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- 2021-04-16 发布
南宁市第三中学2019-2020学年高一上学期期中考试（11月段考）数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. 集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B=（ ）
A. B. C. 3,4,5, D. 2,3,4,
2. 下列函数中是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数在区间[2，6]上的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D.
5. 函数y=log2（x+1）的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，x＜0时，f（x）=x3，那么f（2）的值是（ ）
A. 8 B. C. D.
7. 已知函数f（x）=x2-2x在区间[-1，t]上的最大值为3，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 设，则（ ）
A. B. C. D.
1. 已知函数f(x)=()x-1+b的图像不经过第一象限,则实数b的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
2. 若函数f（x）=的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. ,
3. 已知函数，当x1≠x2时，，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2＜logax恒成立，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
5. 集合A={-2，0，3，5}，则A的子集个数为______．
6. 函数的值域是______．
7. 函数f（x）=x|x|-4x的单调递增区间是______．
8. 已知，若f（x）≤t2-2at+1对于所有的x∈（0，+∞），a∈[-1，1]恒成立，则实数t的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
9. 计算下列各式的值⑴ ;
⑵.
10. 设全集为R，集合A={x|-3＜x＜4}，B={x|1≤x≤10}．
（1）求A∪B，A∩（∁RB）；
（2）已知集合C={x|2a-1≤x≤a+1}，若C∩A=C，求实数a的取值范围．
11. 已知f（x）是奇函数，且x≥0时，f（x）=x2-4x+3．
求：（1）f（x）的解析式．
（2）已知t＞0，求函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值．
12. 已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m
的取值范围．
1. 已知函数且a≠1）
（1）求f（x）的解析式并判断 f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的不等式．
2.
已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性（只写出结论即可）；
（3）若对任意的t∈[-1，1]不等式f（t2-2t）+f（k-t2）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，
∴A∪B={1，2，3，4，5}．
故选：D．
利用并集定义直接求解．
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：y=x+1，y=2x和y=x3+1都是非奇非偶函数，y=x2是偶函数．
故选：C．
判断每个选项函数的奇偶性即可．
本题考查了奇函数、偶数和非奇非偶函数的定义及判断，考查了推理能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意得：，
故选：B．
利用分母不为0，偶次根式非负，求函数的定义域即可．
考查函数求定义域，基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数在区间[2，6]上单调递减，
所以当x=2时，f（x）取最大值f（2）=1，
故选：A．
根据题意，分析可得函数函数在区间[2，6]上单调递减，进而分析可得答案．
本题考查函数的单调性以及应用，注意分析函数的单调性，属于基础题，
5.【答案】B
【解析】【分析】
函数y=log2（x+1）的图象是把函数y=log2x的图象向左平移了一个单位得到的，由此可得结论．本题主要考查对数函数的图象与性质，函数图象的变换，属于基础题．
【解答】
解：函数y=log2（x+1）的图象是把函数y=log2x的图象向左平移了一个单位得到的，定义域为（-1，+∞），
过定点（0，0），在（-1，+∞）上是增函数，
故选B．
6.【答案】B
【解析】解：∵当x＜0时，f（x）=x3，
∴f（-2）=-8，
又∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（2）=f（-2）=-8
，
故选：B．
由已知可得f（2）=f（-2），结合当x＜0时，f（x）=x3，可得答案．
本题考查的知识点是函数求值，函数的奇偶性，难度基础．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质以及应用，考查计算能力，难度较小.
求出函数的对称轴，判断开口方向，然后通过函数值求解即可.
【解答】
解：函数f（x）=x2-2x的对称轴方程为：x=1，开口向上，而且f（-1）=3，
函数f（x）=x2-2x在区间[-1，t]上的最大值为3，又f（3）=9-6=3，
则实数t的取值范围是（-1，3].
故选D.
8.【答案】B
【解析】解：∵1=log44＜log45＜log416=2，∴1＜a＜2；
；
．
∴b＜a＜c．
故选：B．
利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0、1和2的大小得答案．
本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数的图象和性质，比较基础．
根据指数函数的图象和性质即可得到结论．
【解答】
解：∵函数f（x）为减函数，
∴若函数f（x）=（）x-1+b的图象不经过第一象限，
则满足f（0）=2+b≤0，即b≤-2；
故选：C．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得：
ax2+ax+1≥0，
a=0时，复合题意，
a＞0时，△=a2-4a≤0，
解得：0≤a≤4，
故选：B．
根据二次根式，二次函数的性质值得到答案．
本题考查了二次根式的性质，二次函数的性质，是一道基础题．
11.【答案】A
【解析】解：因为当x1≠x2时，，所以f（x）为定义域内单调性减函数，
因此，
故选：A．
根据题意，判断函数为减函数，列出不等式组，求出a
．
考查函数的单调性，分段函数求参数范围，中档题．
12.【答案】B
【解析】解：∵函数y=（x-1）2在区间（1，2）上单调递增，
∴当x∈（1，2）时，y=（x-1）2∈（0，1），
若不等式（x-1）2＜logax恒成立，
则a＞1且1≤loga2
即a∈（1，2]，
答案为：（1，2]．
故选B．
根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2＜logax恒成立，则y=logax必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键．
13.【答案】16
【解析】解：∵集合A={-2，0，3，5}，
∴A的子集个数为：24=16．
故答案为：16．
若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集．
本题考查集合的子集个数的求法，考查子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14.【答案】（0，9]
【解析】解：∵，
∵x2-2x-1=（x-1）2-2≥-2，
∴=9，
∴函数的值域是（0，9]．
故答案为：（0，9]．
先根据二次函数的性质求出x2-2x-1=（x-1）2-2≥-2，然后根据指数函数的单调性即可求解．
本题考查指数函数的单调性求解函数的值域，属于函数函数性质应用题，较容易．
15.【答案】（-∞，-2]和[2，+∞）
【解析】解：当x≥0时，f（x）=x2-4x，在区间[0，2]上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增；
当x＜0时，f（x）=-x2-4x，在区间（-∞，-2]上单调递增，在区间[-2，0）上单调递减．
故函数f（x）的增区间为[2，+∞）和（-∞，-2]，
故答案为：（-∞，-2]和[2，+∞）．
当x≥0时，f（x）=x2-4x，利用二次函数的性质求出它的增区间；当x＜0时，f（x）=-x2-4x，利用二次函数的性质求出它的增区间，综合可得结论．
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、绝对值的性质，属于中档题．
16.【答案】t≤-2或t≥2或t=0
【解析】解：容易得出，
即f（x）的最大值为1，则f（x）≤t2-2at+1对于所有的x∈（-1，+∞），a∈[-1，1]
恒成立
⇔1≤t2-2at+1对于所有的a∈[-1，1]恒成立，
即2ta-t2≤0对于所有的a∈[-1，1]恒成立，
令g（a）=2ta-t2，只要，
∴t≤-2或t≥2或t=0．
故答案为：t≤-2或t≥2或t=0．
求出函数的最大值，利用恒成立转化得到2ta-t2≤0对于所有的a∈[-1，1]恒成立，利用分段函数转化求解即可．
本题考查函数恒成立条件的转化与应用，基本不等式的应用，考查计算能力，是中档题．
17.【答案】解：（1）（2）-（-9.6）0-（）+（）-2
==；
（2）log3+lg25+lg4+=．
【解析】（1）直接由分数指数幂的运算性质求解即可；
（2）直接由对数的运算性质求解即可．
本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础题．
18.【答案】解：（1）∵A={x|-3＜x＜4}，B={x|1≤x≤10}，
∴A∪B={x|-3＜x≤10}，∁RB={x|x＜1或x＞10}，A∩（∁RB）={x|-3＜x＜1}；
（2）∵C∩A=C，
∴C⊆A，且C={x|2a-1≤x≤a+1}，
∴C=∅时，2a-1＞a+1，解得a＞2，
C≠∅时，，解得-1＜a≤2，
综上得，实数a的取值范围为（-1，+∞）．
【解析】（1）进行交集、并集和补集的运算即可；
（2）根据C∩A=C即可得出C⊆A，从而可讨论C是否为空集：C=∅时，2a-1＞a+1；C≠∅时，，解出a的范围即可．
本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的运算，子集、交集的定义，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）∵f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）对任意的x都成立（1分）
又x≥0时，f（x）=x2-4x+3．
∴x＜0时，-x＞0
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-4（-x）+3]=-x2-4x-3…（5分）
∴f（x）=（6分）
（2）∵t＞0
∴当x∈[t，t+1]时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1开口向上且关于x=2对称…（7分）
①当t+1≤2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递减
∴g（t）=f（t+1）=（t-1）2-1=t2-2t（9分）
②当t＜2＜t+1时即1＜t＜2时，对称轴在区间内
∴g（t）=f（2）=-1（11分）
③当t≥2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递增
∴g（t）=f（t）=t2-4t+3（13分）
综上所述，
【解析】（1）当x＜0时，-x＞0，而f（x）=-f（-x）可求f（x）
（2）由题意可得函数f（x）[t，t+1]上f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1开口向上且关于x=2
对称
①当t+1≤2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递减，g（t）=f（t+1）
②当t＜2＜t+1时即1＜t＜2时，对称轴在区间内，g（t）=f（2）
③当t≥2时，函数f（x）在[t，t+1]上单调递增，g（t）=f（t）
本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式，二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意解题中的分类讨论思想的应用．
20.【答案】解：（1）令x=0，则∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（1）-f（0）=0，
∴f（1）=f（0）
∵f（0）=1
∴f（1）=1，
∴二次函数图象的对称轴为．
∴可令二次函数的解析式为f（x）=．
令x=-1，则∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（0）-f（-1）=-2
∵f（0）=1
∴f（-1）=3，
∴
∴a=1，
∴二次函数的解析式为
（2）∵在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方
∴x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立
∴x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立
令g（x）=x2-3x+1，则g（x）=（x-）2-
∴g（x）=x2-3x+1在[-1，1]上单调递减
∴g（x）min=g（1）=-1，
∴m＜-1
【解析】（1）根据二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x，可求f（1）=1，f（-1）=3，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，等价于x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，等价于x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．
本题重点考查二次函数解析式的求解，考查恒成立问题的处理，解题的关键是将在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，转化为x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立．
21.【答案】解：（1）设由，令x2-1=t，易知-1＜t＜1
由得
故，
而，
故f（x）是奇函数；
（2）由（1）
当a＞1时，不等式等价于，即不等式解集为[0，1）；
当0＜a＜1时，不等式等价于，即不等式解集为（-1，0]．
【解析】（1）根据换元法求出函数的解析式，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；
（2）通过讨论a的范围，得到关于x
的不等式组，解出即可．
本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题以及不等式的解法，是一道中档题．
22.【答案】解：（1）∵f（x）在R上是奇函数，
∴f（0）=0，
∴，
∴a=1，
∴，
∴f（-1）=-f（1），
∴，
∴b=2，
∴，
经检验知：f（-x）=f（x），
∴a=1，b=2．
（2）由（1）可知，在R上减函数．
（3）∵f（t2-2t）-f（k-t2）＜0对于t∈[-1，1]恒成立，∴f（t2-2t）＜-f（k-t2）对于t∈[-1，1]恒成立，
∵f（x）在R上是奇函数，∴f（t2-2t）＜f（t2-k）对于t∈[-1，1]恒成立，
又∵f（x）在R上是减函数，∴t2-2t＞t2-k，即k＞2t对于t∈[-1，1]恒成立，
而函数g（x）=2t在[-1，1]上的最大值为2，
∴k＞2，
∴实数k的取值范围为（2，+∞）．
【解析】（1）根据f（0）=0，f（-1）=-f（1）联立解得a=1，b=2，再验证f（x）的奇偶性；
（2）分离常数后可判断出单调递减；
（3）经过函数的奇偶性和单调性，将函数不等式变成一次不等式后，用最值解决．
本题考查了不等式恒成立．属中档题．