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- 2021-04-16 发布
【基础巩固】
一、填空题
1．(2017·南京模拟)在等差数列{an}中，已知a1＋a7＝10，则a3＋a5＝________.
【答案】10
【解析】∵{an}是等差数列，
∴a3＋a5＝a1＋a7＝10.
2．(2017·南通调研)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d＝________.
【答案】－3
3．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
【答案】5
【解析】设该数列的首项为a1，根据等差数列的性质可得a1＋2 015＝2×1 010，从而a1＝5.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
【答案】60
【解析】∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.
5．(2017·徐州、宿迁、连云港模拟)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a11的值为________．
【答案】48
【解析】由a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，得a8＝24，故3a9－a11＝3(a1＋8d)－(a1＋10d)＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝2a8＝48.
6．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________.
【答案】100
【解析】设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
∴{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，
∴{an＋bn}为常数列，∴a37＋b37＝100.
7．(2017·泰安模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－11，a5＋a9＝－2，则当Sn取最小值时，n＝________.
【答案】7
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由得
解得
∴an＝－15＋2n.
由an＝－15＋2n≤0，解得n≤.又n为正整数，
∴当Sn取最小值时，n＝7.
8．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.
【答案】
二、解答题
9．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解 (1)设数列{an}首项为a1，公差为d，
由题意有解得
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；
当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；
当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；
当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
【能力提升】
11．(2017·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为________．
【答案】
【解析】依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a－2m，a－m，a，a＋m，a＋2m，则有
解得a＝20，m＝，a－2m＝＝，即其中最小一份为.
12．(2017·泰州模拟)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则a6·a7的最大值为________．
【答案】4
【解析】在等差数列{an}中，∵S12＝6(a6＋a7)＝24，∴a6＋a7＝4，令x>0，y>0，由基本不等式可得x·y≤2，当且仅当x＝y时“＝”成立．又a6>0，a7>0，∴a6·a7≤2＝4，当且仅当a6＝a7＝2时，“＝”成立．即a6·a7的最大值为4.
13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
【答案】
【解析】∵{an}，{bn}为等差数列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，
∴＝.
14．设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．
(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；
(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
(3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．