2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版 7页

2018-2019 学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期中考试理科数学试题 一、选择题 1.如果抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点为 (4,0) ，那么抛物线的方程是（ ） A． 2 16y x  B． 2 12y x C． 2 16y x D． 2 12y x  2. 已知圆C 的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C 的方程为( ) A. 2 2 4 6 8 0x y x y     B. 2 2 4 6 8 0x y x y     C. 2 2 4 6 0x y x y    D. 2 2 4 6 0x y x y    3．圆的参数方程为 4cos 4sin x y      ，( 为参数， 0 2   )，若 Q(－2，2 3)是圆上一点， 则对应的参数 的值是( ) A. 3  B. 2 3  C. 4 3  D. 5 3  4.以下四个命题中，正确的是（ ） A 若 1 1 2 3OP OA OB    ,则 , ,P A B 三点共线 B 若 , ,a b c    为空间的一个基底，则 , ,a b b c c a        构成空间的另一个基底 C | ( ) | | | | | | |a b c a b c         D ABC 为直角三角形的充要条件是 0AB AC    5．设 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 19 yx   的左、右焦点．若点 P 在双曲线上，且 1| | 5PF  ， 2| |PF ＝（ ） A．5 B．3 C．7 D．3 或 7 6．已知椭圆 2 2 125 9 x y  ， 1 2,F F 分别为其左、右焦点，椭圆上一点 M 到 1F 的距离是 2， N 是 1MF 的中点，则| |ON 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0, 0a b  ）的焦距为 4，一个顶点是抛物线 2 4y x 的焦点，则双 曲线的离心率 e 等于（ ） A．2 B． 3 C．3 2 D． 2 8．已知点 )0,2(A ， )0,2(B ，直线 PBPA, 相交于点 P ，且它们的斜率之积为 4 3 .则动点 P 的轨迹方程为（ ） A. 2 2 1( 2)4 3 x y x    B. 2 2 1( 3)4 3 x y y    C. 2 2 14 3 x y  D. 2 2 1( 2)3 4 x y y    9.若点 O 和点 F 分别为椭圆 2 2 14 3 x y  的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP  的最大值为（ ） A． 2 B．3 C．6 D．8 10.若直线 4mx ny  和圆 2 2 4x y  没有交点，则过点 ( , )m n 的直线与椭圆 2 2 19 4 x y  的 交点的个数（ ） A. 至多一个 B. 2 C. 1 D. 0 11. 已知直线 : ( 2) 0l y k x k  ，( )与抛物线 C： 2y 8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点， 若| | 2 | |FA FB ，则 k  ( ) A． 1 3 B． 2 3 C． 2 3 D． 2 2 3 12．双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0, 0a b  ）的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过 1F 作圆 2 2 2x y a  的切线交双曲线的左、右支分别于点 B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． 3y x  B． 2 2y x  C． (1 3)y x   D. ( 3 1)y x   二、填空题 13.点 C 的极坐标是 (2, )4  ,则点 C 的直角坐标为 14.若 (2, 3,1)a   ， (2,0,3)b  ， (0,2,2)c  ，则 ( )a b c     15.已知| | 1a  ，| | 2b  ， 0, 60a b   ，则 2| ( 2 ) |5a a b     16.已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  ，作直线 : 6 8l y x  ，与抛物线C 交于 ,A B 两点，O 为 坐标原点且 0OA OB   ，并且已知动圆 P 的圆心在抛物线C 上，且过定点 (0,4)D ，若动圆 P 与 x 轴交于 ,E F 两点，且| | | |DE DF ，则 | | | | DE DF 的最小值为 三、解答题（10 分+12 分+12 分+12 分+12 分+12 分） 17. 经过点 M（2,1）作直线 l 交椭圆 1416 22  yx 于 A,B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方程。 18.已知直线 l 的参数方程为 13 2 32 2 x t y t       ( t 为参数)，曲线 C 的参数方程为 4cos 4sin x y      ( 为参数)． (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程； (2)若直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点，求线段 AB 的长． 19.如图，已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AC BC ，D 为 AB 的 中点， 1AC BC BB  ，求证： (1) 1 1BC AB ； (2) 1BC ∥平面 1CA D 。 20.在极坐标系中，曲线 1C 的方程为 2 2 3 1 2sin    ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴 建立平面直角坐标系，曲线 2C 的方程为         ty tx 2 1 2 32 （t 为参数）. （1）求曲线 1C 的参数方程和曲线 2C 的普通方程； （2）求曲线 1C 上的点到曲线 2C 的距离的最大值. 21.已知抛物线 C ： )0(22  ppxy 的焦点 (1,0)F ，O 为坐标原点， ,A B 是抛物线C 上异 于O 的两点。 （1）求抛物线C 的方程； （2）若 OBOA  ,求证：直线 AB 过定点。 22.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 6 3 ，短轴长为 2 2 ，右焦点为 F (1) 求 椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l 经过点 (3, )M t 且与椭圆 C 有且仅有一个公共点 P ，过点 P 作直线 PF 交椭圆于另一点 Q ①证明：当直线OM 与直线 PQ 的斜率 OMk ， PQk 均存在时， OMk . PQk 为定值；②求 PQM 面积的最小值。 理科数学试题答案 一、选择题 CDBBD DAACB DC 二、填空题 13. 14. 3 15. 16. 三、解答题 17. 18.解：(1)由曲线 C： x＝4cos θ， y＝4sin θ 得 x2＋y2＝16， 所以曲线 C 的普通方程为 x2＋y2＝16. (2)将 3 代入 x2＋y2＝16， 整理，得 t2＋3t－9＝0. 设 A，B 对应的参数为 t1，t2，则 t1＋t2＝－3，t1t2＝－9. |AB|＝|t1－t2|＝＝3. 19.证明：如图，以 C1 点为原点，C1A1，C1B1，C1C 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系。设 AC＝BC＝BB1＝2，则 A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)， C1(0,0,0)，D(1,1,2)。 (1)由于 BC1 → ＝(0，－2，－2)， AB1 → ＝(－2,2，－2)， 所以 BC1 → · AB1 → ＝0－4＋4＝0， 因此 BC1 → ⊥ AB1 → ，故 BC1⊥AB1。 (2)连接 A1C，取 A1C 的中点 E，连接 DE，由于 E(1,0,1)，所以 ED →＝(0,1, 1)，又 BC1 → ＝(0， －2，－2)， 所以 ED →＝－ 1 2 BC1 → ，又 ED 和 BC1 不共线， 所以 ED∥BC1，又 DE⊂平面 CA1D， BC1⊄ 平面 CA1D，故 BC1∥平面 CA1D。 20. （1）曲线 的参数方程为 （ 为参数） 曲线 的普通方程为 （2）设曲线 上任意一点 ，点 到 的距离 ∵ ∴ 所以曲线 上的点到曲线 的距离的最大值为 21.（1）依题意知 ， （2） ， 由 ，则 ， 22、解：（1） （2）①证明：由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，因为点 在 直 线 上 ， 则 ， 联 立 直 线 与 椭 圆 可 得 因 为 直 线 与 椭 圆 只 有 一 个 交 点 ， 所 以 ， 即 ， 由 韦 达 定 理 得 ，又因为 过右焦点 ，则 ,而 ，所以 ② ， ，所以 ，即 ,所以 三 角 形 的 面 积 , ， ， 可 得 方 程 为 ， 与 椭 圆 方 程 联 立 得 ， 则 ， ， ， ，当 时， 面积的最小值 。