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- 2021-04-16 发布
南开中学滨海生态城学校2019－2020（下）
高二年级期中反馈数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数的值是（ ）
A．0.97 B．0.86 C．0.65 D．0.55
2．函数的定义域为R，导函数的图象如图所示，则函数（ ）
A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点
3．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．
非一线
一线
总计
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
总计
58
42
100
算得．
附表：
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知X的分布列为
X
-1
0
1
P
且，，则a为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，，若实数a，b满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
9．4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是（ ）
A．81 B．64 C．24 D．16
10．的展开式中的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
11．已知函数的图象为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
13．，若，则__________．
14．已知随机变量服从正态分布，且，则__________．
15．要从5件不同的礼品中选出3件分送给3位同学，不同方法的种数是__________．（用数字作答）
16．的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）
17．若函数恰在上单调递减，则实数a的值为__________．
18．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是__________．
19．已知，，直线l与函数，的图象都相切，与图象的切点为，则__________．
20．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是__________．
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分12分）
每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2019年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答（每道题被选中的概率相等），设随机变量表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数．
（Ⅰ）求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列及数学期望．
22．（本小题满分12分）
甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是和，每次投篮相互独立互不影响．
（Ⅰ）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为，求的概率和随机变量的数学期望．
23．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，设．
（i）求函数的极值；
（ii）若函数在上的最小值是-9，求实数a的值．
24．（本小题满分13分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且，使得成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．
期中考试答案
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
C
C
B
A
C
A
A
A
B
C
二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
13．1 14．0.35 15．60 16．60
17．-4 18． 19．-2 20．
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设该选手恰好选中一个“智慧生活题”为事件A，
则．
（Ⅱ）
∴；；
．
则随机变量的分布列为
0
1
2
随机变量的数学期望为．
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设甲投中为事件B，乙投中为事件C，则，
则
（Ⅱ）
；；
则随机变量X的分布列为
X
0
1
2
随机变量的数学期望为．
（Ⅲ）甲投篮5次，投中次数为，
∵，∴的数学期望为．
23．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当时，，，
，，
所以，
即为所求切线方程．
（Ⅱ）（i），
所以
得，
随着x变化时，和的变化情况如下：
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以的极大值是；极小值为．
（ii）
（1）当时，，在内单调递增，
，（舍）
（2）当时，则x，，关系如下：
x
-
0
+
↘
极小值
↗
，（舍）
（3）当时，在内单调递减，
，
综上：．
24．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ），
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
（Ⅱ）依题意，函数在上不是单调函数，
因为是连续不断地函数，
即函数在上有极值，
因为，
即在内有解，
由，得a的范围是．
（Ⅲ）．
设方程的两个不等实数根是，，
即方程的判别式，，解得．
由，
解得，．
此时，
随着x变化时，和的变化情况如下：
x
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点．
所以为极大值，为极小值．
所以
因为，所以．所以．