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- 2021-04-16 发布
太和一中2019-2020学年度第一学期第一次学情调研
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的）.
1.下列说法错误的是( )
A. 在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体
B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
【答案】B
【解析】
分析】
平均数与每一个样本的数据有关，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但是一组数据的平均数不一定大于这组数据中的每个数据．
【详解】对于A：总体：考察对象的全体，故A对；
对于C：在统计里，一组数据的集中趋势可以用平均数、众数与中位数，故C对．
∵平均数不大于最大值，不小于最小值．
比如：1、2、3的平均数是2，它小于3．故B不对；
∵从方差角度看，方差最小，数据较稳定，方差越大，波动性越大．故D正确．
故选B．
2.有五条线段长度分别为，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一三角形的概率
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】从五条线段中任取三条共有种可能，
其中能构成三角形的有，，三种可能，
故所取三条线段能构成一个三角形的概率为,
故选B
由题意知本题是一个古典概型.
3.执行如图所示的程序框图,输出的值为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据当型循环结构，逐次算出k,S的值，即可得解.
【详解】.
【点睛】本题考查了当型循环结构,属基础题.
4.某工厂某产品产量(千件)与单位成本(元)满足回归直线方程,则以下说法中正确的是( )
A. 产量每增加件,单位成本约下降元 B. 产量每减少件,单位成本约下降元
C. 当产量为千件时,单位成本为元 D. 当产量为千件时,单位成本为元
【答案】A
【解析】
【分析】
,用可得.
【详解】令,
因为,
所以产量每增加件,单位成本约下降元.
【点睛】本题考查了线性回归分析.属基础题.
5.下列命题错误的是（ ）
A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B. 命题“∀，”的否定是“，”
C. 若且为真命题，则均为真命题
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据逆否命题的定义判断；根据全称命题“”的否定为特称命题“”判断；根据且命题的性质判断；根据“”等价于“或”，结合充分条件与必要条件的定义判断.
【详解】根据逆否命题的定义可知，命题“若，则”的逆否命題是:“若 ,则，故正确；
根据全称命题“”的否定为特称命题“”可得命题“∀，”的否定是“，”，故不正确；
根据且命题的性质可得，若且为真命题，则均为真命题，故正确；
因为“”等价于“或”，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确，故选B.
【点睛】本题主要考查逆否命题的定义、全称命题的否定、且命题的性质、一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
6.设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间中，直线、平面平行与垂直的判定与性质，结合充分条件的定义去判断
【详解】对A，；
对B，
对C和D，关系均不确定；故选A．
【点睛】利用充分条件的定义判断充分条件，首先要分清条件p与结论q，若，则p是q的充分条件.
7.在区间[-1，1]上任取两个数、，则满足的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
依题意可得，满足的点如下图阴影部分：
根据几何概型可得满足的概率为，故选A
8.方程表示的曲线是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
因为,所以图像在二,四象限, 结合表示圆心在原点,半径为1的圆，即可得解.
【详解】因为表示圆心在原点,半径为1的圆,
又,说明图像在二,四象限,故选D.
【点睛】本题考查了曲线与方程,属基础题.
9.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
设过点的直线与椭圆相交于两点，
由中点坐标公式可得，
则，两式相减得，
所以，所以直线的斜率，
所以直线的方程为，整理得，故选A．
10.从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球,那么互斥而不对立的两个事件是（）
A. 至少有一个黒球与都是黒球 B. 至少有一个黒球与恰有个黒球
C. 至少有一个黒球与至少有个红球 D. 恰有个黒球与恰有个黒球
【答案】D
【解析】
【分析】
根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.
【详解】”至少有一个黒球与都是黒球”有公共事件:两个黑球,既不互斥,也不对立;
“至少有一个黒球与恰有个黒球”有公共事件:一个红球,一个黑球,既不互斥,也不对立;
“至少有一个黒球与至少有个红球”有公共事件:一个红球,一个黑球”,既不互斥,也不对立;
“恰有个黒球与恰有个黒球”是互斥事件,但不是对立事件,因为有可能是两个红球.
故选D.
【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,属基础题.
11.若分别是双曲线的左、右焦点,为双曲线上一点,且,则的长为()
A. B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据,推出点在双曲线的左支上,再根据双曲线的定义列等式可解得.
【详解】因为,所以必在双曲线左支上,
所以根据双曲线的定义可得:,
又,所以,
解得:,
故选C.
【点睛】本题考查了双曲线的定义,注意先判断出点在双曲线的左支上.属基础题.
12.不等式组的解集记为,有下面四个命题:
；
其中的真命题是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令,则,利用可求得.
【详解】令,则 , ,
,
,
,当且仅当,即 时,等号成立.
,故是真命题,命题是假命题.
因为存在时,,说明命题是假命题,命题是真命题;
所以命题 都是真命题.
故选.
【点睛】本题考查了不等式的性质,换元法.全称量词,特称量词,属中档题.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)
13.某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼分别为条、条、条、条、条,现从中抽取一个容量为的样本进行质量检测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的青鱼与鲤鱼共有______条．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出抽样比,再用样本容量乘以抽样比可得.
【详解】总体容量为:,抽样比为:,
所以青鱼与鲤鱼共有:,
故答案为:.
【点睛】本题考查了分层抽样,属基础题.
14.双曲线的焦距为__________
【答案】
【解析】
【分析】
将双曲线方程化成标准方程,所以,根据可得.
【详解】由得:,
所以,
所以,
所以,
所以焦距.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,属基础题.
15.已知样本数据,,…的方差为4,则数据,,…的标准差是
【答案】4
【解析】
【分析】
设原数据的平均数为，则新数据的平均数为2+3，然后利用方差的公式计算即可．
【详解】设原数据的平均数为，则新数据的平均数为2+3，
则其方差为[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]＝4，
则新数据的方差为：[（2x1+3﹣2﹣3）2+（2x2+3﹣2﹣3）2+…+（2xn+3﹣2﹣）2]
＝4×[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]
＝16．
故新数据的标准差是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了方差和标准差的定义的应用，属于基础题．
16.如图,椭圆的右焦点为,过的直线交椭圆于两点,点是点关于原点的对称点,若且,则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边,进一步得到三角形为等腰直角三角形,设,求出,在三角形 中由勾股定理得,即可求出,则答案可求.
【详解】作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边,
所以,且,则三角形为等腰直角三角形,
设 ,则,解得,
,在三角形 中由勾股定理得,
所以,
故答案为:.
【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属中档题.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.学生会有共名同学,其中名男生名女生,现从中随机选出名代表发言.求：
同学被选中的概率；
至少有名女同学被选中的概率.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件总数和同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;
(2)利用对立事件的概率公式即可求得.
【详解】解：选两名代表发言一共有,,
共种情况,
其中.被选中的情况是共种.
所以被选中的概本为.
不妨设四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:
共种,
则至少有一名女同学被选中的概率为.
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题.
18.已知方程表示圆;方程表示焦点在轴上的椭圆.
（1）若为真命题,求实数的取值范围;
（2）若“”为假,“”为真,求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）整理圆的方程：，根据，即可求解；
（2）根据椭圆的标准方程，求得为真时，，再根据一真一假，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）整理圆的方程：
若为真，则
（2）若为真，则
由题可知，一真一假
故“真假”时，
则
“真假”时，
则
综上，
【点睛】本题主要考查了利用简单的复合命题的真假求解参数问题，其中解答中正确求解命题，再根据复合命题的真假，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 (吨)标准煤的几组对照数据
(1)请根据上表提供数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
参考公式：
【答案】(1) y=0.7x+0.35；(2) 19.65吨．
【解析】
【分析】
（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）令，求得改造后的能耗，用原来的能耗减去改造后的能耗，求得生产能耗比技改前降低的标准煤吨数.
【详解】（1）由对照数据，计算得，=4.5，=3.5，
∴回归方程的系数为=0.7，=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35；
（2）由（1）求出的线性回归方程，
估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），
由90-70.35=19.65，
∴生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨．
【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.
20.某校名学生数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是,,,，，.
求图中的值；
根据频率分布直方图,估计这名学生的平均分；
若这名学生的数学成绩中,某些分数段的人数与英语成绩相应分数段的人数之比如表所示,求英语成绩在的人数.
分数段
:5
1:2
1:1
【答案】（1）（2）平均数为（3）人
【解析】
【分析】
(1)根据面积之和为1列等式解得.
(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,
(3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可.
【详解】解：由,
解得.
频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,
即估计平均数为.
由频率分布直方图可求出这名学生的数学成绩在,,的分别有人,人,人,按照表中给的比例,则英语成绩在,,的分别有人,人,人,所以英语成绩在的有人.
【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题.
21.如图所示,已知两点分别在轴和轴上运动,点为延长线上一点,并且满足,,试求动点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设出点的坐标,然后根据,用的坐标表示的坐标,最后利用列式可求得动点的轨迹方程.
【详解】设,则,.
由,得,即,
故.
又,,
由,得,
故,得,
即为动点的轨迹方程.
【点睛】本题考查了坐标转移法求动点的轨迹方程,属中档题.
22.已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）3.
【解析】
【分析】
（1）由的周长为8，可知,结合离心率为，可求出，，，从而可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，将直线方程与椭圆方程联立可得到关于的一元二次方程，由三角形的面积公式可知，结合根与系数关系可得到的表达式，求出最大值即可。
【详解】（1）由题意知, ,则,
由椭圆离心率,则,,
则椭圆的方程.
（2）由题意知直线的斜率不为0，
设直线方程为，，，
则 ，
所以
，
令，则，所以，
而在上单调递增，则的最小值为4，
所以，
当时取等号，即当时，的面积最大值为3.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了三角形的面积公式的运用，属于难题。