【数学】2020届数学文一轮复习第九章第6讲双曲线作业 7页

‎1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，‎ 所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎2．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　 B.4‎ C．6 D．8‎ 解析：选B.由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.‎ ‎3．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为(　　)‎ A. B．2‎ C. D．2 解析：选D.法一：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.‎ 法二：离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.‎ ‎4．(2017·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－y2＝1 D．x2－＝1‎ 解析：选D.由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan 60°＝，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎5．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选B.因为∠F1AF2＝90°，‎ 故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，‎ 又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，‎ 故10a2＝4c2，故＝，‎ 故e＝＝.‎ ‎6．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为____________．‎ 解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1.‎ 答案：－＝1‎ ‎7．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．‎ 解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，‎ 所以＝.又b2＝c2－a2，所以＝，‎ 即e2－1＝，所以e2＝，所以e＝.‎ 答案： ‎8．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.‎ 解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且点(4，－)，点M(3，m)都在双曲线上．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)求证：·＝0；‎ ‎(3)求△F1MF2的面积．‎ 解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．‎ 所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.‎ 因为双曲线过点(4，－)，‎ 所以16－10＝λ，即λ＝6.‎ 所以双曲线方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)证明：设F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ 则＝(－2－3，－m)，‎ ＝(2－3，－m)．‎ 所以· ‎＝(3＋2)×(3－2)＋m2‎ ‎＝－3＋m2，‎ 因为M点在双曲线上，‎ 所以9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ 所以·＝0.‎ ‎(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4.‎ 由(2)知m＝±.‎ 所以△F1MF2的高h＝|m|＝，‎ 所以S△F1MF2＝×4×＝6.‎ ‎10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB的长．‎ 解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，‎ 所以解得c＝3，b＝，‎ 所以双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，‎ 所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．‎ 联立 得5x2＋6x－27＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝－.‎ 所以|AB|＝ × ＝.‎ ‎1．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)‎ A. B.1‎ C．2 D．4‎ 解析：选C.由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)B(x2，－x2)，所以AB中点坐标为，所以－＝2，即x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2，故选C.‎ ‎2．已知点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　)‎ A．2 B.4‎ C. D． 解析：选C.由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，‎ ‎|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2，‎ ‎|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，‎ 因为|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，‎ 所以a＝k，所以|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，‎ 又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，‎ 即13a2＝c2，所以e＝＝.‎ ‎3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)‎ A. B．3‎ C．2 D．4‎ 解析：选B.因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.‎ ‎4．(2019·东北四市模拟)F为双曲线－＝1(a>b>0)的左焦点，过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝，则双曲线的离心率为________．‎ 解析：设双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，l1：y＝x，l2：y＝－x，由于kFA＝1，则FA的方程为y＝x＋c，‎ 由，可得A(－，)，‎ 由，可得B(，)，‎ 因为＝，所以点A为FB的中点，故＝，则b＝3a，即b2＝9a2，‎ 所以c2－a2＝9a2，即 e2＝10，所以e＝.‎ 答案： ‎5．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求椭圆和双曲线的方程；‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ 解：(1)由题知c＝，设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1，‎ 则解得a＝7，m＝3.‎ 所以b＝6，n＝2.‎ 所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，‎ 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.‎ 又|F1F2|＝2，‎ 所以cos∠F1PF2＝ ‎＝＝.‎ ‎6．一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线－＝1(a>0，b>0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于R点，且·＝－3，＝3，求直线和双曲线的方程．‎ 解：因为e＝，所以b2＝2a2，‎ 所以双曲线方程可化为2x2－y2＝2a2.‎ 设直线l的方程为y＝x＋m.‎ 由 得x2－2mx－m2－2a2＝0，‎ 所以Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，‎ 所以直线l一定与双曲线相交．‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2，‎ 因为＝3，xR＝＝0，‎ 所以x1＝－3x2，‎ 所以x2＝－m，－3x＝－m2－2a2.‎ 消去x2，得m2＝a2.‎ ·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)‎ ‎＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝m2－4a2＝－3，‎ 所以m＝±1，a2＝1，b2＝2.‎ 直线l的方程为y＝x±1，双曲线的方程为x2－＝1.‎