【数学】2019届一轮复习苏教版函数与导数学案 28页

一、函数的概念 ‎1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：‎ ‎（1）分式函数中分母不等于零．‎ ‎（2）偶次根式函数的被开方式大于或等于0．‎ ‎（3）一次函数、二次函数的定义域均为R．‎ ‎（4）y＝x0的定义域是{x|x≠0}．‎ ‎（5）y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R．‎ ‎（6）y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎（7）y＝tanx的定义域为．‎ ‎2．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：‎ ‎（1）一次函数y＝ x＋b( 为常数且 ≠0)的值域为R．‎ ‎（2）反比例函数( 为常数且 ≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．‎ ‎（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，‎ 当a>0时，二次函数的值域为；‎ 当a<0时，二次函数的值域为．‎ 求二次函数的值域时，应掌握配方法：．‎ ‎（4）y＝sinx的值域为[−1，1 ．‎ ‎3．分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．‎ ‎【必记结论】分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．‎ 二、函数的单调性 ‎1．函数单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．‎ ‎2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．‎ 三、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有；‎ 存在，使得 对于任意的，都有；‎ 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 四、函数的奇偶性与周期性 ‎1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 ‎2．函数奇偶性的几个重要结论 ‎（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．‎ ‎（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：‎ 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ‎（3）若奇函数的定义域包括，则．‎ ‎（4）若函数是偶函数，则．‎ ‎（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．‎ ‎（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．‎ ‎（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：‎ ‎①函数为偶函数，函数为奇函数．‎ ‎②函数（且）为奇函数．‎ ‎③函数（且）为奇函数．‎ ‎④函数（且）为奇函数．‎ ‎3．周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎2．最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）．注意：并不是所有周期函数都有最小正周期．‎ 五、二次函数的图象与性质 函数解析式 图象(抛物线)‎ 定义域 R 值域 对称性 函数图象关于直线对称 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数；‎ 在上是增函数．‎ 在上是增函数；‎ 在上是减函数．‎ 最值 当时，‎ 当时，‎ ‎【常用结论】（1）函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根．‎ ‎（2）若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|=．‎ ‎（3）当且()时，恒有f(x)>0()；‎ 当且()时，恒有f(x)<0()．‎ 六、幂函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 过定点 过定点 过定点 七、指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时，‎ 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；‎ 当时，‎ 当时，；‎ 当时，‎ 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中00时，，‎ 所以要使函数g(x)=f(x)−m有三个不同的零点，则