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- 2021-04-16 发布
2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学（文）试题
一、单选题
1．复数=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：利用复数的除法公式进行求解.
详解：.
点睛：本题考查复数的发出法则等知识，意在考查学生的基本运算能力.
2．年劳动生产率（千元）和工人工资（元）之间的回归方程为，这意味着年劳动生产率每年提高1千元时，工人工资平均（ ）
A. 增加80元 B. 减少80元 C. 增加70元 D. 减少70元
【答案】C
【解析】分析：利用回归直线的系数的实际意义进行判定.
详解：由回归方程，得：
年劳动生产率每年提高1千元时，
工人工资平均增加70元.
点睛：本题考查变量的回归直线等知识，意在考查学生的数学应用能力.
3．有一段“三段论”推理是这样的： 对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点. 以上推理中（ ）
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确
【答案】A
【解析】试题分析：导数为0的点不一定是极值点，而极值点的导数一定为0．所以本题是大前提错误。
【考点】1．演绎推理；2．利用导数求函数的极值。
4．如图是根据变量，的观测数据（1,2,3…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有相关关系的图是（ ）
① ② ③ ④
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
【答案】D
【解析】分析：由散点图的形状进行判定.
详解：由散点图可以发现，图③中的变量负相关，
图④的变量正相关.
点睛：本题考查散点图、变量的相关性等知识，意在考查学生的识图、用图能力.
5．若为虚数单位，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：先由复数的几何意义得到复数，再利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求解.
详解：由复数的几何意义，得，
则，
则该复数对应的点为，即点.
点睛：本题考查复数的几何意义、复数的除法法则等知识，意在考查学生的基本计算能力.
6．已知结论：“在三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】分析：先利用类比推理得到结论，再利用几何体的体积公式进行证明.
详解：在棱长都相等的四面体中，
且的中心为，
则面，;
因为四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，
所以点为内切球的球心，是内切球的半径，
则,
则，
则.
点睛：本题考查类比推理、几何体的体积公式等知识，意在考查学生的类比思想和空间想象能力.
7．下列有关线性回归分析的四个命题：
①线性回归直线必过样本数据的中心点（）；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③当相关性系数时，两个变量正相关；
④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于．
其中真命题的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】分析：根据线性回归方程的几何特征及残差,相关指数的概论,逐一分析四个答案的正误,可得答案.
详解：①线性回归直线必过样本数据的中心点（）,故①正确;
②回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点,故②错误;
③当相关性系数时,则两个变量正相关,故③正确;
④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r就越接近于1或-1,故④错误.
故真命题的个数为2个,
所以B选项是正确的
点睛：本题以命题的真假判断为载体,考查了相关关系,回归分析,相关指数等知识点,难度不大,属于基础题.
8．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学著名《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入、、的值分别为8、10、0，则输出和的值分别为（ ）
A. 2,5 B. 2,4 C. 0,5 D. 0,4
【答案】A
【解析】分析：利用程序框图，模拟运行循环结构进行求解.
详解：由程序框图，得：
；
；
，
；
，结束循环，
即输出的值分别为2,5.
点睛：本题考查程序框图中的循环结构等知识，意在考查学生的逻辑思维能力.
9．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）．
A. 假设，，都是偶数
B. 假设，，都不是偶数
C. 假设，，至多有一个是偶数
D. 假设，，至多有两个是偶数
【答案】B
【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，
“至少有一个”的否定为“都不是”，所以先假设，，都不是偶数．
本题选择B选项.
10．已知具有线性相关关系的两个变量， 之间的一组数据如下：
0
1
2
3
4
2.2
4.3
4.8
6.7
且回归方程是，则（ ）
A. 2.5 B. 3.5 C. 4.5 D. 5.5
【答案】C
【解析】 由题意得，根据表中的数据，
可知，且，
所以，解得，故选C.
11．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“.”
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】分析：先理解“类”的含义，即“除以5的余数相等的数”，再逐一进行验证判定.
详解：因为，
所以，即①正确；
因为，
所以，即②错误；
这些“类”把整数集分成5个子集，
分别是除以5后的余数，只有0到4，
即③正确；
若整数属于同一类，
设，，
则，即④正确；
综上所述，①③④正确.故选C.
点睛：本题以新定义“类”为载体考查元素与集合的关系、集合的运算等知识，本题易错点是不能准确理解新定义“类”的含义，即整数被5除所得的余数相同的集合，尤其是对③的判定，学生对整数集的分类不清晰.
12．将自然数按如下规律排数对：，，，，，，，，，，，，，，…，则第60个数对是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先由所给数对总结规律，再确定第60个数对.
详解：通过观察可以发现：
两数和为1的数对有2个，
两数和为2的数对有3个，
两数和为3的数对有4个，
，
以此类推，两数和为的数对有个，
因为，
则第55个到65个数对的两数之和为10，
第55个到60个数对依次为：
，
即第60个数对为.
点睛：本题考查归纳推理、等差数列等知识，意在考查学生的数学归纳猜想能力和基本运算能力，归纳推理的一般步骤是：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
二、填空题
【答案】
【解析】 ，故该复数的共轭复数为 .
14．已知函数，则__________．
【答案】
【解析】分析：先计算得到，再分组进行求和.
详解：由，得，
且，
即，
则
.
点睛：解决本题的关键是通过联想到，再由此想到先计算的值，再两两结合进行求解，也可以类似倒序相加法进行求解，即：
设，
，
则.
15．执行如下图的程序框图，输出的值是__________．
【答案】
【解析】分析：先由程序框图得到前几个数，发现得到周期性，进而得到答案.
详解：由程序框图，得；
；
；
；
；
即的值具有周期性，周期为3，
则当程序框图结束时的结果为
，
即输出的值为.
点睛：本题考查程序框图的循环结构、周期性等知识，意在考查学生的逻辑推理能力.
16．已知集合且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则等于 .
【答案】201
【解析】试题分析：由题：，且下列三个关系：有且只有一个正确；
可假设：正确，则可推出矛盾，同理可得当正确时，成立即；
【考点】逻辑推理．
三、解答题
17．已知复数.
（1）求复数的模；
（2）若复数是方程的一个根，求实数，的值.
【答案】（1）；（2）4，10
【解析】分析：（1）先利用复数的除法法则和减法法则化简，再利用模公式进行求解；（2）将代入方程，再利用复数相等进行求解.
详解：（1） ，∴
（2）∵复数是方程的一个根
∴
由复数相等的定义，得：
解得：
∴实数m,n的值分别是4,10.
点睛：本题考查复数的四则运算、复数的模及复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本运算能力.
18．设、、均为正数，且，证明：
（1）；（2）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（Ⅰ）由， ， 得：
，由题设得，即
，所以
，即.
（Ⅱ）因为， ， ，
所以，即，
所以.
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.
【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
19．微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中都是青年人.
(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成 列联表：
青年人
中年人
合计
经常使用微信
不经常使用微信
合计
(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？
(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率.
附：
0.010
0.001
6.635
10.828
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：（1）由已知可得，该公司员工中使用微信的有人，进而得到使用微信的人数和青年人的人数等，从而列出的列联表，；
（2）根据列联表的数据，求解的值，得出结论；
（3）从“经常使用微信”的人中抽取人，其中，青年人有人，中年人有，进而利用古典概率，即可求解概率。
试题解析：(Ⅰ)由已知可得，该公司员工中使用微信的有人，
经常使用微信的有人，其中青年人有人，使用微信的人中青年人有人．
所以列联表为：
青年人
中年人
合计
经常使用微信
不经常使用微信
合计
(Ⅱ)将列联表中数据代入公式可得： ，由于，
所以有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．
(Ⅲ)从“经常使用微信”的人中抽取人，其中，青年人有人，
中年人有，
记名青年人的编号分别为， ， ， ，记名中年人的编号分别为， ，
则从这人中任选人的基本事件有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共个，其中选出的人均是青年人的基本事件有， ， ， ， ， ，共个，故所求事件的概率为．
点睛：本题考查了独立性检验及概率的计算：其中（1）根题设条件得出使用微信的中年人和青年人人数，列出的列联表；（2）根据独立性检验的公式准确计算的值；（3）求出被抽的6人中青年人和中年人的人数，列出基本事件的个数，利用古典概率及其概率的计算公式求解概率即可。
20．已知函数是上的增函数，.
（1）若，求证：；
（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】分析：（1）将化为，再利用函数的单调性进行证明；（2）先写出该命题的逆命题，再利用反证法进行证明.
详解： (1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.
∵f(x)在R上单调递增，∴f(a)≥f(－b)．
同理，a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．
两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命题：
f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.
下面用反证法证之．假设a＋b<0，那么：
由a+b<0,得a<-b, ∴f(a)