吉林省扶余市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析 16页

www.ks5u.com 扶余一中2019~2020学年度第一学期期中考试 高二数学（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.‎ ‎3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.‎ ‎4.本卷命题范围：人教版选修1-1，选修1-2第三章.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.‎ 详解：由题得，所以复数z在复平面内对应的点为（2,4），故答案为A.‎ 点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.‎ ‎2.双曲线的实轴长为（）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线标准方程可得的值，实轴长即可求出．‎ - 16 -‎ ‎【详解】解：∵，∴.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的性质，是基础题．‎ ‎3.设命题，，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题进行判断．‎ 详解】全称命题的否定是特称命题，∴￢p为∃x0∈Z，2x0∉Z．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎4.函数的图象在处的切线斜率为（ ）‎ A. 3 B. C. D. e ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，将代入即可求解切线的斜率．‎ ‎【详解】，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，意在考查求导运算，是基础题．‎ ‎5.设A，B分别是双曲线的左、右顶点，，则的面积为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 16 -‎ 求得左、右顶点坐标，再利用面积公式求解即可 ‎【详解】易知，，则，.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查面积计算，是基础题 ‎6.“”是“直线与圆相切”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用圆心到直线的距离等于半径求得充要条件即可判断．‎ 详解】当直线与圆相切时，，则，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查充分必要条件的判断，属于基础题型．‎ ‎7.当复数的实部与虚部的差最小时，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 实部与虚部的差为。利用二次函数性质求得最值，再利用复数除法运算即可 ‎【详解】复数z的实部与虚部的差为，‎ 当时，差值最小，此时，∴.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，熟练求解二次函数最值是关键，是基础题．‎ ‎8.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）‎ - 16 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用y＝f′（x）的正负与单调性的关系判断即可 ‎【详解】由导函数图象可知，函数在上单调递减，上单调递减，在上单调递增.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了识图能力，属于基础题．‎ ‎9.双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过抛物线的顶点，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 16 -‎ ‎【分析】‎ 先依题意设出双曲线的方程，再由该双曲线过抛物线的顶点，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为双曲线与双曲线有共同的渐近线，所以设双曲线的方程为：‎ 其中，‎ 又因的顶点为, 且经过抛物线的顶点,‎ 所以有,即，‎ 所以，故即为所求；‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，待定系数法是最常用的一种做法，属于基础题型.‎ ‎10.方程表示的曲线为（ ）‎ A. 抛物线 B. 圆 C. 一条直线 D. 两条直线 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两点间距离公式与点到直线的距离公式，可得动点P到点F（0，-1）的距离等于点P到直线=0的距离，再根据抛物线的定义判定可得答案．‎ ‎【详解】方程可化为，它的几何意义为到定点的距离等于P到直线（不经过点F）的距离，则方程表示的曲线为抛物线.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查转化与变形能力，特别要注意条件：点不在直线上．‎ - 16 -‎ ‎11.已知，分别为椭圆：的左顶点、下顶点，过点且斜率为1的直线与的另一个公共点为，则（）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过题意，容易求出直线的方程，将直线和椭圆联立，求出交点，通过向量数量积的坐标运算即可求出．‎ ‎【详解】易知，，的方程为，联立，得，解得，，则的坐标为，则，，.故选D ‎【点睛】本题时椭圆和向量结合的问题，根据直线和椭圆的位置关系求出需要的向量的坐标，是基础题．‎ ‎12.已知函数，若（），，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 设x2＞x14，将已知转为f（x2）+2mx2＞f（x1）+2mx1‎ - 16 -‎ 恒成立，构造函数g（x）＝f（x）+2mx，由函数单调性定义可知函数g（x）在[4，+∞）上的单调性，由单调性可求得a的取值范围．‎ ‎【详解】由已知不妨设x2＞x14，要恒成立，只需f（x2）+2mx2＞f（x1）+2mx1，令g（x）＝f（x）+2mx，即g（x2）＞g（x1）,由函数单调性的定义可知g（x）在[4，+∞）上单调递增．又函数g（x）＝，g'（x）＝2x++2m，‎ 即g'（x）≥0在[4，+∞）恒成立，即x++m≥0在[4，+∞）恒成立，‎ 变量分离得-mx+,令h(x)= x+,只需-m，‎ 又h(x)在[4，+∞）上单调递增，则=h(4)=4+，所以-m4+，‎ 由已知使-m4+成立，即,‎ 即，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用构造函数法求参数的取值范围以及数学转化的思想.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若复数为纯虚数，则________.‎ ‎【答案】5i .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用纯虚数的定义、复数的运算即可得出．‎ ‎【详解】∵为纯虚数，∴，∴，∴.‎ 故答案为：5i ‎【点睛】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算，属于基础题．‎ ‎14.抛物线的准线方程为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ - 16 -‎ ‎【分析】‎ 化抛物线方程为标准式，直接求解即可．‎ ‎【详解】由得，则准线方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，注意必须化为标准式 ‎15.函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 求导数， 确定函数在区间上的单调性， 即可求出函数在区间上的最小值．‎ ‎【详解】，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以在上递减，在递增，‎ 所以函数在处取得最小值，即．‎ ‎【点睛】本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与最值， 考查学生的计算能力， 属于中档题 ．‎ ‎16.双曲线：与圆：有四个交点，则的离心率的取值范围为______.‎ - 16 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立，曲线与圆有四个交点，得到，可以求出的范围，进而可以求出离心率的范围．‎ ‎【详解】由，得，依题意可知，，解得，则.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查圆锥曲线与圆锥曲线的交点问题，由于圆锥曲线具有对称性，故其转化的二次方程的有两个不等实根，利用判别式可求范围，是基础题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知复数z满足，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限.‎ ‎（1）求复数z；‎ ‎（2）若，求实数m，n的值.‎ ‎【答案】(1) 或. ‎ ‎(2) ，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，设出复数z，通过及所对点所在位置求出即可复数z；‎ - 16 -‎ ‎（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m，n的值 ‎【详解】（1）设，则，‎ 因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以，，‎ 所以或，‎ 所以或.‎ ‎（2）由（1）知或，‎ 当时，；当时.‎ 因为，所以，解得，.‎ ‎【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题 ‎18.（1）若方程表示双曲线，求m的取值范围；‎ ‎（2）若双曲线的虚轴长为6，且C经过点，求C的焦距.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用双曲线的性质列出不等式组求解即可．‎ ‎（2）由题意列方程求解,再利用得 ‎【详解】（1）∵， ‎ ‎，‎ 解得 ‎ - 16 -‎ ‎（2）由题意可得，‎ 解得， ‎ 则，焦距为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，意在考查学生对基本性质的理解，是基本知识的考查．‎ ‎19.设函数.‎ ‎（1）若，求的极值；‎ ‎（2）若，求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，对函数求导，利用导数性质，即可求出极值．（2）当时，对函数求导，利用导数性质求出单调区间即可．‎ ‎【详解】（1）因为，所以 当时，，当，.‎ 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 令，得，.‎ 当时，，当时，.‎ 故的单调递增区间为.‎ 的单调递减区间为，.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数极值与单调区间的问题，属于中档题．‎ - 16 -‎ ‎20.已知点是抛物线上一点，直线与抛物线交于两点．‎ ‎（1）求到抛物线焦点的距离；‎ ‎（2）若的坐标为，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）7；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点在抛物线上，求解出，得到抛物线方程，再利用抛物线定义即可求出；‎ ‎（2）利用直线与抛物线的位置关系，联立方程，消去得到的一元二次方程，由韦达定理求出，再结合向量垂直的坐标表示列出方程，即可求解．‎ ‎【详解】将的坐标代入，得，则，‎ 则抛物线的焦点为，到抛物线焦点的距离 设，‎ 联立，得 则，‎ 解得 ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与性质，向量垂直的坐标表示以及直线与抛物线的位置关系应用．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；‎ ‎（2）若，对恒成立，求的取值范围．‎ - 16 -‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，，解方程组求出，即可．（2）将代入，利用参变分离可以将问题转化为在 恒成立，求出的最小值，令即可．‎ ‎【详解】（1），，‎ 由，得，‎ ‎（2）因为，，‎ 等价于，‎ 令，，‎ 当时，，所以在上单调递减，‎ 当时，，所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题．‎ ‎22.已知直线l与椭圆交于A，B两点.‎ ‎（1）若线段AB的中点为，求l的方程；‎ ‎（2）若斜率不为0的直线l经过点，证明：为定值.‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 16 -‎ ‎（1）运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线AB的方程，‎ ‎（2）直线l的方程为，与椭圆联立，结合两点间距离公式并将韦达定理代入整理化简即可 ‎【详解】（1）解：设，，‎ 则， ‎ 两式相减得，整理得 ‎ 因为线段AB的中点为，所以，， ‎ 所以直线l的斜率为. ‎ 故直线l的方程为，即. ‎ ‎（2）证明：设直线l的方程为，由，‎ 得， ‎ 所以，， ‎ 因为， ‎ 同理， ‎ 所以. ‎ 因为，‎ - 16 -‎ 所以为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及距离公式的应用，准确化简变形是关键，属于中档题．‎ - 16 -‎ ‎ ‎ - 16 -‎