【数学】重庆市沙坪坝区南开中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题（解析版） 15页

www.ks5u.com 重庆市沙坪坝区南开中学2019-2020学年 高二上学期期中考试试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求 ‎1.已知，则动点P的轨迹是（ ）‎ A. 双曲线 B. 双曲线左边一支 C. 一条射线 D. 双曲线右边一支 ‎【答案】D ‎【解析】且 动点的轨迹为双曲线的右边一支 故选：D. ‎ ‎2.抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　　）‎ A. （0，1） B. （1，0） C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛物线的标准方程为，即，开口向上，焦点在轴的正半轴上，故焦点坐标为.‎ 故选：C.‎ ‎3.命题“”的否定形式是（ ）‎ A. ，使得 ‎ B. ，使得 C. ，使得 ‎ D. ，使得 ‎【答案】B ‎【解析】根据含全称量词命题的否定原理可知原命题的否定为：‎ ‎，使得 故选：B. ‎ ‎4.圆锥曲线的离心率，则m的值为（ ）‎ A. B. 4 C. 或4 D. -2或4‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，则，解得：‎ 若，则，解得：‎ 若，则，解得：（舍）‎ 综上所述：或 故选：C.‎ ‎5.已知P为以F为左焦点的椭圆上一点，M为线段PF中点，若（其中O为坐标原点），则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3‎ ‎【答案】C ‎【解析】设椭圆右焦点为 分别为中点, , ‎ 由椭圆定义可知：, ‎ 故选：‎ ‎6.直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则m的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线与交于，，‎ 则，，联立，消去得：‎ ‎，解得：，的取值范围为 故选：A. ‎ ‎7.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若为等边三角形，则该双曲线渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抛物线方程知：，准线为 由得：‎ 为等边三角形 ，解得：‎ 双曲线方程为 渐近线方程为 故选：A. ‎ ‎8.已知双曲线的左右焦点分别为、动点A在双曲线左支上，点B为圆上一动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得：，，圆心，半径 由双曲线定义知： ‎ ‎（当且仅当三点共线且在线段上时取等号）‎ 又（当且仅当三点共线且在线段上时取等号）‎ 故选：D.‎ ‎9.有下列几个命题：①“若p，则q”的否命题是“若，则”；②p是q的必要条件，r是q的充分不必要条件，则p是r的必要不充分条件；③若“”为真命题，则命题p，q中至多有一个为真命题；④过点的直线和圆相切的充要条件是直线斜率为.其中为真命题的有（ ）‎ A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①由否命题定义可知①正确；‎ ‎②，， ，‎ 是的必要不充分条件，②正确；‎ ‎③为真 为假 至少有一个假命题 即至多有一个真命题，③正确；‎ ‎④当过点直线斜率不存在时，即直线方程为，此时直线与圆相切 ‎④中所说充要条件不成立，④错误.‎ 故选：B.‎ ‎10.设直线与抛物线相交于M、N两点，抛物线的焦点为F，‎ 若，则k的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抛物线方程得：，恒过定点，‎ 恒过焦点，即共线 设，‎ ‎ ‎ 联立消去得：‎ ‎，解得：或（舍） ‎ ‎ ，解得：‎ 故选：A.‎ ‎11.已知双曲线，若在双曲线C的渐近线上存在点P使 ‎，则双曲线C离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B【解析】设为渐近线上一点，‎ 满足，与双曲线右支交于 ‎ ‎ 即 ，又 ‎ 故选：B.‎ ‎12.已知斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为 ‎，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值 MN为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，，，其中 ‎，两式作差整理可得：‎ 解得： ‎ 设直线方程为，即 代入椭圆方程整理得：，‎ 解得：，‎ ‎，‎ ‎， 直线斜率不存在，方程为 ‎ ， ‎ 故选：C.‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）‎ ‎13.直线的倾斜角为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得：，，倾斜角 故答案为：‎ ‎14.直线与圆相交于M，N两点，若，则实数k的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由圆的方程知：圆心，半径 圆心到直线的距离 ‎ ‎ ‎ ‎，即实数的取值范围为 故答案为：‎ ‎15.过点双曲线的左右焦点为，过作轴的垂线与相交于两点，与轴相交于.若，则双曲线的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，代入双曲线方程得：，‎ ‎，为中点 为中位线 ‎ ‎，，，‎ ‎ ，即 ‎ ，‎ 解得：或（舍），，即 又，， ‎ 双曲线的方程为：，故答案为：‎ ‎16.已知抛物线，过点的直线和抛物线交于两点，且有，为抛物线上异于的一点，若的重心恰为抛物线焦点，则的值为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设，与抛物线方程联立得：‎ 设，，则，‎ ‎ ‎ ‎， 中点 设，抛物线焦点 的重心恰为抛物线焦点 ‎ 即，即，解得：‎ 的值为 故答案为：‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）‎ ‎17.已知表示焦点在y轴上的椭圆；表示双曲线.‎ ‎（1）试写出p的一个必要不充分条件；‎ ‎（2）若为假命题，且为真命题，求实数m的取值范围.‎ ‎【解】（1）若为真，则有，解得：‎ 故成立的一个必要不充分条件为以为真子集的区间 一个必要不充分条件为 ‎（2）若为真，则有，解得：‎ 由为假，且为真可知一真一假 若真假，则有，解得：‎ 若假真，则有，解得：‎ 综上所述，‎ ‎18.设直线l的方程为.‎ ‎（1）若直线l与直线平行，求实数a的值；‎ ‎（2）设直线l与圆相交于A、B两点，当弦长取得最小值时，求直线l的方程.‎ ‎【解】（1） ，解得：或 当时，，满足题意，‎ 当时，，，此时两直线重合，不满足题意.‎ 综上所述：‎ ‎（2）圆C的方程可化为： 圆心，半径 要使弦长最小，则圆心到直线的距离最大 由题可知：直线过定点 当且仅当时距离最大，此时的斜率为 故直线的方程为：，即 ‎19.已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）经过的双曲线右焦点作倾斜角为直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点求AB的长.‎ ‎【解】（1）双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点 ‎，解得： ‎ 双曲线的方程为 ‎（2）双曲线的右焦点为 ‎ 直线l的方程为 联立得：‎ 设，则，‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为、，过且垂直于x轴的直线交椭圆C于点D，.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过的直线l交椭圆C于A、B两点，若，求的面积.‎ ‎【解】（1）由题意得：，解得：‎ 椭圆的方程为 ‎（2）由（1）知：‎ 当和轴重合时，，，则共线，不满足题意 当和轴不重合时，设：‎ 联立消去整理得：‎ 设，则…①，…②‎ 由可得：…③‎ 由①②③消去可解得：‎ ‎21.设抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，‎ ‎.‎ ‎（1）求l的方程；‎ ‎（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.‎ ‎【解】（1）由题意得：，的方程为 由，得，则 设 ‎ ‎，‎ 解得：（舍去）或 的方程为 ‎（2）由（1）得：的中点坐标为 的垂直平分线方程为，即 设所求圆的圆心坐标为 则，解得：或 所求圆的半径或 所求圆的方程为或 ‎22.如图所示，椭圆的右焦点为F，双曲线的渐近线分别为和，过点F作直线于点C，直线l与交于点P、与椭圆E从上到下依次交于点A，B.已知直线的倾斜角为，双曲线的焦距为8.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设，证明：为定值.‎ ‎【解】（1）由题意得：，解得：‎ 椭圆的方程为 ‎（2）由（1）知：，则直线的方程为 与联立解得：‎ 设 则由题知：，同理 由得：‎ 则，‎ ‎，为定值.‎