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- 2021-04-16 发布
揭阳市2017—2018学年度高中二年级学业水平考试
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.是虚数单位，则复数在复平面内对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.“为真命题”是“为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于分钟的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.二项式的展开式中第项的系数为（ ）
A． B． C． D．
6.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7.在如图的程序框图中，若输入的，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
8.将函数的图象向左平移个单位再向上平移个单位，得到函数的图象，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9.函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
11.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎得五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少.若五只鹿的鹿肉共斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为（ ）
A． B． C． D．
12.若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．或
C．或
D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.
13.已知，则 ．
14.若，则 ．
15.已知等比数列的前项和为，若，，则公比 ．
16.已知点在椭圆上，且、、三点共线（是坐标原点），，则线段在轴上的投影长度的最大值为 ．
三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.中，内角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18.在长方体中，，分别是，的中点，，，过，
，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
19.某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“”的构成模式，第一个“”是语文、数学、外语，每门满分分，第二个“”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择其中个科目参加等级性考试，每门满分分，高考录取成绩卷而总分满分分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体，从学生群体中随机抽取了名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：
选考物理、化学、生物的科目数
人数
（1）从所调查的名学生中任选名，求该生选考物理、化学、生物科目数量不少于的概率；
（2）从所调查的名学生中任选名，记表示这名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）将频率视为概率，现从学生群体中随机抽取名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作，求事件“”的概率.
20.已知横坐标为的点在抛物线：上，且点到抛物线的焦点的距离.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线相交于，两点（、不同于原点），若直线与的斜率之和为
，证明直线过定点.
21.已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，试确定方程的实根个数.
附：当，且时，.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.
（1）求直线与的直角坐标方程；
（2）已知为直线上一动点，当点到圆心的距离最小时，求点的直角坐标.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，为不等式的解集.
（1）求；
（2）证明：当时，.