数学文卷·2018届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试（2017 10页

华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三期中检测 数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.已知是两相异平面，是两相异直线，则下列错误的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎4.两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.等差数列的前项和为，已知.则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为时，的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.设，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.执行如下图的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若向量满足，则在方向上投影的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，则的值为 ．‎ ‎14.已知，点在内且.若，则 ．‎ ‎15.已知函数，把的图象按向量平移后，所得图象恰好为函数的图象，则的最小值为 ．‎ ‎16.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的面积取最小值时有 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设数列的前项和为，且为等差数列，且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18. 近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成组第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第组有人.‎ ‎（1）求该组织的人数；‎ ‎（2）若在第组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第组各抽取多少名志愿者？‎ ‎（3）在（2）的条件下，该组织决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组至少有名志愿者被抽中的概率.‎ ‎19. 如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设是侧棱上的一点，且平面，求三棱锥的体积.‎ ‎20. 已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线相切（为常数）.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，若椭圆的左、右焦点分别为，过作直线与椭圆分别交于两点，求的取值范围.‎ ‎21. 函数.‎ ‎（1）若函数，求函数的极值；‎ ‎（2）若在恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CADBC 6-10:AACCB 11、12：AD 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）当时，，‎ 当时，，‎ 经验证当时，此时也成立，所以，‎ 从而，‎ 又因为为等差数列，所以公差，‎ 故数列和通项公式分别为：.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以①‎ ①得②‎ ①-②得：‎ 数列的前项和.‎ ‎18.解：（1）由题意第组的人数为，得到，故该组织有人.‎ ‎（2）第组的人数为，第组的人数为，第 组的人数为，所以第组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组；第组；第组.‎ 所以应从第组中分别抽取人，人，人.‎ ‎（3）记第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者有 ‎，共有种.‎ 其中第组的名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有 ‎，共有种.‎ 则第组至少有名志愿者被抽中的概率为.‎ ‎19.（1）证明：底面是棱形，对角线，‎ 又平面平面，‎ 又为中点，平面.‎ ‎（2）连平面平面，平面平面，‎ ‎，在三角形中，是的中点，是的中点，取的中点，连，‎ 则底面，且，‎ 在直角三角形中，，‎ 在直角三角形中，，，‎ ‎.‎ ‎20.（1）由题意 故椭圆.‎ ‎（2）①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为，‎ ‎，故.‎ ②若直线斜率存在，设直线的方程为，‎ 由消去得，‎ 设，则.‎ ‎，‎ 则 代入韦达定理可得 由可得，结合当不存在时的情况，得.‎ ‎21.解：（1），定义域，‎ 由得，由得在递增，在递减，‎ ‎，没有极小值.‎ ‎（2）由在恒成立，整理得在恒成立，设，则，‎ 时，，且，‎ 时，，设.‎ 在递增，又使得，‎ 时，时，，‎ 时，时，.‎ 函数在递增，递减，递增，‎ 又，‎ ‎，‎ 时，，‎ ‎，即的取值范围是.‎ ‎22.解：（1）曲线的方程为，直线的方程为.‎ ‎（2）在上任取一点，‎ 则点到直线的距离为，‎ 当时，，此时这个点的坐标为.‎ ‎23.解：（1）等价于或或，‎ 解得或，故不等式的解集为或.‎ ‎（2）因为：‎ 所以，由题意的：，解得或.‎