- 2.96 MB
- 2021-04-16 发布
2019—2020学年度第一学期期末调研考试
高二数学试题
注意事项:
1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.
2.答卷前,考生务必将自己的姓名､学号､学校､考试科目填写清楚.
3.参考公式:最小二乘法求线性回归方程系数公式:,,回归直线方程.
一､选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设命题:,,则为( )
A. , B. ,
C. D. ,
【答案】C
【解析】
【分析】
根据含有一个量词的命题的否定，写出，从而得到答案.
【详解】因为命题:，，
所以，，
故选：C.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.
2.若复数满足,则( )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
对复数进行计算化简，得到答案.
【详解】
所以
故选：D.
【点睛】本题考查复数的综合运算，属于简单题.
3.已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 8
【答案】C
【解析】
点A到抛物线的准线：的距离为：，
利用抛物线的定义可得：，
求解关于实数的方程可得：.
本题选择C选项.
【此处有视频，请去附件查看】
4.一正方体的棱长为2,且每个顶点都在球的表面上,则球的半径为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方体的棱长，求出其外接球的直径再得到其半径.
【详解】因为正方体的棱长为2，且每个顶点都在球的表面上，
所以得到其外接球的直径为
，
所以球的半径为.
故选：A.
【点睛】本题考查求正方体的外接球的半径，属于简单题.
5.甲､乙两人去某公司面试,二人各自等可能地从､两个问题中选择1个回答,则他们都选择到题的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意列出所有的情况，然后得到符合要求的情况，根据古典概型公式，得到答案.
【详解】由题意，甲、乙选择的问题，共有，，，，四种情况，
其中都选到题的情况只有种，即，
根据古典概型公式，得到概率为.
故选：D.
【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于简单题.
6.设双曲线的左､右焦点分别为,,若双曲线上存在一点,使,且,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，结合，得到和，然后根据勾股定理，得到的关系，从而得到双曲线的离心率.
【详解】因为点在双曲线上，且，
所以，
所以，，
因为，所以
即，
整理得，
所以离心率.
故选：C.
【点睛】本题考查双曲线的定义，根据几何关系求双曲线的离心率，属于简单题.
7.设函数在点处的切线为,则在轴上的截距为( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求导得到，代入，得到切线斜率，结合切点，得到切线方程，
从而得到其在轴上的截距.
【详解】因为函数，
所以，
代入，得，
而，
所以在处的切线的方程为：
，
整理得，
令，得
所以与轴的截距为.
故选：A.
【点睛】本题考查根据导数几何意义求在一点的切线，属于简单题.
8.已知:指数函数在上单调递减,:,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到命题中的范围，根据是的必要不充分条件，得到关于的不等式组，得到的范围.
【详解】因为命题:指数函数在上单调递减，
所以，即，
命题:，
因为是的必要不充分条件
所以，解得
所以的范围为.
故选：B.
【点睛】本题考查根据指数函数的单调性求参数范围，根据必要不充分条件求参数的范围，属于简单题.
9.如图,在正方体中,对于以下三个命题:
①直线与直线所成角的大小为;
②直线与平面所成角大小为;
③直线与平面所成角大小为.
其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据异面直线所成的角，线面角对三个命题进行判断，从而得到答案.
【详解】在正方体中，且，
所以为平行四边形，
所以
所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角，
即，
而是正方体的面对角线，所以相等，
所以为等边三角形，故，
故①正确.
在正方体中，平面，
所以直线与平面所成角为，
故②错误.
连接交于，则，
在正方体中，平面，
所以，
平面，，
所以平面，
所以为直线与平面所成角，
在直角三角形中，，
所以
所以直线与平面所成角大小为.
故③正确.
故选：C.
【点睛】本题考查求异面直线所成的角，求直线与平面所成的角，属于中档题.
10.已知函数在其定义域内的子区间上不单调,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对求导得到，然后利用导数得到的单调区间，根据在上不单调，从而得到关于的不等式，得到答案.
【详解】因为
所以
令，即，
解得或（舍）
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
而在区间上不单调，
所以
解得，
因为是函数定义域内的子区间，
所以，即，
所以的范围为.
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.
11.若关于的方程有且只有两个不同的实数根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
方程转化为由且只有两个不同的实数根，看成与有且只有两个不同的交点，即过的直线与以为圆心，为半径的半圆有且只有两个交点，从而得到斜率的范围.
【详解】方程有且只有两个不同的实数根，
得有且只有两个不同的实数根，
即与有且只有两个不同的交点，
即过的直线与以为圆心，为半径的半圆有且只有两个交点，
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为
即，解得，
当直线过时，斜率为，
所以的取值范围为.
故选：D.
【点睛】本题考查根据直线与圆相切求斜率的值，函数与方程，属于中档题.
12.已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点,左､右焦点分别为,,且两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形,若,椭圆与双曲线的离心率分别为,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，由条件可得，，再由椭圆和双曲线的定义可得，，，运用三角形三边关系，求得的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围.
【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，
，，，
是以为底边的等腰三角形，若，
则，，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
即有，，
根据三角形三边关系可得，即，
所以，
根据离心率公式可得，
因为，所以，
则有，
所以的取值范围为.
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，考查离心率的求法，三角形的三边关系，属于中档题.
二､填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把最简答案填在答题卡的横线上)
13.已知是函数的极值点,则实数的值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
对求导，得到，根据是函数极值点，从而得到，得到值.
【详解】函数，
所以，
因为是的极值点，
所以，即
所以.
故答案为：2.
【点睛】本题考查根据函数的极值点求参数的值，属于简单题.
14.已知正方体的棱长为2,则点到平面的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】
连接交于，通过线面垂直的判定，得到平面，根据正方体的棱长，得到点到平面的距离.
【详解】连接交于，
因为正方体，所以面为正方形，
所以，
在正方体中，平面，
而平面，
所以
平面，
所以平面，
所以为点到平面的距离，
又因为正方体的棱长为，
所以到平面的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查线面垂直的判定，求点到平面的距离，属于简单题.
15.已知椭圆:,点是椭圆上的一个动点,满足(为坐标原点,为椭圆的右焦点),则点的横坐标的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
设点，根据，得到的关系，代入椭圆方程，得到关于
的不等式，解得的范围，结合椭圆上点的横坐标范围，得到答案.
【详解】椭圆:，
为椭圆的右焦点，所以
设点，所以，，
由，得
又因在椭圆:上，
所以，
所以，
解得，
因为因在椭圆:上，
所以，
所以点的横坐标的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，椭圆上点的范围，属于中档题.
16.已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围.
【详解】对任意都存在使成立，
所以得到，
而，所以，
即存在，使，
此时，，
所以，
因此将问题转化为
存在，使成立，
设，则，
，
当，，单调递增，
所以，
即，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.
三､解答题(解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
17.有人收集了七月份的日平均气温(摄氏度)与某冷饮店日销售额(百元)的有关数据,为分析其关系,该店做了五次统计,所得数据如下:
日平均气温(摄氏度)
31
32
33
34
35
日销售额(百元)
5
6
7
8
10
由资料可知,与成线性相关关系.
(1)求出关于的线性回归方程;
(2)根据所求回归直线方程预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的日销售情况.
【答案】（1）.（2）1320元.
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据得到和，再计算出和，从而得到线性回归方程；（2）代入到回归方程，得到该冷饮店的日销售额.
【详解】解:(1)由表中数据得:
，，
∵，
，
所以.
∴，
∴.
(2)将代入回归方程，得，
故预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的销售额为1320元.
【点睛】本题考查求线性回归方程，根据线性回归方程进行估计，属于简单题.
18.已知圆的圆心在轴上,在轴上截得的弦长为6,且过点.
(1)求圆的方程;
(2)过做两条与圆相切的直线,切点分别为,,求直线的方程.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】
（1）设圆心，根据几何关系得到的方程，从而得到圆心坐标，再求出，得到半径，从而得到圆方程；（2）过点的直线为圆的切线，得到点坐标，根据几何关系，得到的斜率，从而得到直线的方程.
【详解】解:(1)设圆心，
因为圆心到轴的距离为，，圆在轴上截得弦长为6，
由几何关系得，
解得，圆心，
半径，
所以圆的方程为.
(2)由已知得过点的直线为圆的切线，易得切点，
因为，，所以，
由几何关系知，即
所以得，
由点斜式得直线方程为，
即.
【点睛】本题考查根据圆的弦长求圆的方程，过圆外一点求切线方程，属于简单题.
19.河北省高考改革后高中学生实施选课走班制,若某校学生选择物理学科的人数为800人,高二期中测试后,由学生的物理成绩,调研选课走班制学生的学习情况及效果,为此决定从这800人中抽取人,其频率分布情况如下:
分数
频数
频率
8
0.08
18
0.18
20
0.2
0.24
15
10
0.10
5
0.05
合计
1
(1)计算表格中,,的值;
(2)为了了解成绩在,分数段学生的情况,先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行面谈,求2人来自不同分数段的概率.
【答案】（1）,,.（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据频率的定义，求出，再根据分数段的频率得到，根据分数段的频数得到；（2）根据，分数段学生的人数，利用分层抽样，得到所抽取的人数，列出从其中抽取人的情况，根据古典概型的概率公式，得到答案.
【详解】解:(1)因为分数段的频数为，频率为，
所以，
分数段的频率为
所以，
分数段的频数为，
所以.
(2)，分数段学生的分别为20人，10人，
用分层抽样的方法抽取6人，
则分数段抽取学生为4人，记为，，，；
分数段抽取学生为2人，记为，.
从这6人中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，
它们是，，，，，，，，，，，，，，.
又因为所抽取2人来自不同分数段的结果有8种，
即，，，，，，，，
故所求的概率为.
【点睛】本题考查补全频率分布表，分层抽样的特点，古典概型求概率，属于简单题.
20.如图在四棱锥中,底面为矩形,,,平面平面,为等腰直角三角形,且,为底面的中心.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)若为中点,在棱上,若,,且二面角的正弦值为,求实数的值.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据面面，，得到面，以为原点建立空间直角坐标系，得到，的坐标，根据向量夹角公式，得到异面直线与所成角的余弦值；（2）设，从而得到点坐标，结合（1）取平面的法向量，求出平面的法向量为，通过法向量表示出二面角
的余弦值，根据其正弦值为，列出关于的方程，求出的值.
【详解】（1）∵为等腰直角三角形，
∴，
∵面面，
面面，面
∴面，
∵底面为矩形， 所以，，三条线两两垂直.
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
知，，，，，
，，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（2）结合（1）知，面，
取平面的法向量.
∵，，，
∴，∴，
设平面的法向量为，
又，，
，即，
令，得，
又因为二面角的正弦值为，
所以，
而，
即，
解得.
【点睛】本题考查空间向量求异面直线所成的夹角，根据二面角求参数的值，属于中档题.
21.已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）时，函数在单调递增，无减区间；
时，函数在单调递增，在单调递减.
（2）
【解析】
【分析】
（1）对求导得到，分和进行讨论，判断出的正负，从而得到的单调性；（2）设函数，分和进行讨论，根据的单调性和零点，得到答案.
【详解】解:（1）函数定义域是，
，
当时，，函数在单调递增，无减区间；
当时，令，得到，即，
所以，，单调递增，
，，单调递减，
综上所述，时，函数在单调递增，无减区间；
时，函数在单调递增，在单调递减.
（2）由已知在恒成立，
令，，可得，
则，
所以在递增，
所以，
①当时，，在递增，
所以成立，符合题意.
②当时，，
当时，，
∴，使，
即时，
在递减，，不符合题意.
综上得.
【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，根据导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.
22.设,分别为椭圆:的左､右焦点,已知椭圆上的点到焦点,的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线交椭圆于,两点,线段的中点为,连结并延长交椭圆于点(为坐标原点),若,,等比数列,求线段的方程.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆定义，代入点，得到和，从而得到椭圆方程；（2）根据（1）得到，根据题意得到，当直线斜率不存在时，说明不成立，当直线斜率存在，设为，与椭圆联立得到，，再得到点坐标，求出方程，得到，利用弦长公式，得到，从而得到关于的方程，解得值，得到的方程.
【详解】解:（1）因为椭圆上的点到焦点，的距离之和为4
所以，即，
将点代入椭圆方程得，得，
故椭圆方程为.
（2）因为，
所以焦点､的坐标分别为和，，
因为，，成等比数列，
所以.
①当直线斜率不存在时，则所求方程为，，.
显然不符合题意.
②当直线斜率存在，并设直线方程为，
代入得，
设，，则，，
所以，，
即点坐标为，
所以可得直线方程为:，
代入椭圆方程解得，，
故，
又因为，
代入，得，解得，
故直线的方程为.
【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，属于中档题.