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- 2021-04-16 发布
第二节 不等式的证明
[考纲传真] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．
1．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
2．不等式证明的方法
(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.
名称
作差比较法
作商比较法
理论依据
a＞b⇔a－b＞0
a＜b⇔a－b＜0
a＝b⇔a－b＝0
b＞0，＞1⇒a＞b
b＜0，＞1⇒a＜b
(2)综合法与分析法
①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．
②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“
执果索因”的方法．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )
(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )
(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )
(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是( )
A．x＞y B.x＜y
C．x≥y D.x≤y
A [x－y＝a＋－
＝a－b＋＝.
由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，
所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.]
3．(教材改编)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．
M≥N [2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.]
4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．
4 [由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝时等号成立．]
5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
[证明] 因为x＞0，y＞0，
所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0，8分
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.10分
比较法证明不等式
已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.
[证明] 法一：－(＋)
＝＋＝＋
＝＝≥0，
∴＋≥＋.10分
法二：由于＝
＝＝－1≥－1＝1.8分
又a＞0，b＞0，＞0，∴＋≥＋.10分
[规律方法]
1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a＞b转化为证明＞1(b＞0)．
2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．
提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号．
[变式训练1] (2017·莆田模拟)设a，b是非负实数，
求证：a2＋b2≥(a＋b).
【导学号：01772447】
[证明] 因为a2＋b2－(a＋b)
＝(a2－a)＋(b2－b)
＝a(－)＋b(－)
＝(－)(a－b)
＝.6分
因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与同号，所以(a－b)≥0，
所以a2＋b2≥(a＋b).10分
综合法证明不等式
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
【导学号：01772448】
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[证明] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.5分
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
则＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1.10分
[规律方法] 1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”．
2．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．
[变式训练2] (2017·石家庄调研)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.
[解] (1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3；2分
当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；
当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6.
综上，f(x)的最小值m＝3.5分
(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，
因为＋＋＋(a＋b＋c)
＝＋＋
≥2＝2(a＋b＋c).8分
(当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”)
所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.10分
分析法证明不等式
(2015·全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
[证明] (1)∵a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d，
欲证＋＞＋，
只需证明(＋)2＞(＋)2，
也就是证明a＋b＋2＞c＋d＋2，
只需证明＞，即证ab＞cd.
由于ab＞cd，
因此＋＞＋.5分
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)，得＋>＋.8分
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件.10分
[规律方法] 1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方来证明．
2．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
3．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：
→→→…→
[变式训练3] 已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a.
[证明] 要证＜a，只需证b2－ac＜3a2.
∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)＜3a2，
只需证2a2－ab－b2＞0，4分
只需证(a－b)(2a＋b)＞0，
只需证(a－b)(a－c)＞0.
∵a＞b＞c，∴a－b＞0，a－c＞0，
∴(a－b)(a－c)＞0显然成立，
故原不等式成立.10分
[思想与方法]
1．比较法：作差比较法主要判断差值与0的大小，作商比较法关键在于判定商值与1的大小(一般要求分母大于0)．
2．分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(结论)．
(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)．
3．综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(已知)．
(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)．
[易错与防范]
1．使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件．
2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立．