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- 2021-04-16 发布
2017-2018学年广东省汕头市潮南实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1．（5分）已知集合A={x|x2＜4，x∈R}，B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（1，2） B．[﹣3，1] C．（1，2） D．（﹣2，1]
2．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
3．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
4．（5分）四边形ABCD中，=，且||=||，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=2x+y+3的最大值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
6．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
7．（5分）已知点（x，y）在直线x+2y=3上移动，则2x+4y的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．3 D．4
8．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称 B．关于点（﹣，0）对称
C．关于直线x=﹣对称 D．关于直线x=对称
9．（5分）已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M（﹣3，4），则cos2θ的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A．6π B．5π C．4π D．3π
11．（5分）已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（ ）
A．{﹣，} B．{，﹣} C．{﹣，，} D．{﹣，﹣，}
12．（5分）已知x1、x2 是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根，当x12+x22 取最小值时，实数m的值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
14．（5分）某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为 ．
15．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，有下列命题：
①若m，n平行于同一平面，则m与n平行；
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；
④若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
⑤若m∥n，α∥β，则m与α所成角等于n与β所成角．
其中真命题有 ．（填写所有正确命题的编号）
16．（5分）自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2．
（1）若tan（C﹣）的值．
（2）若c=的最大值．
18．（12分）已知等差数列{an}的公差为2，若a2，a3，a6成等比数列
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
19．（12分）已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若把f（x）向右平移个单位得到函数g（x），求g（x）在区间[﹣
，0]上的最小值和最大值．
20．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．
（1）求证：MN∥平面A′ACC′；
（2）求证：A′N⊥平面BCN．
（3）求三棱锥C﹣MNB的体积．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，当x∈（﹣3，2）时，f（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，求c的取值范围；
（3）当x＞﹣1时，求y=的最大值．
22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，
（1）求直线2x﹣y+1=0截圆C所得的弦长．
（2）是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
2017-2018学年广东省汕头市潮南实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1．（5分）已知集合A={x|x2＜4，x∈R}，B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（1，2） B．[﹣3，1] C．（1，2） D．（﹣2，1]
【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出B的补集，从而求出其和A的交集即可．
【解答】解：∵A={x|x2＜4，x∈R}={x|﹣2＜x＜2}，
B={x|（x+3）（x﹣1）＞0}={x|x＞1或x＜﹣3}，
则∁RB={x|﹣3≤x≤1}，
故A∩（∁RB）={x|﹣2＜x≤1}，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的补集以及交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．
2．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．
【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；
C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．
D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．
B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．
故选B
【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题
3．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．
【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，
∴，
∴q4+q2+1=7，
∴q4+q2﹣6=0，
∴q2=2，
∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．
故选：B
【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．
4．（5分）四边形ABCD中，=，且||=||，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】=，⇒四边形ABCD是平行四边形，∵||=||⇒⇒⇒AD⊥AB
【解答】解：四边形ABCD中，=，⇒四边形ABCD是平行四边形，∵||=||⇒⇒⇒AD⊥AB
∴则四边形ABCD是矩形．
故选C．
【点评】本题考查了向量的运算法则，及向量的几何意义，属于基础题．
5．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=2x+y+3的最大值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．
【解答】解：实数x，y满足条件，满足的可行域如图：
则z=2x+y+3即y=﹣2x+z﹣3，平移直线y=﹣2x+z﹣3，当直线y=﹣2x+z﹣3经过A时，目标函数取得最大值．
由，可得A（2，1），
则z=2x+y+3的最大值是：2×2+1+3=8．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键．
6．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，则公差d等于（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出公差d．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，a2=5，
∴，
解得a1=7，d=﹣2，
∴公差d等于﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
7．（5分）已知点（x，y）在直线x+2y=3上移动，则2x+4y的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．3 D．4
【分析】利用基本不等式和指数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵点（x，y）在直线x+2y=3上移动，∴x+2y=3．
∴2x+4y≥=2==4，当且仅当x=2y=时取等号．
∴2x+4y的最小值是4．
故选：D．
【点评】本题考查了基本不等式和指数的运算性质，属于基础题．
8．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称 B．关于点（﹣，0）对称
C．关于直线x=﹣对称 D．关于直线x=对称
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2．
若其图象向左平移个单位后得到的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），
再根据y=sin（2x++φ）为奇函数，∴+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，可取φ=﹣．
故f（x）=sin（2x﹣）．
当x=时，f（x）=≠0，且f（x）= 不是最值，故f（x）的图象不关于点（，0）对称，也不关于直线x=对称，故排除A、D；
故x=﹣时，f（x）=sin=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，但关于直线x=对称，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
9．（5分）已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M（﹣3，4），则cos2θ的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出sinθ，利用二倍角公式即可计算得解．
【解答】解：∵角θ的终边经过点P（﹣3，4），
∴x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，
∴sinθ==，则cos2θ=1﹣2sin2θ=﹣．
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式，二倍角公式的应用，属于基础题．
10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A．6π B．5π C．4π D．3π
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥与半球体的组合体，结合图中数据求出它的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是圆锥与半球体的组合体，
且圆锥的高为2，底面圆的半径为1，球的半径也为1，
圆锥的母线长为=3；
所以，该几何体的表面积为
S=S圆锥侧+S半球
=π×1×3+2π×12
=5π．
故选：B．
【点评】本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题目．
11．（5分）已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+
5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（ ）
A．{﹣，} B．{，﹣} C．{﹣，，} D．{﹣，﹣，}
【分析】三条直线若两两相交围成一个三角形，则斜率必不相同；否则，只要有两条直线平行，或三点共线时不能构成三角形．
【解答】解：∵三条直线不能围成一个三角形，
∴（1）l1∥l3，此时m=；
l2∥l3，此时m=﹣；
（2）三点共线时也不能围成一个三角形
2x﹣3y+1=0与4x+3y+5=0交点是（﹣1，﹣）
代入mx﹣y﹣1=0，则m=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查两直线平行的条件，当斜率相等且截距不相等时两直线平行．属于基础题．
12．（5分）已知x1、x2 是方程4x2﹣4mx+m+2=0的两个实根，当x12+x22 取最小值时，实数m的值是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣1
【分析】由题意可得判别式△≥0，求得 m≥2，或m≤﹣1．化简x12+x22 的解析式为﹣，再利用二次函数的性质可得此式取最小值时m的值．
【解答】解：由题意可得 x1+x2=m，x1•x2=，△=16m2﹣16（m+2）≥0，∴m≥2，或m≤﹣1．
当x12+x22=﹣2x1•x2=m2﹣=﹣取最小值时，有m=﹣1，
故选D．
【点评】本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质的应用，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 x﹣y﹣2=0 ．
【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．
【解答】解：直线AB的斜率 kAB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
14．（5分）某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为 810 ．
【分析】先分别求出130～140分数段的频率与90～100分数段的频率，然后根据频率的比值等于人数的比值，求出所求即可．
【解答】解：130～140分数段的频率为0.05，
90～100分数段的频率为0.45，
故90～100分数段的人数为9×90=810．
故答案为：810
【点评】该题考查频率分布直方图的意义及应用图形解题的能力，频数=频率×
样本容量，属于基础题．
15．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，有下列命题：
①若m，n平行于同一平面，则m与n平行；
②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；
④若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
⑤若m∥n，α∥β，则m与α所成角等于n与β所成角．
其中真命题有 ②⑤ ．（填写所有正确命题的编号）
【分析】由线线、线面、面面之间的关系逐一核对5个命题得答案．
【解答】解：①若m，n平行于同一平面，则m与n平行或相交或异面，故①错误；
②若m⊥α，则m垂直于α内的所有直线，又n∥α，则m⊥n，故②正确；
③若α，β不平行，则α，β相交，设α∩β=l，在α内作直线a∥l，则a∥β，故③错误；
④若α∩β=n，m∥n，则m∥α或m∥β或m⊂α或m⊂β，过④错误；
⑤∵α∥β，∴m与α、β成等角，又m∥n，∴n与α、β成等角，则m与α所成角等于n与β所成角，故⑤正确．
∴正确命题的序号是②⑤．
故答案为：②⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中线面关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
16．（5分）自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为 （x﹣1）2+y2=1，（x≠2） ．
【分析】设出AB的中点坐标，利用中点坐标公式求出B的坐标，据B在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．
【解答】解：设AB中点为M（x，y），
由中点坐标公式可知，B点坐标为（2x﹣2，2y）．
∵B点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．
故线段AB中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．不包括A点，
则弦的中点的轨迹方程为 （x﹣1）2+y2=1，（x≠2）
故答案为：（x﹣1）2+y2=1，（x≠2）．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a2+b2=ab+c2．
（1）若tan（C﹣）的值．
（2）若c=的最大值．
【分析】（1）由余弦定理求得cosC与C的值，再计算tan（C﹣）的值；
（2）利用基本不等式求得ab的最大值，再求三角形的面积S△ABC的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a2+b2=ab+c2，a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC==，
∵C为△ABC内角，
∴C=，
则tan（C﹣）=tan（﹣）===2﹣；…（5分）
（Ⅱ）由ab+3=a2+b2≥2ab，得ab≤3，
∵S△ABC=absinC=ab，
∴S△ABC≤，
当且仅当a=b=时“=”成立，
则S△ABC的最大值是．…（10分）
【点评】本题考查了余弦定理和三角形面积的计算问题，是中档题．
18．（12分）已知等差数列{an}的公差为2，若a2，a3，a6成等比数列
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）首先根据已知条件求出数列的通项公式．
（2）进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【解答】解：（1）由题可知a3=a2+2，a6=a2+8，
因为a2，a3，a6成等比数列，
所以（a2+2）2=a2（a2+8），解得a2=1，
所以an=a2+（n﹣2）d=2n﹣3；
（2）由（1）可知=．
所以：++），
=，
=．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用．
19．（12分）已知函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若把f（x）向右平移个单位得到函数g（x），求g（x）在区间[﹣，0]上的最小值和最大值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换，化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间[﹣，0]上的最小值和最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=1+2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
（Ⅰ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）若把函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）的图象，
∵x∈[﹣，0]，∴2x﹣∈[﹣，﹣]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴g（x）=2sin（2x﹣）∈[﹣2，1]．
故g（x）在区间上的最小值为﹣2，最大值为1．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
20．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．
（1）求证：MN∥平面A′ACC′；
（2）求证：A′N⊥平面BCN．
（3）求三棱锥C﹣MNB的体积．
【分析】（1）连接AB′，AC′，证明MN∥AC′，即可证明MN∥平面A′ACC′．
（2）利用直线与平面垂直的判定定理证明A′N⊥平面BCN．
（3）利用VCMNB=VMBCN，转化求解即可．
【解答】（12分）解：（1）证明：如图，连接AB′，AC′，
∵四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，
∴AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点，∴MN∥AC′，
又MN⊄平面A′ACC′，且AC′⊂平面A′ACC′，
∴MN∥平面A′ACC′．
（2）直三棱柱ABC﹣A′B′C′满足∠BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B，B′C′的中点．
可得A′N⊥B′C′，A′N⊥CC′，B′C′∩CC′=C′，∴A′N⊥平面BCN
（3）由图可知VCMNB=VMBCN，
∵∠BAC=90°，∴BC==2，
又三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱，且AA′=4，
∴S△BCN=×2×4=4．
∵A′B′=A′C′=2，∠B′A′C′=90°，点N为B′C′的中点，∴A′N⊥B′C′，A′N=．
又BB′⊥平面A′B′C′，∴A′N⊥BB′，
∴A′N⊥平面BCN．
又M为A′B的中点，
∴M到平面BCN的距离为，
∴VCMNB=VMBCN=×4×=．
【点评】本题考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用，考查逻辑推理能力．
21．（12分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，当x∈（﹣3，2）时，f（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，求c的取值范围；
（3）当x＞﹣1时，求y=的最大值．
【分析】（1）由已知中函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，当x∈（﹣3，2）时，f（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，可得f（x）=0的两根为﹣3，2，由韦达定理（根与系数的关系）我们易求出a，b的值，进而得到函数的解析式；
（2）由（1）的结论，根据不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集为R，可得△≤0，由此构造关于c的不等式，解不等式即可求出c的取值范围；
（3）根据（1）的结论，我们易求出y=的解析式，结合基本不等式，分析出函数的值域，即可得到其最大值．
【解答】解：（1）由已知得，方程ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两个根为﹣3，2，
则，即，
解得a=﹣3，b=5，
∴f（x）=﹣3x2﹣3x+18；
（2）由已知得，不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集为R，
因为△=52﹣4×（﹣3）×c≤0，
∴c≤﹣，即c的取值范围为（﹣∞，﹣]，
（3）y===﹣3×（x+）=﹣3×[（x+1）+﹣1]，
因为x＞﹣1，（x+1）+≥2，
当且仅当x+1=，即x=0时取等号，
∴当x=0时，ymax=﹣3．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次不等式的解法，基本不等式，函数的最值，其中根据函数的零点与对应方程根的关键，结合韦达定理，构造关于a，b的方程，进而求出a，b的值，是解答本题的关键．
22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，
（1）求直线2x﹣y+1=0截圆C所得的弦长．
（2）是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【分析】（1）求出圆C的圆心C（1，﹣2），半径r=3，再求出圆心C（1，﹣2）到直线2x﹣y+1=0的距离d，弦长为：2．
（2）假设存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点，设直线l的方程为：y=x+b，由，得2x2+（2b+2）x+b2+4b﹣4，由此利用韦达定理、向量垂直，结合题设条件能求出存在满足条件的直线方程．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心C（1，﹣2），半径r==3，
圆心C（1，﹣2）到直线2x﹣y+1=0的距离d==，
∴弦长为：2=2=4．
（2）假设存在斜率为1的直线l，使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点，
设直线l的方程为：y=x+b，
由，得2x2+（2b+2）x+b2+4b﹣4，①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=﹣b﹣1，，
∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=
===，
又∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，
∴=0，
解得b=1或b=﹣4，
把b=1和b=﹣4分别代入①式，验证判别式均大于0，故存在b=1或b=﹣4，
∴存在满足条件的直线方程是：y=x﹣4或y=x+1
【点评】本题考查弦长的求法，考查直线方程的求法，考查直线与圆的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化、化归思想，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．