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- 2021-04-16 发布
2017-2018学年河南省周口市中英文学校高二（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）
1．（5分）数列，的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）下列不等式中成立的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞
3．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a•cosA=bcosB，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（5分）在△ABC中，已知a2+b2=c2+ba，则∠C=（ ）
A．30° B．150° C．45° D．135°
5．（5分）数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（ ）
A．9 B． C．1 D．
7．（5分）设等差数列{an}的 前n项的和为Sn，若a3+a9=2，则S11=（ ）
A．12 B．10 C．11 D．22
8．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
9．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
10．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
11．（5分）一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（ ）
A．海里/时 B．34海里/时 C．海里/时 D．34海里/时
12．（5分）不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣4，2） D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=（﹣1）n（an+1），记Sn为{an}前项的和，则S2013= ．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知B=60°，不等式x2﹣4x+1＜0的解集为{x|a＜x＜c}，则b= ．
15．（5分）若正数x，y满足=5，则4x+3y的最小值为 ．
16．（5分）已知x，y满足，则（x﹣1）2+（y﹣2）2的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．（10分）已知关于x的不等式．
（Ⅰ）当a=1时，解该不等式；
（Ⅱ）当a＞0时，解该不等式．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足A=45°，cosB=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设a=5，求△ABC的面积．
19．（12分）某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？
20．（12分）设{an}是公比不为1的等比数列，其前项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
（1）求数列{an}的公比；
（2）证明：对任意k∈N*，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．
21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=﹣．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求实数b的取值范围．
22．（12分）已知数列{an}中，其前n项和Sn满足Sn=2an﹣2（n∈N*）．
（1）求证：数列{an}为等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）设bn=（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）设cn=4n﹣2λan（n∈N*），试确定实数λ的取值范围，使得对任意n∈N*，有cn+1＞cn恒成立．
2017-2018学年河南省周口市中英文学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）
1．（5分）数列，的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可．
【解答】解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴
故选B
【点评】本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律．
2．（5分）下列不等式中成立的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞
【分析】运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．
【解答】解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；
对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；
对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；
对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．
3．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a•cosA=bcosB，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】利用正弦定理由a•cosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状．
【解答】解：在△ABC中，∵a•cosA=bcosB，
∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π﹣2B，
∴A=B或A+B=，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【点评】标题考查三角形的形状判断，考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．
4．（5分）在△ABC中，已知a2+b2=c2+ba，则∠C=（ ）
A．30° B．150° C．45° D．135°
【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．
【解答】解：∵a2+b2=c2+ba，即a2+b2﹣c2=ab，
∴由余弦定理得：cosC==，
∴∠C=45°．
故选：C．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
5．（5分）数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据数列的特点得到数列的通项公式，然后利用裂项法进行求和即可．
【解答】解：由数列可知数列的通项公式an==，
∴数列的前n项和S=2（）=2（）=，
故选：C．
【点评】本题只要考查数列和的计算，根据数列特点得到数列的通项公式是解决本题的关键，要求熟练掌握裂项法进行求和，本题容易出错的地方在于数列通项公式求错．
6．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（ ）
A．9 B． C．1 D．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+y，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=x+y，过可行域内的点A（4，5）时的最大值，从而得到z最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
设z=x+y，
∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时
z最大，最大值为9，
故选A．
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
7．（5分）设等差数列{an}的 前n项的和为Sn，若a3+a9=2，则S11=（ ）
A．12 B．10 C．11 D．22
【分析】等差数列{an}的前11项的和S11==，由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}的 前n项的和为Sn，a3+a9=2，
∴S11====11．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的前11项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（5分）在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】利用三角形面积公式求得c，进而利用余弦定理求得a，进而根据正弦定理求得===2R，进而推断出=答案可得．
【解答】解：∵S△ABC=bcsinA=×1×c×=
∴c=4
根据余弦定理有：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×=13
所以，a=
根据正弦定理==，则：
==
故选A
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．要求考生能利用正弦定理和余弦定理对解三角形问题中边，角问题进行互化或相联系．
9．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴381==127a，解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯，
故选B．
【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．
10．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（ ）
A．21 B．42 C．63 D．84
【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．
【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，
∴，
∴q4+q2+1=7，
∴q4+q2﹣6=0，
∴q2=2，
∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．
故选：B
【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．
11．（5分）一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（ ）
A．海里/时 B．34海里/时 C．海里/时 D．34海里/时
【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．
【解答】解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°．
在△PMN中，由正弦定理，得
=，
∴MN=68×=34．
又由M到N所用时间为14﹣10=4（小时），
∴船的航行速度v==（海里/时）；
故选A．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
12．（5分）不等式x2+2x＜对任意a，b∈（0，+∞）恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．（﹣4，2） D．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）
【分析】由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．
【解答】解：对任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8
即（x﹣2）（x+4）＜0，解得x∈（﹣4，2）
故选C
【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=（﹣1）n（an+1），记Sn为{an}前项的和，则S2013= ﹣1005 ．
【分析】由a1=1，an+1=（﹣1）n（an+1），可求数列的前几项，然后根据前几项的规律可求数列的和
【解答】解：∵a1=1，an+1=（﹣1）n（an+1），
∴a2=﹣2，a3=﹣1，a4=0，a5=1，a6=﹣2…
从而可得数列{an}是以4为周期的数列
∴S2013=a1+a2+a3+…+a2013
=（a1+a2+a3+a4）×502+a2013
=503×（1﹣2﹣1+0）+1=﹣1005
故答案为：﹣1005
【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，解题的关键是发现数列的周期性的规律．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知B=60°，不等式x2﹣4x+1＜0的解集为{x|a＜x＜c}，则b= ．
【分析】由不等式x2﹣4x+1＜0的解集为{x|a＜x＜c}，说明a，c为方程x2﹣4x+1=0的两个根，然后借助于根与系数关系列式求出a，c，在三角形ABC中运用余弦定理求b的值．
【解答】解：因为不等式x2﹣4x+1＜0的解集为{x|a＜x＜c}，
所以a，c为方程x2﹣4x+1=0的两个根，所以，则a2+c2=14，
在△ABC中，B=60°，所以b2=a2+c2﹣2ac•cos60°=，
所以．
故答案为．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了方程的根与系数的关系，训练了余弦定理在解三角形中的应用，此题是基础题．
15．（5分）若正数x，y满足=5，则4x+3y的最小值为 5 ．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：正数x，y满足=5，
则4x+3y=（4x+3y）=≥=5，当且仅当y=2x=1时取等号．
∴4x+3y的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（5分）已知x，y满足，则（x﹣1）2+（y﹣2）2的取值范围是 [2，29] ．
【分析】由约束条件作出可行域，再由（x﹣1）2+（y﹣2）2的几何意义，即可行域内的动点与定点P（1，2）距离的平方求解得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
（x﹣1）2+（y﹣2）2的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，2）距离的平方，
由图可知，（x﹣1）2+（y﹣2）2的最小值为=2，
（x﹣1）2+（y﹣2）2的最小值为|PA|2=（）2=29．
∴（x﹣1）2+（y﹣2）2的取值范围是[2，29]．
故答案为：[2，29]．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．（10分）已知关于x的不等式．
（Ⅰ）当a=1时，解该不等式；
（Ⅱ）当a＞0时，解该不等式．
【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）问题等价于，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：原不等式可化为＜0，等价于（ax﹣2）（x﹣1）＜0
（Ⅰ）当a=1时，不等式等价于（x﹣1）（x﹣2）＜0，∴1＜x＜2
∴原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．…（4分）
（Ⅱ）∵原不等式等价于（ax﹣2）（x﹣1）＜0，∴
∵a＞0，∴
当，即0＜a＜2时，解集为…（6分）
当，即a=2时，解集为Φ…（8分）
当，即a＞2时，解集为…（10分）
【点评】本题考查了解分式不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足A=45°，cosB=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设a=5，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数求解sinC的值；
（Ⅱ）利用正弦定理求出b，然后求解三角形的面积即可．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵cosB=．∴sinB=…2′
∴sinC=sin（A+B）=sin（45°+B）=cosB+sinB=…6′
（Ⅱ）由正弦定理得，b===4…9′
∴S△ABC===14…12′
【点评】本题考查正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．
19．（12分）某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生产每个书橱需要方木料0.2m3、五合板1m2．出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？
【分析】本题一线性规划的问题，据题意建立起约束条件与目标函数，作出可行域，利用图形求解．
【解答】解：设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则目标函数z=80x+120y，
约束条件为
作出上可行域：
作出一组平行直线2x+3y=t，此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400个，有最大利润为zmax=80×100+400×120=56000元．
【点评】本题考查了性规划的问题，将应用题转化为线性约束条件，再作出其图形，从图形上找出目标函数取最大值的点．算出最优解．
20．（12分）设{an}是公比不为1的等比数列，其前项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
（1）求数列{an}的公比；
（2）证明：对任意k∈N*，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．
【分析】（1）设数列{an}的公比为q（q≠0，q≠1），由a5，a3，a4成等差数列，得，由q≠0，a1≠0能求出q．
（2）=，推导出Sk+1+Sk+2=[1﹣（﹣2）k+1+1﹣（﹣2）k+2]=2Sk，由此能证明对任意k∈N*，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．…（
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）设数列{an}的公比为q（q≠0，q≠1），
由a5，a3，a4成等差数列，得2a3=a5+a4，
即，由q≠0，a1≠0…（4分）
得q2+q﹣2=0，解得q1=﹣2，q2=1（舍去），
∴q=﹣2．…（6分）
证明：（2）=，…（8分）
∴Sk+1+Sk+2=
=[1﹣（﹣2）k+1+1﹣（﹣2）k+2]…（10分）
=
=[2﹣2•（﹣2）k]=2Sk，
∴对任意k∈N*，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．…（12分）
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=﹣．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求实数b的取值范围．
【分析】（1）运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简整理可得B的值；
（2）运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求b的范围．
【解答】解：（1）由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入已知得，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∵A+B+C=π
∴sin（B+C）=sinA，
故2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
∵sinA≠0，∴，
又B∈（0，π），
∴；
（2）因为a+c=1，，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2+ac
=（a+c）2﹣ac=1﹣ac=，
∴，
又∵b＜a+c=1，
∴，
即b的取值范围为．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，三角函数的恒等变换，考查基本不等式的运用和运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知数列{an}中，其前n项和Sn满足Sn=2an﹣2（n∈N*）．
（1）求证：数列{an}为等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）设bn=（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）设cn=4n﹣2λan（n∈N*），试确定实数λ的取值范围，使得对任意n∈N*，有cn+1＞cn恒成立．
【分析】（1）当n=1时，S1=2a1﹣2，解得a1．由Sn=2an﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，两式相减得an=Sn﹣Sn﹣1，即an=2an﹣1．即可得出．
（2）由（1）知，利用错位相减法即可得出．
（3），可得，可得，化为λ＜3•2n﹣1恒成立．即可得出．
【解答】解：（1）当n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2．
因为Sn=2an﹣2
当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2
两式相减得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1
即an=2an﹣1．
∴数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列．
∴．
（2）由（1）知，
它的前n项和Tn=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n，
2Tn=2×22+3×23+…+n2n+（n+1）•2n+1，
∴﹣Tn=4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1=2+﹣（n+1）•2n+1，
∴Tn=n•2n+1．
（3）∵，∴，
∴，
∴λ＜3•2n﹣1恒成立．
当n=1时，3•2n﹣1有最小值为3，
∴λ＜3．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．