥体积取得最大值 32(1) 3V ．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．已知 ,x y 满足
2 4
2 2
3 3
≥
≥
≤
x y
x y
x y
，则 2z x y 的最大值为 ．
13．答案：2
解析：作出可行域为如图所示的 ABC△ ，其中 (0, 2), (1,0), (2,3)A B C ，则 2, 2, 1A B Cz z z ，
max 2Bz z ．
O x
y
A
B
C
14．在
5
2 2ax x
的展开式中， 4x 的系数为 5，则实数 a 的值为 ．
14．答案： 1
2
解析：由条件可知二项展开式的通项 2 5 5 10 3
1 5 5
2( ) ( 2)
k
k k k k k k
kT C ax C a xx
，令10 3 4k ，得
2k ，故 2 2 3 3 3
5
1 1( 2) 40 5, ,8 2C a a a a ．
15．已知直线 : 2 0l kx y k 与圆 2 2: 2 7 0C x y y 相交于 ,A B 两点，则 AB 的最小值为
．
15．答案： 2 6
解析：直线l 的方程为 2 ( 1)y k x ，经过定点 (1,2)P ，由已知的圆C 的标准方程为 2 2( 1) 8x y ，
可知圆心 (0,1)C ，半径 2 2r ，由 2 22AB r d 可知当直线l 与CP 垂直时弦长最小，此时
2d CP ，故 2 2
min 2 (2 2) ( 2) 2 6AB ．
4
3
2
1
1
2
2 2
B
A
P
C
O
16． ABC△ 的垂心 H 在其内部， 30 , 3A AH ，则 3BH CH 的取值范围是 ．
16．答案：(1, 3)
解析：由已知，得 ABC△ 为锐角三角形，如图，延长 , ,AH BH CH 分别交 , ,BC AC AB 于 , ,E F D ，因
为 H 是垂心，所以 , ,AE BC BF AC CD AB ，又 30BAC ，所以 60ABF ACD ．
设 , (0 ,30 )BAH ，则 30CAH ，又 3AH ，
所以在 ABH△ 中，由正弦定理得 2sinsin sin 60
BH AH BH
，
在 ACH△ 中，由正弦定理得 2sin(30 )sin(30 ) sin 60
CH AH CH
．
所以 3 2 3 sin 2sin(30 ) 3 sin cos 2sin(30 )BH CH ，因为 (0 ,30 ) ，
所以 30 (30 ,60 ) ，所以 1 3sin(30 ) , 2sin(30 ) (1, 3)2 2
， ，
即 3 (1, 3)BH CH
A
B C
D
E
FH
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 3 1
2
n
n
aS ．
（1）求 na ；
（2）若 ( 1)n nb n a ，且数列{ }nb 的前 n 项和为 nT ，求 nT ．
17．解析：（1）由已知可得， 2 3 1n nS a ， ①
所以 1 12 3 1 ( 2)n nS a n ≥ ， ②
①－②得， 1 12( ) 3 3n n n nS S a a ，
化简为 13 ( 2)n na a n ≥ ，即
1
3 ( 2)n
n
a na
≥ ， …3 分
在①中，令 1n 可得 1 1a ， …4 分
所以数列{ }na 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，
从而有 13n
na ． …6 分
（2） 1( 1) 3n
nb n ，
0 1 2 2 1
1 2 3 1
0 3 1 3 2 3 ( 2) 3 ( 1) 3
3 0 3 1 3 2 3 ( 2) 3 ( 1) 3
n n
n
n n
n
T n n
T n n
③
④
③－④得， 1 2 3 12 3 3 3 3 ( 1) 3n n
nT n …8 分
3 3 (3 2 ) 3 3( 1) 31 3 2
n n
n nn ． …10 分
所以， (2 3) 3 3
4
n
n
nT ． …12 分
18．（本小题满分 12 分）
甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223, 228]（单位：mm）内的零件为一
等品，其余为二等品．甲、乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：
甲 乙
8 7 21 8 9
8 6 6 5 2 22 1 3 4 5 7 8
4 3 1 23 0 2
（1）从甲、乙两位工人当天生产的零件中各随机抽取 1 个零件，求抽取的 2 个零件等级互不相同的概率；
（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取 3 个零件，记这 3 个零件中一等品数量为 X，求 X 的分布列和
数学期望．
18．解析：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了 10 个零件，其中 4 个一等品，6 个二等品；乙当天生产了
10 个零件，其中 5 个一等品，5 个二等品，
所以，抽取的 2 个零件等级互不相同的概率
4 5 6 5 1
10 10 2P
． …5 分
（2）X 可取 0，1，2，3． …6 分
0 3 1 2 2 1 3 0
4 6 4 6 4 6 4 6
3 3 3 3
10 10 10 10
1 1 3 1( 0) ; ( 1) ; ( 2) , ( 3)6 2 10 30
C C C C C C C CP X P X P X P XC C C C ；
…10 分
X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1
6 1
2 3
10 1
30
∴随机变量 X 的期望 1 1 3 1 6( ) 0 1 2 36 2 10 30 5E X ． …12 分
19．（本小题满分 12 分）
斜率为 ( 0)k k 的直线l 与抛物线 2y x 交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点，O 为坐标原点．
（1）当 1 2 2x x 时，求 k ；
（2）若OB l ，且 3AB OB ，求 AB ．
19．解析：（1）由已知可得， 2 2
1 1 2 2y x y x ， ，
所以 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) 2( )y y x x x x x x x x ，
此时，直线l 的斜率 1 2
1 2
2y yk x x
． …4 分
（2）因为OB l ，所以 kOB＝－ 1
k ，
又因为
2
2 2
2
2 2
OB
y xk xx x ，所以， 2
1x k ， …6 分
又由（1）可知， 1 2
1 2
1 2
y yx x kx x
，从而有， 1 2
1x k x k k ，
所以 2 2
1 2
21 1AB k x x k k k ，
2
2 2 2 4
2 2 2 2 2 4 2
1 1 1 kOB x y x x k k k
…9 分
因为 3AB OB ，所以
2
2
2
2 3 11 kk k k k
，
化简得， 3 2 3k k |，解得， 1k ，
所以， 2 21 3 2AB k k k ． …12 分
20．（本小题满分 12 分）
在直角三角形 ABC 中， 2AB BC ， D 为 AC 的中点．如图，以 BD 为折痕将 ABD△ 折起，使点 A
到达点 P 的位置，且 PB CD ．
（1）求证： PD 平面 BCD ；
（2）求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．
P
A
B
CD
20．解析：（1）∵直角三角形 ABC 中，
AB＝BC＝2，D 为 AC 的中点，
∴BD⊥CD，
又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，
∴CD⊥平面 PBD，
∴CD⊥PD，
又∵AD⊥BD，
∴PD⊥BD．
又因为 BD∩CD＝D，
∴PD⊥平面 BCD． …5 分
（2）以 D 为坐标原点，DA，DB，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 D－xyz，
则 ( 2,0,0), (0, 2,0), ( 2,0,0), (0,0, 2)A B C P ，
( 2,0, 2), (0, 2, 2), ( 2, 2,0)PA PB CB
,
设平面 PBC 的法向量 ( , , )n x y z ，
由 2 2 0
2 2 0
n PB y z
n CB x y
，可取 (1, 1, 1)n ． …9 分
6cos , 3
PA nPA n
PA n
，∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 6
3
． …12 分
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 1( ) log ( 0af x x ax ，且 1)a ．
（1）当 a e 时，曲线 ( )y f x 与直线 y m 相切，求 m 的值；
（2）若 ( )≥ ef x a
，求 a 的取值范围．
（1）当 a e 时， 1( ) lnf x x x ，所以 2 2
1 1 1( ) xf x x x x
． …1 分
设切点为 0 0( , ( ))x f x ，曲线 ( )y f x 与 y m 相切，得 0( ) 0f x ，
A B
C
P
D
x y
z
解得 0 1x ，所以切点为(1,1) ． …3 分
所以 1m ． …4 分
（2）依题意得 (1) ef a
≥ ，所以1 e
a
≥ ，从而 a e≥ ． …5 分
因为 2
ln( ) ,ln
x af x a ex a
≥ ，
所以当0 lnx a 时， ( ) 0f x ， ( )f x 单调递减；当 lnx a 时， ( ) 0f x ， ( )f x 单调递增，
所以当 lnx a ， ( )f x 取得最小值 1log (ln ) lna a a ． …7 分
设 ( ) ln ,g x e x x x ≥e ，则 ( ) 1e e xg x x x
≤0 ，
所以 ( )g x 在[ , )e 单调递减，从而 ( ) ( ) 0≤g x g e ，所以 lne x x≤ ． …10 分
又 a e≥ ，所以 lne a a≤ ，从而 1
ln
e
a a
≥ ，当且仅当 a e 时等号成立．
因为ln 1a≥ ，所以log (ln ) 0a a ≥ ，即 1log (ln ) lna
ea a a ≥ ．
综上，满足题设的 a 的取值范围为[ , )e ． …12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．
22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
在极坐标系中，曲线C 的方程为 2 2 2 sin 4 04
，以极点O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建
立平面直角坐标系 xOy ，直线 cos: sin
x tl y t
（t 为参数，0≤ ）．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于 ,A B 两点，求 OA OB 的取值范围．
22．（1）由 2 2 2 sin 4 04
得， 2 2 cos 2 sin 4 0 ．
所以 2 2 2 2 4 0x y x y ．曲线 C 的直角坐标方程为 2 2( 1) ( 1) 6x y ． …5 分
（2）将直线 l 的参数方程代入 2 2 2 2 4 0x y x y 并整理得，
2
1 2 1 2
1 2 1 2
2(sin cos ) 4 0, 2(sin cos ), 4 0.
2(sin cos ) 2 2 sin 4
t t t t t t
OA OB t t t t
因为0 ≤ ，所以 5
4 4 4
≤ ，从而有 2 2 2 sin 2 24
≤ ．
所以 OA OB 的取值范围是[0, 2 2]． …10 分
23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知 ( ) 1 2 1f x x x ．
（1）求不等式 ( ) 0f x 的解集；
（2）若 Rx 时，不等式 ( )≤f x a x 恒成立，求 a 的取值范围．
23．（1）由题意得 1 2 1x x , 所以 2 21 2 1x x ,
整理可得 2 2 0x x ，解得0 2x ，故原不等式的解集为{ | 0 2}x x ． …5 分
（2）由已知可得， ( )a f x x≥ 恒成立，
设 ( ) ( )g x f x x ，则
2, 1
1( ) 2 , 1 2
12 2, 2
x
g x x x
x x
≤ ≤
由 ( )g x 的单调性可知， 1
2x 时， ( )g x 取得最大值 1，
所以 a 的取值范围是[1, ) ． …10 分