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- 2021-04-16 发布
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2019学年第一学期期中联考高一年级数学学科测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求集合，再求.
【详解】
,
，
.
故选：B
【点睛】本题考查集合的运算，意在考查基本计算，属于简单题型.
2.设集合，那么从A到B映射共有几个（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据映射的定义，可以依次写出映射.
【详解】根据映射的定义域，可知集合里的2个元素都和1对应，或都和0对应，这是2个映射，或是集合里的2个元素，或 ，也是2个映射，所以共4个映射.
故选：D
【点睛】本题考查映射的概念以及映射的个数，属于基础题型.
3.已知，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别和0,1比较大小，得到，，的大小关系.
【详解】，
， ，
.
故选：B
【点睛】本题考查指对数比较大小，一般可以判断函数类型，根据单调性比较大小，或是和中间值0或1比较大小.
4.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】A.在定义域内是奇函数，但是增函数，故A不正确；
B.在定义域内是奇函数，但在定义域内不是减函数，在和单调递减，故B不正确；
C.在定义域内是奇函数，并且也是减函数，故C正确；
D.在定义域内不是奇函数，在定义域内是减函数，故D不正确.
故选C.
【点睛】本题考查判断函数的基本性质，属于简单题型.
5.已知，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据换底公式表示，再计算.
【详解】，
.
故选：B
【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，意在考查计算能力，属于简单题型.
6.若函数的部分图像如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象的单调性和与轴的交点，得到参数的取值范围.
【详解】由图象可知函数单调递减，
，
当时，，
由图象可知，
.
故选：C
【点睛】本题考查根据函数的图象，判断参数的取值范围，意在考查熟练掌握函数的性质和图象间的关系，属于基础题型.
7.函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先函数写成内外层函数，然后根据复合函数“同增异减”的判断方法判断函数的单调性.
【详解】首先函数可以写成内外层函数，，
是单调递减函数，
根据“同增异减”的原则，只需满足
，解得：，
函数的单调递减区间是.
故选：C
【点睛】本题考查复合函数的单调性，属于基础题型，复合函数判断单调性的方法是“同增异减”，判断单调区间时，不要忘记定义域.
8.函数是上单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分段函数若是上的单调递增函数，只需满足每段都是单调递增，还有分界点处的函数值比较大小.
【详解】是上的单调递增函数，
只需满足 ，
解得：.
故选：D
【点睛】本题考查根据分段函数的单调性，求参数的取值范围，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型，本题列不等式时，容易忘记分界点处的不等式，谨记这点.
9.已知函数的值就是，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
若函数的值域为，只需满足与轴有交点，并且函数能取到的所有数，分和两种情况讨论的取值范围.
【详解】设，，
若函数的值域为，则需能取到的所有数，
当时，不满足条件；
当时， ，
解得：.
综上可知：.
故选：C
【点睛】本题考查根据对数型函数值域为，求参数的取值范围，如果条件是定义域为，
当时成立，当时，满足.
10.已知函数是定义在上的增函数，对于任意实数都满足，若且，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先赋值可知，不等式转化为，再根据单调性解不等式.
【详解】 ，
，
函数是定义在上的增函数，
，
解得：.
故选：D
【点睛】本题考查解抽象不等式，意在考查转化与化归和计算能力，抽象函数求值时一般需赋值，解不等式时注意函数的定义域.
二、填空题（本大题共7小题，每空格4分，共40分）
11.已知函数，则________；若，则________．
【答案】 (1). -6 (2). -1
【解析】
【分析】
（1）首先求，然后再求；
（2）根据分段函数的定义域，分段讨论解方程.
【详解】（1），
；
（2）当时， ；
当时，，不成立，
.
故答案为：-6；-1
【点睛】本题考查分段函数求值和解方程，属于简单题型.
12.函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________，若点P在幂函数的图象上，则________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）根据对数，且，求定点的坐标；
（2）设，代入点，求函数再求值.
【详解】（1） 且
，
当时，，
点的坐标为；
（2）设，
，解得，
，
.
故答案为：；
【点睛】本题考查对数型复合函数过定点和幂函数，意在考查计算能力，属于简单题型.
13.函数的定义域是________值域是________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）求不等式的解集；
（2）根据定义域求值域.
【详解】（1）
，
，
的定义域是.
（2）的定义域是，
，
，
，
的值域是.
故答案为：；
【点睛】本题考查具体函数的定义域和值域的求法，意在考查计算能力，属于基础题型.
14.已知集合，，若，则________．
【答案】-1或0或1
【解析】
【分析】
分和两种情况求参数.
【详解】当时，，满足条件；
当时，，
，
若满足，
则，解得 ，
或 ，解得，
综上可知：或或.
故答案：-1或0或1
【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数，属于简单题型，本题的一个易错点是不要忘记的情况.
15.若，则________．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据对数运算法则可知，化简为，再求值.
【详解】，
，
整理为：，
，
即或，
当时， ，故不成立，
当时，成立，，
.
故答案为：0
【点睛】本题考查对数运算法则熟练应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.
16.已知函数为定义在上的奇函数，当时（为常数）则________．
【答案】-8
【解析】
【分析】
首先根据求，因为函数是奇函数，所以.
【详解】是定义在上的奇函数，
，
时，，
.
故答案为：-8
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求值，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.
17.若函数（且）在区间上具有单调性，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
在和有不同的单调性，所以是这两个区间的子集，求的取值范围.
【详解】在和有不同的单调性，
，或 ，
解得：或，
又且，
的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查已知函数在区间内的单调性求参数的取值范围，列不等式时，不要遗漏掉不等式，属于基础题型.
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
18.已知全集
（1）求；
（2）求；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）根据集合，直接求；
（2）先求，再求；
（3）若，列不等式求的取值范围.
【详解】（1）
；
（2），
；
（3）若，
.
【点睛】本题考查集合的运算和根据运算结果求参数的取值范围，意在考查计算能力，属于基础题型.
19.（1）计算；
（2）若，求的值．
【答案】（1）8（2）
【解析】
分析】
（1）根据对数运算法则计算；
（2）由已知变形为，而，依次代入求值.
【详解】解：（1）原式
（2）由得
原式
【点睛】本题考查对数和指数的运算法则，意在考查转化与变形和计算能力，属于基础题型.
20.已知函数．
（1）求的值；
（2）求出函数的定义域；
（3）求函数在区间的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）函数的定义域为（3），
【解析】
【分析】
（1）根据，代入求值；
（2）根据 求函数的定义域；
（3）由（1）可知，根据，先求的范围，再求函数的最值.
【详解】解：（1）
（2）
即函数的定义域为
（3）由（1）可知
令
在是增函数，在上是减函数
而在上是增函数，
当，即时，，
当，即时，
【点睛】本题考查对数函数的定义域和最值的求法，意在考查转化与化简，属于基础题型，形如的值域，首先变形为内外层函数，，然后根据定义域求内层函数的值域，再根据函数的单调性求的值域.
21.已知函数．
（1）判断该函数的奇偶性并说明理由；
（2）求证：在R上是增函数；
（3）解不等式：．
【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）首先判断函数的定义域，再判断与的关系；
（2）任取且，做差，变形，比较和的大小，判断函数的单调性；
（3），然后再解不等式.
【详解】解：（1）函数为奇函数．
证明如下：易知函数的定义域为关于原点对称
又
为奇函数
（2）任取且则…
，
即
为R上的增函数．
（3）
原不等式的解集为
【点睛】本题考查判断含指数函数的分式型函数的奇偶性和单调性，以及解不等式，意在考查对函数性质的理解，以及变形，化简和计算能力，属于基础题型.
22.已知函数．
（1）当时，求出函数的单调递减区间；
（2）当时，求函数在区间的值域：
（3）若函数在R上是减函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数的单调递减区间是和（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）当时，化简，再判断函数的单调性；
（2）根据分段函数分和求函数的值域；
（3），函数在R上是减函数，所以，求的取值范围.
【详解】（1）
当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增．
当时，，函数在上单调递减．
函数的单调递减区间是和
（2）由（1）知，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数．
又
，
函数的值域是
（3）
若函数在R上是减函数，
则，
即，即实数的取值范围是
【点睛】本题考查求分段函数的单调区间和值域，以及根据函数的单调性求参数的取值范围，含绝对值的函数可以根据零点去绝对值，写成分段函数，再求函数的性质.