2020年高考数学演练仿真模拟卷（江苏专版）（解析版） 17页

‎ 2020年高考数学演练仿真模拟卷 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ ‎4．测试范围：高中全部内容．‎ 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1.已知集合A={x|‎(‎1‎‎2‎)‎x＜1}‎，集合B＝{x|lgx＞0}，则A∪B＝　 　．‎ ‎【答案】 {x|x＞0}．‎ ‎【解析】A=(0,+),B＝(1,+),则A∪B＝{x|x＞0}.‎ ‎2.已知，那么复数 ．‎ ‎【答案】－1－i ‎【解析】（1-i）（1+i）z=-2i（1-i）可得z=－1－i ‎3.从这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ‎ ‎【答案】0.6‎ ‎【解析】从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数共10种可能，这两个数的和是奇数共6种可能，故这两个数的和是奇数的概率为0.6.‎ ‎4.设样本数据x1，x2，…，x2020的方差是4，若yi＝2xi﹣1（i＝1，2，…，2020），则y1，y2，…，y2020的方差为__ 　．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】y1，y2，…，y2020的方差为×4=16.‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为　 　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】模拟程序的运行过程，可得：‎ 第一次运行：k＝1时，，‎ 第二次运行：k＝2时，，‎ 第三次运行：此时k＝3满足k≥3，退出循环，输出S=.‎ ‎6.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为　 　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可设焦点在轴上的双曲线方程为，‎ 由于该双曲线的渐近线方程为，则，‎ 在双曲线中，所以双曲线的离心率，‎ 故双曲线的离心率为．‎ ‎7..用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．‎ ‎【答案】 cm3‎ ‎【解析】设圆锥底面圆的半径为r，扇形的面积为cm2 得，，，所以=.‎ ‎8.已知各项均为正数的等比数列{an}满足则的值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为a3=4,S3=7,则q≠1,‎ 所以,整理可得,3q2﹣4q﹣4=0,‎ 因为q>0,解可得q=2或q(舍)，则a22.‎ ‎9.已知函数（其中为自然对数的底数）为偶函数，则实数的值为 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为为偶函数，所以恒成立即 ‎，整理得到恒成立，故.‎ ‎10.若函数在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 ．‎ ‎【答案】(0，)‎ ‎【解析】由题意在（0，）上单调减，在（，）上单调减，所以，即b的取值范围是(0，).‎ ‎11.已知A,B为平面内的两点,AB=2,M是AB的中点,点P在该平面内运动,且满足,则PM的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立平面直角坐标系，利用求得点的轨迹方程，根据圆的几何性质求得的最大值，以AB所在的直线为x轴,以AB的中点M为原点,建立直角坐标系.A(﹣1,0),B(1,0),设P(x,y),点P在该平面内运动,且满足,‎ 可得,化简可得(x)2+y2,‎ 轨迹为以(,0)为圆心,为半径的圆.‎ ‎|PM|的最大值:.‎ ‎12.平面内两个非零向量满足=1，且与的夹角为135°，则||的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】与的夹角为135°，得∠OAB＝45°，设向量与夹角为θ，则0°＜θ＜135°，0＜sinθ≤1，在△AOB中，由正弦定理得＝，‎ ‎∴ OA＝sinθ，0＜sinθ≤，0＜OA≤，‎ 即0＜|α|≤.‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B，C为圆O：x2+y2＝4上的两动点，且BC＝2‎3‎，若圆O上存在点P，使得AB‎→‎‎+AC‎→‎=mOP‎→‎，m＞0成立，则正数m的取值范围为　 　．‎ ‎【答案】‎‎(0，‎2‎+1]‎ ‎【解析】设BC中点为D，则OD‎=‎4-3‎=‎1，‎ 即D点轨迹方程为：x2+y2＝1，‎ 由AB‎→‎‎+AC‎→‎=mOP‎→‎（m＞0）得‎2AD‎→‎=mOP‎→‎，‎ 设D（x0，y0），P（x1，y1），‎ 则x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=1‎，x‎1‎‎2‎‎+y‎1‎‎2‎=4‎，‎ 且2（x0﹣1，y0﹣1）＝m（x1，y1），‎ ‎∴‎2(x‎0‎-1)=mx‎1‎‎2(y‎0‎-1)=my‎1‎，‎ ‎∴‎4(x‎0‎-1‎)‎‎2‎+4(y‎0‎-1‎)‎‎2‎=m‎2‎x‎1‎‎2‎+‎m‎2‎x‎2‎‎2‎，‎ ‎∴‎(x‎0‎-1‎)‎‎2‎+(y‎0‎-1‎)‎‎2‎=‎m‎2‎，‎ 即‎(x‎0‎-1‎)‎‎2‎+(y‎0‎-1‎‎)‎‎2‎‎=m，‎ 故m表示点A（1，1）到（x0，y0）的距离，‎ ‎∵OA‎=‎‎2‎，‎ ‎∴‎2‎‎-1≤m≤‎2‎+1‎，‎ 又∵m为正实数，∴0＜m‎≤‎2‎+‎1，‎ ‎14．已知函数，若关于的方程有且仅有1个实根，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得,所以.‎ 当时，关于方程有且仅有1个实根；‎ 当时，关于的方程有且仅有1个实根，故答案为：.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA‎=‎‎3‎‎5‎，tan（A﹣B）‎=‎‎1‎‎3‎，角C为钝角，b＝5．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）求边c的长．‎ ‎【解析】（1）角C为钝角，由sinA‎=‎‎3‎‎5‎，则cosA‎=‎1-sin‎2‎A=‎‎4‎‎5‎． ………2分 那么：tanA‎=‎‎3‎‎4‎ ‎∵tan（A﹣B）‎=‎‎1‎‎3‎，即=，可得：tanB‎=‎‎1‎‎3‎ 即=，sin2B+cos2B＝1， ………4分 解得：sinB‎=‎‎10‎‎10‎． ………6分 ‎（2）由（1）可知：sinB‎=‎‎10‎‎10‎，‎ 则cosB‎=‎1-sin‎2‎B=‎‎3‎‎10‎‎10‎ ………10分 那么：sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB‎=‎‎13‎‎10‎‎50‎ 正弦定理：，可得：c＝13． ………14分 ‎16.（本小题满分14分）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B＝A1D，AB＝AD．‎ 求证：‎ ‎（1）AA1⊥BD；‎ ‎（2）BB1∥DD1．‎ ‎【解析】（1）取BD中点E，连接AE、A1E ‎∵△ABD中，AB＝AD，E为BD中点 ‎∴AE⊥BD，同理可得A1E⊥BD， ………2分 ‎∵AE、A1E⊂平面A1AE，AE∩A1E＝E ‎∴BD⊥平面A1AE，‎ ‎∵AA1⊂平面A1AE，∴AA1⊥BD； ………6分 ‎（2）∵AA1∥CC1，AA1⊂平面AA1B1B，CC1⊄平面AA1B1B，‎ ‎∴CC1∥平面AA1B1B ………8分 ‎∵CC1⊂平面CC1B1B，平面CC1B1B∩平面AA1B1B＝BB1‎ ‎∴BB1∥CC1，同理可得DD1∥CC1， ………10分 ‎∴BB1∥DD1． ………14分 ‎17.（本小题满分14分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．‎ ‎（1）求BC的长度；‎ ‎（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？‎ ‎【解析】（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，‎ 设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，‎ 在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα‎=‎‎2.5‎x，tanβ‎=‎‎0.5‎x，………2分 则tanθ＝tan（α﹣β）‎=tanα-tanβ‎1+tanαtanβ=‎‎2xx‎2‎‎+1.25‎（x＞0），‎ 令u‎=‎‎2xx‎2‎‎+1.25‎，则ux2﹣2x+1.25u＝0，‎ ‎∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，‎ 即4﹣4×1.25u2≥0，∴u‎≤‎‎1‎‎1.25‎，即（tanθ）max‎=‎‎1‎‎1.25‎，………4分 ‎∵正切函数y＝tanx在（0，π‎2‎）上是增函数，‎ ‎∴视角θ同时取得最大值，‎ 此时，x‎=‎2‎‎2u=‎‎1.25‎，‎ ‎∴观察者离墙‎1.25‎米远时，视角θ最大；………6分 ‎（2）由（1）可知，tanθ‎=‎1‎‎2‎=‎4-ax‎-‎‎2-ax‎1+‎4-ax⋅‎‎2-ax=‎‎2xx‎2‎‎+8-6a+‎a‎2‎，‎ 即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，‎ ‎∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，………10分 ‎∵1≤a≤2，‎ ‎∴1≤（x﹣2）2≤4，………12分 化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，‎ 又∵x＞1，∴3≤x≤4.………14分 ‎18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆：的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，线段的中点为，直线：交椭圆于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求证：点在直线上；‎ ‎（3）是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】(1) 解：由，解得，‎ 所以所求椭圆的标准方程为………4分 ‎（2）设，，，‎ ‎，消得，，‎ 解得………6分 将代入到中，满足方程 所以点在直线上.………8分 ‎（3）由（2）知到的距离相等，‎ 若的面积是面积的3倍，得，………10分 有，‎ ‎∴是的中点，………12分 设，则，‎ 联立，解得，………14分 于是 解得，所以.………16分 ‎19．（本小题满分16分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），并设F(x)=‎f(x)‎ex，‎ ‎（1）若F（x）图象在x＝0处的切线方程为x﹣y＝0，求b、c的值；‎ ‎（2）若函数F（x）是（﹣∞，+∞）上单调递减，则 ‎①当x≥0时，试判断f（x）与（x+c）2的大小关系，并证明之；‎ ‎②对满足题设条件的任意b、c，不等式f（c）﹣Mc2≤f（b）﹣Mb2恒成立，求M的取值范围．‎ ‎【解析】（1）因为F(x)=‎x‎2‎‎+bx+cex，所以F'(x)=‎‎-x‎2‎+(2-b)x+(b-c)‎ex，‎ 又因为F（x）图象在x＝0处的切线方程为x﹣y＝0，‎ 所以 F(0)=0‎F'(0)=1‎，即c=0‎b-c=1‎，解得 b＝1，c＝0．………4分 ‎（2）①因为F（x）是（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，所以F′（x）≤0恒成立，‎ 即﹣x2+（2﹣b）x+（b﹣c）≤0对任意的x∈R恒成立，‎ 所以△＝（2﹣b）2+4（b﹣c）≤0，所以‎4c≥b‎2‎+4≥2b‎2‎‎×4‎=4|b|≥4b，即c＞b且c≥1，………6分 令g（x）＝f（x）﹣（x+c）2＝（b﹣2c）x﹣c（c﹣1），由b﹣2c＜0，知g（x）是减函数，‎ 故g（x）在[0，+∞）内取得最大值g（0），又g（0）＝﹣c（c﹣1）≤0，‎ 所以x≥0时，g（x）≤g（0）≤0，即f（x）≤（x+c）2．………8分 ‎②由①知，c≥|b|≥0，当|b|＝c时，b＝c或b＝﹣c，‎ 因为b2+4﹣4c≤0，即c2+4﹣4c≤0，解得c＝2，b＝2或b＝﹣2，所以f（x）＝x2±2x+2，‎ 而f（c）﹣f（b）＝c2+bc+c﹣b2﹣b2﹣c＝c2+bc﹣2b2＝（c+2b）（c﹣b），‎ 所以f（c）﹣f（b）＝﹣8或0，………10分 不等式f（c）﹣Mc2≤f（b）﹣Mb2等价于f（c）﹣f（b）≤M（c2﹣b2），‎ 变为﹣8≤M•0或0≤M•0恒成立，M∈R，………12分 当|b|≠c时，c＞|b|，即c2﹣b2＞0，所以不等式f（c）﹣Mc2≤f（b）﹣Mb2恒成立等价于M≥‎f(c)-f(b)‎c‎2‎‎-‎b‎2‎恒成立，等价于M≥(‎f(c)-f(b)‎c‎2‎‎-‎b‎2‎‎)‎max，‎ 而f(c)-f(b)‎c‎2‎‎-‎b‎2‎‎=‎(c+2b)(c-b)‎‎(c+b)(c-b)‎=c+2bc+b=2-‎‎1‎‎1+‎bc，………14分 因为c＞|b|，‎|bc|＜1‎，所以‎-1＜bc＜1‎，所以‎0＜1+bc＜2‎，所以‎1‎‎1+‎bc‎＞‎‎1‎‎2‎，‎ 所以f(c)-f(b)‎c‎2‎‎-‎b‎2‎‎＜2-‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎，所以M≥‎‎3‎‎2‎．………16分 ‎20．（本小题满分16分）已知常数，数列的前项和为， 且 .‎ ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）若 ，且数列是单调递增数列，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若 ，数列满足：对于任意给定的正整数 ，是否存在 ，使 ？若存在，求 的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】（1）∵ ∴， ， ‎ ‎∴ ………1分 化简得：（常数），‎ ‎∴ 数列是以 为首项，公差为的等差数列；………2分 ‎(2）由（Ⅰ）知 ，又∵ ， ，‎ ‎∴ ，∴ ………4分 ‎①当是奇数时，∵ ，∴，‎ 令 ，∴ ………6分 ‎∵ ‎ ‎∴ ，且，∴ ；………8分 ‎② 当是偶数时，∵ ，∴ ，‎ 令 ，∴ ………10分 ‎∵ ‎ ‎∴ ，且，∴ ；‎ 综上可得：实数的取值范围是 ． ………12分 ‎（3）由（Ⅰ）知，，又∵，‎ 设对任意正整数，都存在正整数，使 ，‎ ‎∴，∴ ………14分 令，则 （或 ）‎ ‎∴ （或）………16分 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎（满分：40分 考试时间：30分钟）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.‎ 若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵A＝，B＝，且AB＝BA．‎ ‎（1）求实数a；‎ ‎（2）求矩阵B的特征值．‎ ‎【解析】（1）因为AB＝ ＝，………………2分 BA＝ ＝，‎ 且AB＝BA，所以a＝0；………………6分 因为B＝，矩阵B的特征多项式为f（λ）＝＝（λ﹣2）（λ﹣1），………8分 令f（λ）＝0，解得λ＝2，λ＝1．………………10分 B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在极坐标系中，设直线θ‎=‎π‎3‎与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4＝0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．‎ ‎【解析】将直线θ‎=‎π‎3‎化为普通方程得，y=‎‎3‎x，‎ 将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4＝0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4＝0，………………2分 联立y=‎3‎xx‎2‎‎+y‎2‎-10x+4=0‎并消去y得，2x2﹣5x+2＝0，………………4分 ‎∴x1+x2‎=‎‎5‎‎2‎，………………6分 ‎∴AB中点的横坐标为x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=‎‎5‎‎4‎，纵坐标为‎5‎‎3‎‎4‎，………………7分 ‎∴ρ=‎(‎5‎‎4‎‎)‎‎2‎+(‎‎5‎‎3‎‎4‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎………………8分 化为极坐标为‎(‎5‎‎2‎，π‎3‎)‎．………………10分 C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知为实数，且证明：‎ ‎【解析】由柯西不等式可得，……………3分 因为，所以，……………6分 因此．……………10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若＝λ，且向量与夹角的余弦值为．‎ ‎（1）求实数λ的值；‎ ‎（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．‎ ‎【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；‎ 则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；＝λ，可得C（λ，2，0）．‎ ‎（1）＝（λ，2，﹣2），＝（﹣1，2，0），向量与夹角的余弦值为．‎ 可得＝，解得λ＝10（舍去）或λ＝2．……………3分 实数λ的值为2．……………4分 ‎（2）＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2），平面PCD的法向量＝（x，y，z）．‎ 则且，即：x+y﹣z＝0，y﹣z＝0，∴x＝0，……………6分 不妨去y＝z＝1，‎ 平面PCD的法向量＝（0，1，1）．又＝（1，0，2）．‎ 故cos＝＝．……………9分 直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：．……………10分 ‎23．（本小题满分10分）平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为.‎ ‎（1）若，求的最小值；‎ ‎（2）若，求证：.‎ ‎【解析】（1）当时，共有个点，‎ 若染红色的点的个数为个或个，则；……………1分 若染红色的点的个数为个或个，则；……………2分 若染红色的点的个数为个或个，则；……………3分 若染红色的点的个数为，则；……………4分 因此的最小值为.……………5分 ‎（2）首先证明：任意，，，有.‎ 证明：因为，所以.‎ 设个点中含有个染红色的点，‎ ‎①当时，‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 于是.……………6分 ‎②当时，‎ ‎，‎ 同上可得.……………7分 ‎③当时，‎ ‎，……………8分 设，，‎ 当时，‎ ‎，‎ 显然，‎ 当即时，，‎ 当即时，，‎ 即，，‎ 因此，即.‎ 综上，当时，.……………10分