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- 2021-04-16 发布
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2019年春高二（下）期末测试卷
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知复数z满足，则
A. B. C. 5 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算复数再计算.
详解】
故答案选B
【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，属于基础题型.
2.设随机变量，若，则n=
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据随机变量，得到方程组，解得答案.
【详解】随机变量，
解得
故答案选D
【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型.
3.己知变量x，y的取值如下表：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
由散点图分析可知y与x线性相关，且求得回归方程为，据此预测：当时，y的值约为
A. 5.95 B. 6.65 C. 7.35 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算数据的中心点，代入回归方程得到，再代入计算对应值.
【详解】
数据中心点为代入回归方程
当时，y的值为
故答案选B
【点睛】本题考查了数据的回归方程，计算数据中心点代入方程是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
4.设随机变量X服从正态分布，若，则=
A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.85
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算，再根据正态分布的对称性得到
【详解】随机变量X服从正态分布
故答案选A
【点睛】本题考查了正态分布的概率计算，正确利用正态分布的对称性是解题的关键，属于常考题型.
5.己知命题P：单位向量的方向均相同，命题q：实数a的平方为负数。则下列说法正确的是
A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是假命题 D. 是假命题
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断命题P，命题q均为假.再逐项判断每个选项的正误.
【详解】命题P：单位向量的方向可以是任意的，假命题
命题q：实数a的平方为非负数，假命题
为假命题，A错误
为假命题，B错误
真命题，C错误
是假命题，D正确
故答案选D
【点睛】本题考查了命题的判断，正确判断命题的正误是解决此类题型的关键.
6.己知一组样本数据恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为
A. 25 B. 50 C. 125 D. 250
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算数据平均值，再利用方差公式得到答案.
【详解】数据恰好构成公差为5的等差数列
故答案选B
【点睛】本题考查了数据的方差的计算，将平均值表示为是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
7.已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为
A. －20 B. －15 C. 15 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二项式系数之和为64解得，再利用二项式定理得到常数项.
【详解】二项式的展开式中二项式系数之和为64
当时，系数为15
故答案选C
【点睛】本题考查了二项式定理，先计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
8.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
函数在上单调递增，等价与导函数在大于等于0恒成立，即.
【详解】函数在上单调递增
故答案选B
【点睛】本题考查了函数的单调性，转化为导数大于等于0是解题的关键，忽略掉等号是容易犯的错误.
9.将4本不同的课外书全部分给3名同学，每名同学最多可分得2本，则不同的分配方法种数为
A. 32 B. 48 C. 54 D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意将情况分为：3个同学得到书和2个同学得到书两种情况，相加得到答案.
【详解】当3名同学都得到书时有：
当2名同学都得到书时有：
共有种情况
故答案选C
【点睛】本题考查了排列组合，将情况分为两种可以简化运算，其中容易忽略掉平均分组问题忘记除以.
10.己知函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求导得到得到函数的单调区间，只需满足解得答案案.
【详解】
在和上单增,在上单减，
当时，，当时，，
故要有三个零点，只需满，
即
故答案选B
【点睛】本题考查了函数的零点问题，计算函数的单调区间得到函数简图是解题的关键，意在考查学生对于函数的导数的综合应用能力.
11.将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断奇偶性不同则只能是2,2,1，再计算概率
【详解】由题知，要求每个盒子都不空，则3个盒子中放入小球的个数可分别为3,1,1或2,2,1,
若要求每个盒子中小球编号的奇偶性不同则只能是2,2,1，
且放入同一盒子中的两个小球必须是编号为一奇一偶，
故所求概率为
故答案选C
【点睛】本题考查了概率的计算，判断奇偶性不同则只能是2,2,1是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
12.己知函数，若对任意成立，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
等价于，设，计算函数的最小值得到答案.
【详解】,
令,则，
故在.上单减，在上单增，
:.,故.
故答案选B
【点睛】本题考查了恒成立问题，构造是解题的关键，将恒成立问题转化为最小值问题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数（i为虚数单位）的共扼复数是________________
【答案】i
【解析】
【分析】
先计算复数 ，再计算其共轭复数.
【详解】
故答案为
【点睛】本题考查了共轭复数，属于基础题型.
14.数列1，－2，2，－3，3，－3，4，－4，4，－4，5，－5，5，－5，5…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n的有n个，则该数列第30项是________。
【答案】-8
【解析】
【分析】
先计算，，第29个数为8，第30个数为-8.
【详解】到个数共有数个
则
则第29个数为8，第30个数为-8
故答案为-8
【点睛】本题考查了数列的项，先计算是解题的关键，意在考查学生对于数列知识的灵活运用.
15.己知函数，其是的导函数，则曲线在点（1，）处的切线方程为____________________
【答案】.
【解析】
【分析】
求导计算，再计算，根据切线公式得到答案.
【详解】解析:,
故，即,
.切线方程为
即,
故答案为
【点睛】本题考查了切线问题，先计算出是解题的关键，属于常考题型.
16.己知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
a
2a
b
，当最大时，=_______________。
【答案】.
【解析】
【分析】
先计算，再计算，，当时最大,得到答案.
【详解】由题知,
,
故当时最大,
此时
故答案为
【点睛】本题考查了期望和方差，意在考查学生的计算能力.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.已知二项式的展开式中，各项系数之和为243，其中实数a为常数
（1）求a的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项。
【答案】（1）（2）和
【解析】
【分析】
（1）令，则有.
（2）先计算最大项为第3项和第4项，再得到第3项和第4项.
【详解】解:(1)令，则有.
(2)的展开式中各项的二项式系数分别为;
其中均为最大,
故所求项为第3项和第4项.
【点睛】本题考查了二项式展开式，属于常考基础题型.
18.己知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间[1，4]上的最大值和最小值。
【答案】（1）的单调递增区间为（2）
【解析】
【分析】
（1）求导取导数大于零解不等式得到答案.
（2）根据（1）得到在[1,2)上单减，(2,4]上单增，得到函数的最大值和最小值.
【详解】（1）
所以的单调递增区间为:
(2)由(1)知:在[1,2)上单减，(2,4]上单增，又
所以.
【点睛】本题考查了函数的单调性和最值，忽略边界值的大小比较是容易犯的错误.
19.近年来，某市为响应国家号召，大力推行全民健身运动，加强对市内各公共体育运动设施的维护，几年来，经统计，运动设施的使用年限x（年）和所支出的维护费用y（万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y对x呈线性相关关系。
（1）求出y关于x的回归直线方程少
（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过100万元？
参考公式：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【答案】（1）（2）预测至少为10年
【解析】
【分析】
（1）先计算，代入最小二乘估计公式得到答案.
（2）解不等式得到答案.
【详解】解:(1)，所以，，
所以回归直线方程为.
(2)，所以预测至少为10年，
【点睛】本题考查了线性回归方程的计算和应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20.为了解重庆市高中学生在面对新高考模式“3+1+2”的科目选择中，物理与历史的二选一是否与性别有关，某高中随机对该校50名高一学生进行了问卷调查得到相关数据如下列联表：
选物理
选历史
合计
男生
5
女生
10
合计
己知在这50人中随机抽取1人，抽到选物理的人的概率为。
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为物理与历史的二选一与性别有关?
0.15
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（参考公式，其中为样本容量）
（2）己知在选物理的10位女生中有3人选择了化学、地理，有5人选择了化学、生物，有2人选择了生物、地理，现从这10人中抽取3人进行更详细的学科意愿调查，记抽到的3人中选择化学的有X人，求随机变量X的分布列及数学期望。
【答案】（1）填表见解析,有99.5%的把握认为二者有关;（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）选物理的有30人，完善列联表，再计算得到答案.
（2）X的可能取值为1，2，3，分别计算对应概率，得到分布列，计算数学期望.
【详解】解:(1)由题意知选物理的有30人，则补充写列联表如右:
选物理
选历史
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
，
所以有99.5%的把握认为二者有关;
(2)X的可能取值为:1，2,3
则其分布列为:
X
1
2
3
P
【点睛】本题考查了独立性检验，分布列及数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21.已知函数
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a使得不等式对都成立？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）在上单增，在上单减，的极小值为，无极大值（2）
【解析】
分析】
（1）求导，根据导数的正负得到单调区间，再计算极值.
（2）分为两种情况，构造函数，判断函数的单调性，讨论得到.
【详解】（1），由得即
在上单增，在上单减
的极小值为，无极大值;
(2)，:当时，，当时，，
当时
当时，
令，则
由题知即，
故只需考虑.
当时:
若则即，.单调递增，，符合题意;
若则故在上单减，上单增，，不合题意;
当时:
若则即单调递增， ，符合题意:
若，则，故在.上单增，上单减， ，不合题意:
综上所述，.
【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，函数的恒成立问题，本题综合性强，计算量大，意在考查学生的计算能力和对于函数，导数性质的灵活运用，其中构造函数可以简化运算，是解题的关键.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.在平面直角坐标系，己知直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求的面积。
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.
（2），联立方程得到代入式子得到答案.
【详解】直线l的参数方程为
（2）
设直线l与轴的交点为 ，则
【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，将面积分为可以简化运算，是解题的关键.
23.己知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对任意成立，求实数a的取值范围。
【答案】（1）（2）
【解析】
分析】
（1）将函数
去掉绝对值符号，化简为分段函数，分别解不等式得到答案.
（2）分别画出的图像，得到且，解得答案.
【详解】解:(1)
当时，,即
当时，,即;
当时，，即;
综上，;
(2)与的图像如下:
由图知，要使恒成立，
只需且，
即且
即且
【点睛】本题考查了绝对值不等式，恒成立问题，利用函数图像解题可以简化运算，是解题的关键，意在考查学生对于绝对值不等式和绝对值函数的灵活运用.