【数学】2020一轮复习北师大版（理）50　抛物线作业 6页

课时规范练50　抛物线 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.(2018山东春季联考)已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是(　　)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎2.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4‎2‎x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4‎2‎,则△POF的面积为(　　)‎ A.2 B.2‎2‎ C.2‎3‎ D.4‎ ‎3.(2018云南昆明一中模拟,5)已知点F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,O为坐标原点,若以F为圆心,|FO|为半径的圆与直线‎3‎x-y+3=0相切,则抛物线C的方程为(　　)‎ A.x2=2y B.x2=4y C.x2=6y D.x2=8y ‎4.(2018广东江门一模,10)F是抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上,点Q在抛物线的准线上,若PF=2FQ,则|PQ|=(　　)‎ A.‎9‎‎2‎ B.4 C.‎7‎‎2‎ D.3‎ ‎5.(2018湖南师范大学附属中学三模,11)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,垂足为E,若|AB|=6,则|EM|的长为(　　)‎ A.2‎2‎ B.‎6‎ C.2 D.‎‎3‎ ‎6.(2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学冲刺,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,直线y=x与抛物线C交于O,A两点(O为坐标原点),过F作直线OA的平行线交抛物线C于B,D两点(其中B在第一象限),直线AB与直线OD交于点E,若△OEF的面积等于1,则抛物线C的准线方程为(　　)‎ A.x=-1 B.x=-‎‎1‎‎2‎ C.y=-1 D.y=-‎‎1‎‎2‎ ‎7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为(　　)‎ A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=‎3‎x ‎8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为　　　　　. ‎ ‎9.(2018安徽巢湖一模,15)已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,直线l1:y=x-1交抛物线于A,B两点,分别从A,B两点向直线l2:x=-2作垂线,垂足是D,C,则四边形ABCD的周长为　　　　　. ‎ ‎10.(2017广东江门一模,10改编)F是抛物线y2=2x的焦点,以F为端点的射线与抛物线相交于点A,与抛物线的准线相交于点B,若FB=4FA,则FA‎·‎FB=　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎11.(2018山东烟台模拟,6)已知直线l1:x=2,l2:3x+5y-30=0,点P为抛物线y2=-8x上的任一点,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为(　　)‎ A.2 B.2‎34‎ C.‎18‎‎17‎‎34‎ D.‎‎16‎‎15‎‎34‎ ‎12.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为‎3‎的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　)‎ A.‎5‎ B.2‎2‎ C.2‎3‎ D.3‎‎3‎ ‎13.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48‎3‎,则p的值为　　　　　. ‎ ‎14.设动点P(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.‎ 创新应用组 ‎15.‎ ‎(2018北京城六区一模,2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,BC=1,点P在侧面A1ABB1上,满足到直线AA1和CD的距离相等的点P(　　)‎ A.不存在 ‎ B.恰有1个 C.恰有2个 ‎ D.有无数个 ‎16.(2018河北衡水模拟,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为1的直线l1交抛物线C于A,B两点,当直线l1过点(1,0)时,以AB为直径的圆与直线x=-1相切.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)与l1平行的直线l2交抛物线于C,D两点,若平行线l1,l2之间的距离为‎2‎‎2‎,且△OCD的面积是△OAB面积的‎3‎倍,求l1和l2的方程.‎ 参考答案 课时规范练50　抛物线 ‎1.C　因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以‎|a|‎‎4‎=7-5,所以|a|=8,‎ 因此焦点F到准线l的距离是‎|a|‎‎2‎=4,故选C.‎ ‎2.C　利用|PF|=xP+‎2‎=4‎2‎,可得xP=3‎2‎.‎ ‎∴yP=±2‎6‎.∴S△POF=‎1‎‎2‎|OF|·|yP|=2‎3‎.故选C.‎ ‎3.B　由抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则焦点坐标F0,p‎2‎,所以焦点F0,p‎2‎到直线‎3‎x-y+3=0的距离为d=‎|-p‎2‎+3|‎‎2‎=p‎2‎,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y,故选B.‎ ‎4.A　设抛物线的准线和对称轴的交点为K.过点P作准线的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|.由△QFK∽△QPM,得‎|FK|‎‎|MP|‎=‎|QF|‎‎|QP|‎,即‎1‎‎|MP|‎=‎1‎‎3‎,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=‎3‎‎2‎,所以|PQ|=|PF|+|QF|=‎9‎‎2‎.故选A.‎ ‎5.B　由已知得F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,与y2=4x联立得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x0,y0),则y1+y2=4m,则y0=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=2m,x0=2m2+1,所以E(2m2+1,2m),又|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=6,解得m2=‎1‎‎2‎,线段AB的垂直平分线为y-2m=-m(x-2m2-1),令y=0,得M(2m2+3,0),从而|ME|=‎4+4‎m‎2‎=‎6‎,故选B.‎ ‎6.A ‎7.C　如图,分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,‎ 由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.‎ ‎∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|.‎ ‎∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.‎ 连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,‎ 则|KF|=|A1F1|=‎1‎‎2‎|AA1|=‎1‎‎2‎|AF|,即p=‎3‎‎2‎,‎ 故抛物线方程为y2=3x.‎ ‎8.2　由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.‎ 依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.‎ ‎9.18+4‎2‎　由题知,F(1,0),准线l的方程是x=-1,p=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,‎y‎2‎‎=4x,‎消去y,得x2=-6x+1=0.因为直线l1经过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=8.由抛物线上的点的几何特征知|AD|+|BC|=|AB|+2=10,因为直线l1的倾斜角是π‎4‎,所以|CD|=|AB|sin π‎4‎=8×‎2‎‎2‎=4‎2‎,所以四边形ABCD的周长是|AD|+|BC|+|AB|+|CD|=10+8+4‎2‎=18+4‎2‎.‎ ‎10.‎9‎‎4‎　由题意,设点A的横坐标为m,过点A向准线作垂线交垂线于点C,设准线与x轴的交点为D,‎ 则由抛物线的定义,|FA|=m+‎1‎‎2‎,‎ 由△BAC∽△BFD,得m+‎‎1‎‎2‎‎1‎=‎3‎‎4‎,∴m=‎1‎‎4‎.‎ ‎∴|FA|=‎3‎‎4‎,|FB|=3,‎ ‎∴FA·FB=|FA||FB|=‎9‎‎4‎.‎ ‎11.C　∵抛物线y2=-8x的焦点为F(-2,0),准线为l1:x=2,‎ ‎∴P到l1的距离等于|PF|,∴P到直线l1,l2的距离之和的最小值为F(-2,0)到直线l2的距离d=‎|-6+0-30|‎‎9+25‎=‎18‎‎17‎‎34‎.故选C.‎ ‎12.C　由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=‎3‎(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=‎1‎‎3‎,x2=3.‎ 因为M在x轴的上方,所以M(3,2‎3‎).‎ 因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2‎3‎).‎ 因为F(1,0),所以直线NF:y=-‎3‎(x-1).‎ 所以M到直线NF的距离为‎|‎3‎×(3-1)+2‎3‎|‎‎(-‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=2‎3‎.‎ ‎13.2　设B(x1,y1),A(x2,y2).‎ ‎∵|OA|=|OB|,∴x‎1‎‎2‎+y‎1‎‎2‎=x‎2‎‎2‎+y‎2‎‎2‎.又y‎1‎‎2‎=2px1,y‎2‎‎2‎=2px2,∴x‎2‎‎2‎-x‎1‎‎2‎+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又x1,x2与p同号,∴x1+x2=2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.‎ 根据抛物线对称性可知点B,A关于x轴对称,‎ 由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=‎3‎‎3‎x,由y=‎3‎‎3‎x,‎y‎2‎‎=2px,‎解得B(6p,2‎3‎p),∴|OB|=‎(6p)‎‎2‎‎+‎‎(2‎3‎p)‎‎2‎=4‎3‎p.∵△OAB的面积为48‎3‎,∴‎3‎‎4‎‎(4‎3‎p)‎‎2‎=48‎3‎,∴p=2.‎ ‎14.(1)解 由题意知,动点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)证明 由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2,‎ 则l2:y=-k(x-1)+2,‎ 由y=k(x-1)+2,‎y‎2‎‎=4x得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,‎ ‎∴x1=‎(k-2‎‎)‎‎2‎k‎2‎=k‎2‎‎-4k+4‎k‎2‎,‎ 同理x2=k‎2‎‎+4k+4‎k‎2‎.‎ ‎∴x1+x2=‎2k‎2‎+8‎k‎2‎,x1-x2=-‎8‎k.‎ ‎∴y1-y2=k(x1+x2)-2k=‎8‎k.‎ ‎∴kMN=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=‎8‎k‎-‎‎8‎k=-1,即直线MN的斜率为定值-1.‎ ‎15.D　由于点P在侧面A1ABB1上,所以点P到直线AA1的距离为PA,所以点P为到定点A与到定直线CD距离相等的点集合,满足抛物线的定义,有无数个.故选D.‎ ‎16.解 (1)设直线AB方程为y=x-b,代入y2=2px,得x2-(2b+2p)x+b2=0,‎ Δ=(2b+2p)2-4b2=8bp+4p2>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2b+2p,x1x2=b2,‎ ‎|AB|=‎2‎|x1-x2|=‎2‎‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎‎-4‎x‎1‎x‎2‎=2‎2‎‎2bp+‎p‎2‎,‎ 当b=1时,|AB|=2‎2‎‎2p+‎p‎2‎,AB的中点为(1+p,p),‎ 依题意可知2(1+p+1)=2‎2‎‎2p+‎p‎2‎,解得p=2.‎ 所以抛物线方程为y2=4x.‎ ‎(2)点O到直线l1的距离为d=‎|b|‎‎2‎,‎ S△OAB=‎1‎‎2‎×|AB|×d=‎1‎‎2‎×2‎2‎‎4b+4‎×‎|b|‎‎2‎=2|b|b+1‎.‎ 因为平行线l1,l2之间的距离为‎2‎‎2‎,所以直线CD方程为y=x-(b+1),‎ S△OCD=2|b+1|b+2‎.‎ 依题意可知‎3‎×2|b|b+1‎=2|b+1|b+2‎,即3b2(b+1)=(b+1)2(b+2),‎ 化简得2b2-3b-2=0,所以b=-‎1‎‎2‎或b=2,满足Δ>0,‎ 所以l1:y=x+‎1‎‎2‎,l2:y=x-‎1‎‎2‎或l1:y=x-2,l2:y=x-3.‎