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- 2021-04-16 发布
咸阳市2017—2018学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.设，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2. 命题“若则”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．4
3. 在等比数列中，若，则的前5项和等于（ ）
A．30 B．31 C．62 D． 64
4. 在长方体中，为与的交点，若，则下列向量与相等的是（ ）
A． B． C. D．
5. 如果，且，那么的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
6.“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C. 充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
7. 若不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
8. 已知，则函数的最小值为（ ）
A． 1 B． 4 C. 7 D．5
9.已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的周长为 （ ）
A． 15 B． 18 C. 21 D．24
10. 方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或 C. D．
11.设双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C. D．
12. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”.意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等”，则其中分得的钱数最多的是（ ）
A．钱 B．1钱 C. 钱 D．钱
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，若，则 ．
14.已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若是抛物线的准线与轴的交点，则 ．
15.设满足的约束条件是，则的最大值是 ．
16.如图，一个底面半径为2的圆柱被一个与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的半焦距 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知动圆在运动过程中，其圆心到点与到直线的距离始终保持相等.
（1）求圆心的轨迹方程；
（2）若直线与点的轨迹交于两点，且，求的值．
18.已知是等比数列，，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19.已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题方程表示的曲线是双曲线．
（1）若“”为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为假命题、且“”为真命题，求实数的取值范围．
20.在中，角的对边分别是，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积．
21. 已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为，经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）记与的面积分别为和，求关于的表达式，并求出当为何值时有最大值．
22. 在如图所示的多面体中，平面是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
试卷答案
一、选择题
1-5: DBCBB 6-10:BDCAA 11、12：BD
二、填空题
13. -7 14. 45°或 15. 6 16.
三、解答题
17.解：（1）∵圆心到点与到直线的距离始终保持相等，
∴圆心的轨迹为抛物线，且，解得，
∴圆心的轨迹方程为；
（2）联立消去并整理，得，
设，则，
，
解得，结合已知得．
18.解:（1）设数列的公比为，则，
∵成等差数列，∴，即，
整理得，
∵，∴，∴；
（2）∵，
∴，
∴数列的前项和．
19.解：（1）若为真，则方程表示焦点在轴上的椭圆，即；
若为真，则方程表示的曲线是双曲线，
即，解得或；
若“”为真命题，则均为真命题，综合得，
故当“”为真命题时，实数的取值范围为；
（2）若“”为假命题、且“”为真命题，则一真一假，
①若真假，则，解得；
②若假真，则，解得，
综上，当“”为假、且“”为真时，实数的取值范围为．
20.解：（1）在中，∵，
由正弦定理，得，
又∵，
∴，即，
又∵，∴，
又∵，∴；
（2）由余弦定理，得，
∵，
∴，解得，代入上式，得，
∴的面积．
21.解：（1）∵为椭圆的焦点，∴，
又，∴，
∴椭圆的方程为；
（2）依题意，知，设直线方程为，
和椭圆方程联立消掉，得，
计算知，∴方程有两实根，且，
此时，
将上式变形，得，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，有最大值．
22.解：（1）∵平面平面平面，
∴，
又，∴两两垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图，
由已知，得，
∴，∵，∴；
（2）由已知，得是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
∵，
∴，即，取，得，
观察图形知，平面与平面所成的二面角为锐角，设其大小为，
则，
∴平面与平面所成二面角的余弦值为．