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- 2021-04-16 发布
钢城四中2018—2019学年（上）期中考试卷
学科
数学（理科）
年级
高二
命题
宋楚芳
审核
胡世忠
时间
120
分值
150’
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）。
1．直线经过点，且倾斜角是直线倾斜角的2倍，则以下各点在直线上的是
A． B． C． D．
2．已知程序框图如图，则输出i的值为
A． 7 B． 9 C． 11 D． 13
3．执行如图所示的程序框图，如果输入的，
则输出的值的取值范围是
A． 或 B． C． 或 D． 或
4．某初级中学有学生270人，其中七年级108人，八、九年级各81人，现要利用抽样方法抽
取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A． ②、③都不能为系统抽样
B． ②、④都不能为分层抽样
C． ①、④都可能为系统抽样
D． ①、③都可能为分层抽样
5．某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）
A． 得分在之间的共有40人
B． 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在
的概率为
C． 这100名参赛者得分的中位数为65
D． 估计得分的众数为55
6．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用如图所示的茎叶图表示，s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是( )．
A． s1＞s2 B． s1＝s2 C． s1＜s2 D． 不确定
7．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各选一个数作
为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个
数为( )
A． 18个 B． 10个 C． 16个 D． 14个
8.若是圆 上任一点，则点到直线 距离的最大值（ ）
A． 4 B． 6 C． D．
9．在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用四种颜色给这五个行政区着色，当相邻的区域不能用同一颜色时，则不同的着色方法共有（ ）
A． 72种 B． 84种 C． 180种 D． 390种
10．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、、三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为，
A． B． C． D．
11．展开式中的系数为( )
A． 14 B． -14 C． 56 D． -56
12．已知 ，则（ ）
A． 18 B． 24 C． 36 D． 56
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．若的展开式中项的系数为，则的最小值为__________．
14．方程的非负整数解的组数为_________
15．已知经过点作圆： 的两条切线，切点分别为， 两点，则直线的方程为__________.
16．若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________．
班 级
姓 名
考 号
钢城四中2018—2019学年（上）期中考试卷
学科
数学（理科）
年级
高二
命题
宋楚芳
审核
胡世忠
时间
120
分值
150’
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如表：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限年
3
5
6
7
9
推销金额万元
2
3
3
4
5
求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
若第6名推销员的工作年限是11年，试估计他的年推销金额．
（参考数据，，
参考公式：线性回归方程中，，其中为样本平均数）
18．已知圆C：，直线l1过定点A (1，0)．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．
19．某中学从参加环保知识竟赛的学生中抽取了部分学生的成绩进行分析，不过作好的茎叶图和频率分布直方图因故均受到不同程度的损坏，其可见部分信息如图所示，据此解答下列问题：
（1）求抽取学生成绩的中位数，并修复频率分布直方图；
（2）根据修复的频率分布直方图估计该中学此次环保知识竞赛的平均成绩。（以各组的区间中点值代表该组的各个值）
20．（本小题满分14分）将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，
（1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法;
（2）若每个盒子放一球，求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；
（3）求恰有一个空盒子的放法种数。
21．已知二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3
（1）求n的值；
（2）求展开式中项的系数
（3）计算式子的值．
22．已知圆:和点.
（Ⅰ）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；
（Ⅱ）当时，试判断过点，且倾斜角为的直线与圆的位置关系.若相交，求出相交弦长；若不相交，求出圆上的点到直线的最远距离.
（Ⅲ）圆C：，与轴相交于两点P,Q（点P在Q的左侧），过点P任作一条直线与圆相交于两点E，F。问：是否存在实数b，使得？若存在，求出实数b 的值，若不存在，请说明理由。
2018-2019上学期高二数学（理科）参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先求圆心到点(0,-1)的值d，则点P到直线 距离的最大值为d+r.
【详解】
由题得直线过定点（0，-1），
所以圆心（-3,3）到定点的距离为，
所以点P到直线 距离的最大值为5+1=6.
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.
2．A
【解析】
【分析】
由已知得到直线倾斜角为，所以直线倾斜角为 ，由此得到直线方程．
【详解】
因为直线经过点，且倾斜角是直线倾斜角的2倍，而直线倾斜角为，所以直线倾斜角为，又直线经过点，所以直线l 的方程为 ；
故选：A．
【点睛】
本题考查了直线的斜率与直线的倾斜角；如果直线倾斜角为，直线斜率不存在．
3．D
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【详解】
当时，不满足退出循环的条件，故，
当时，不满足退出循环的条件，故，
当时，不满足退出循环的条件，故，
当时，不满足退出循环的条件，故，
当时，不满足退出循环的条件，故，
当时，不满足退出循环的条件，故，
当时，满足退出循环的条件，
故输出
故选
【点睛】
本题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答。
4．C
【解析】
由题意知，该程序的功能是求函数的值域．
①当时，在区间上单调递增，
∴，即；
②当时，，当且仅当，即时等号成立．
综上输出的值的取值范围是或．选C．
5．D
【解析】
【分析】
：根据系统抽样、分层抽样、简单随机抽样的定义判断答案。
【详解】
：现有学生270人，利用系统抽样方法抽取10人，先分段为10段，每一段取一人，在第一组中随机取一个数为第一个编号，后面的数的编号以27为公差的等差数列所以③④为系统抽样。分层抽样按七年级108人，八、九年级各81人，样本中所含人数分别为4,3,3.那么编号有4个数，编号有3个数，编号有3个数，所以①、②、③为分层抽样。故选D。
【点睛】
：简单随机抽样：随机的从总体中抽出样本。
系统抽样：先分段，要多少样本就分成多少段，，每一段取一人，在第一组中随机取一个数为第一个编号，后面的数的编号以总体除以段数为公差的等差数列。
分层抽样：先分类，按照每一类所占的比例值抽取样本总数。
6．C
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图，利用最高的小矩形对应的底边中点估计众数；根据频率和为1，计算a的值；计算得分在[60，80）内的频率，用频率估计概率即可．
【详解】
根据频率和为1，计算（a+0.035+0.030+0.020+0.010）×10=1，解得a=0.005，
得分在的频率是0.40，估计得分在的有100×0.40=40人，A正确；
得分在的频率为0.5，用频率估计概率，
知这100名男生中随机抽取一人，得分在的概率为，B正确．
根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为 ，∴估计众数为55，D正确；
故选C.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图，频率、频数与众数的计算问题．
7．C
【解析】
【分析】
先求均值，再根据标准差公式求标准差，最后比较大小.
【详解】
乙选手分数的平均数分别为
所以标准差分别为
因此s1＜s2，选C.
【点睛】
本题考查标准差，考查基本求解能力.
8．B
【解析】
【分析】
第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制，分两种情况讨论，然后根据分类加法计数原理即可得到结果
【详解】
第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制
分两种情况讨论，
第一种：取中的点作横坐标，取中的点作纵坐标，共有种
第二种：取中的点作横坐标，取中的点作纵坐标，共有种
综上所述共有种
故选
【点睛】
本题主要考查了分类加法计数原理，结合点坐标的特征来求解，属于基础题。
9．A
【解析】
【分析】
可分2种情况讨论：若选3种颜色时，必须同色且同色；若4种颜色全用，只能同色或同色，其它不相同，从而可得结果.
【详解】
选用3种颜色时，必须同色且同色，与进行全排列，
涂色方法有种；
4色全用时涂色方法：同色或同色，有种情况，
涂色方法有种，
不同的着色方法共有种，故选A.
【点睛】
本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
10．B
【解析】
【分析】
分甲和另一个人一起分到A班有，甲一个人分到 A班的方法有：，加到一起即为结果.
【详解】
甲和另一个人一起分到A班有=6种分法，甲一个人分到 A班的方法有：=6种分法，共有12种分法；
故答案为：B.
【点睛】
解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
11．B
【解析】从的7个因式中两个取 其余取1或者三个取 其余取1，分别为含 的项，与相乘后合并同类项可得系数为，故选B.
12．B
【解析】，故， .
13．
【解析】结合点的坐标和圆的方程可得直线与圆相切，切点为，
且直线与直线垂直，其中： ，故，
直线AB的点斜式方程为： ，整理为一般式即： .
14．120
【解析】把分成个 ,每个看作一个元素， 看作四个不同的对象,现将 个元素分配给四个对象分类：① 中三个为 ,有 种；②中两个为,有种；③中有一个为 ,有
④中均不为,有种.故非负整数解组.故答案为.
15．
【解析】 ，令，
则，则 ， ,则的最小值为2.
16．
【解析】
由直线方程可知两直线斜率相等，所以，由平行线线的几何性质知的轨迹为平行于的直线，直线方程为，又点在圆的内部，故的轨迹是如图所示的线段．即原点和距离的平方．由图可知，，，，故答案为．
【方法点晴】本题主要考查轨迹方程及解析几何求最值，属于难题.解决曲线轨迹中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线轨迹中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.本题是先将转化为直线上的点与原点距离的平方，然后利用几何方法解答的.
17．（1）或
【解析】
【分析】
（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；
（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.
【详解】
（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得 . 所求直线l1的方程是或.
(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，
则圆心到直线l1的距离
又∵△CPQ的面积
＝
∴当d＝时，S取得最大值2.
∴＝ ∴ k＝1 或k＝7
所求直线l1方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
18．（1）.
（2）变量x与y之间是正相关.
（3）万元.
【解析】分析：首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再利用样本中心点满足线性回归方程和前面做出的横标和纵标的平均值，求出a的值，写出线性回归方程．
根据，即可得出结论；
第6名推销员的工作年限为11年，即当时，把自变量的值代入线性回归方程，得到y的预报值，即估计出第6名推销员的年推销金额为万元．
详解：由题意知：，
于是：，，
故：所求回归方程为；
由于变量y的值随着x的值增加而增加，故变量x与y之间是正相关
将带入回归方程可以估计他的年推销金额为万元．
点睛：本题考查回归分析的初步应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，是一个综合题目．
19．（1）见解析（2）75
【解析】
【分析】
（1）根据中位数定义得中位数应该是第10和第11个同学的成绩的平均数，再根据频数除以总数得频率，再除以组距得纵坐标，（2）根据组中值与对应概率乘积的和计算平均值.
【详解】
解：（1）抽取的总人数为：(人)
中位数应该是第10和第11个同学的成绩的平均数，
故：中位数
90-100的频率为：
60-70的频率为：，即：
70-80的频率为：，即：
80-90的频率为：，即：
修复直方图如左图所示：
（2）
答：估计该中学此次环保知识竞赛的平均成绩是75分
【点睛】
（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为1；
（2）频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和
（3）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性
20．（1）24；（2）8；（3）144；
【解析】
试题分析：（1）直接利用排列数公式即可；（2）先从四个球中选出一个与盒子号码相同，再把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中；（3）先从四个盒子中选出一个空盒子，再把球分成2、1、1三组放入三个盒子中，属于不平均分组问题。
试题解析：（1）种；（2）先从四个球中选出一个与盒子号码相同由种方法，再把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中有2种方法，所以有种；（3）先从四个盒子中选出一个空盒子有种方法，再把球分成2、1、1三组放入三个盒子中有种，所以有种
考点：1．排列的定义；2．特殊元素优先排；3．不平均分组的排列组合；
21．（1）；（2）180；（3）1.
【解析】
试题分析： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．第一问，直接利用条件可得，求得n的值；第二问，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3项的系数．第三问，在二项展开式中，令x=1，可得式子的值．
试题解析：（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3，可得，
化简可得，求得．
（2）由于二项展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为．
（3）由二项式定理可得，
所以令x=1得.
考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．
22．（1）， （2）
【解析】试题分析：（1）根据点和圆的位置关系求得，再根据直线和圆相切得到，进而得到参数值；（2）通过判断，所以直线与圆相交，由垂径定理得到。
解析：
解：（Ⅰ）由题意，点M在圆上，即 所以.
此时，设点M处切线为，其斜率为，因为 所以，
解得.
所以切线方程为，化简得.
（Ⅱ）当时，直线： ，即.
因为，所以直线与圆相交.
又, 所以.