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- 2021-04-16 发布
求通项公式
★★★高考在考什么
【考题回放】
1. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2(an -1)，则 a2 等于( A )
A. 4 B. 2 C. 1 D. -2
2．在数列{}na 中， 121, 2aa，且 2 1 ( 1)n
nnaa *()nN ，则 10S 35 ．
3．在数列｛an｝中，若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=__2 n+1-3___.
4．对正整数 n，设曲线 )1( xxy n 在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 na ，则数列
}1{ n
an
的前 n 项和的公式是
2n+1-2 .
5.已知数列{ na }的前 n 项和
2 9nS n n，则其通项 na ；若它的第 k 项满足 58ka，则 k .
2n-10 ; 8
6.已知数列 na 对于任意
*pqN， ，有 p q p qa a a ，若 1
1
9a
，则 36a ．4
7. 已知正项数列{an}，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1, a3, a15 成等比数列，求数列{an}的通项 an .
解析 ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3．
又 10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)， ②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．
当 a1=3 时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15 不成等比数列∴a1≠3;
当 a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．
★★★高考要考什么
一、 根据数列{an}的前 n 项和求通项 Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an
2
1
1
1
nSS
nSa
nn
n
已知数列前 n 项和 Sn,相当于知道了 n≥2 时候 an,但不可忽视 n=1.
二、由递推关系求数列的通项
1. 利用迭加 an-an-1=f(n)、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代。
2.一阶递推 qpaa nn 1 ,我们通常将其化为 AapAa nn 1 看成{bn}的等比数列。
3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得 an）。
4.对含 an 与 Sn 的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时 n 的范围。
★★ 突 破 重 难 点
【范例 1】 ).1(0521681}{ 111 naaaaaa nnnnn 且满足 记
).1(
2
1
1
n
a
b
n
n
（Ⅰ）求 b1、b2、b3、b4 的值；
（Ⅱ）求数列 }{ nb 的通项公式及数列 }{ nnba 的前 n 项和 .nS
解析（I）
,052168,2
11
2
1
1
11
nnnn
n
n
n
n aaaaba
a
b 代入递推关系得
整理得
,3
42,0364
1
11
nn
nnnn
bbbbbb
即 .3
20,4,3
8,2,1 43211 bbbba 所以有由
（Ⅱ）由
,03
2
3
4),3
4(23
4,3
42 111 bbbbb nnnn
所以
故的等比数列公比是首项为 ,2,3
2}3
4{ qbn
1 1 2 2 1 2
4 1 1 4 1 12 , 2 ( 1). 1,13 3 3 3 2
2
1 (1 2 )1 5 13( ) (2 5 1).2 1 2 3 3
nn
n n n n n n
n
n
n
n n n n
b b n b a b b
a
S a b a b a b b b b n n n
即 由 得
故
．
【变式】数列 na 中， 1 2a ， 1nna a cn （c 是常数， 1 2 3n ，，， ），且 1 2 3a a a， ， 成公比不为1的等比数列．（I）
求 c 的值；（II）求 na 的通项公式．
解：（I） 1 2a ， 2 2ac， 3 23ac ，
因为 1a ， 2a ， 3a 成等比数列，所以
2(2 ) 2(2 3 )cc ，解得 0c 或 2c ．
当 0c 时， 1 2 3a a a，不符合题意舍去，故 2c ．
（II）当 2n≥ 时，由于
21a a c，
322a a c，
…………
1 ( 1)nna a n c ，
所以 1
( 1)[1 2 ( 1)] 2n
nna a n c c
．
又 1 2a ， 2c ，故
22 ( 1) 2( 2 3 )na n n n n n ，， ．当 1n 时，上式也成立，
所以
2 2( 1 2 )na n n n ，，
【范例 2】设数列{}na 的首项
1
1
3(01) 2 3 42
n
n
aa a n ，， ， ，，，…
．
（1）求{}na 的通项公式；（2）设 32n n nb a a，证明 1nnbb ，其中 n 为正整数．
解：（1）由
13 2342
n
n
aan， ，，，…，
整理得
1
11 (1 )2nnaa
．
又 110a，所以{1 }na 是首项为 11 a ，公比为
1
2
的等比数列，得
1
1
11 (1 ) 2
n
naa
（2）方法一： 由（1）可知
30 2na
，故 0nb ．则
22
1nnbb
2
2 2 2 2
11
3 3 9(3 2 ) (3 2 ) 3 2 (3 2 ) ( 1) .2 2 4
n n n
n n n n n n n
a a aa a a a a a a
又由（1）知 0na 且 1na ，故
22
1 0nnbb ，因此 1nnb b n ， 为正整数．
方法二：由（1）可知
3012nnaa ，
，
因为 1
3
2
n
n
aa
，所以
1 1 1
(3 )32 2
nn
n n n
aab a a
．
由 1na 可得
33(3 2 ) 2
n
nn
aaa ，即
2
2 3(3 2 ) 2
n
n n n
aa a a
两边开平方得
332 2
n
n n n
aa a a
．即 1nnb b n ， 为正整数
【变式】已知数列 na 中，对一切自然数 n ，都有 10,an 且 02 1
2
1 nnnn aaaa ．
求证：(1) nn aa 2
1
1 ； (2)若 nS 表示数列 的前 n 项之和，则 12aSn ．
解析： (1)由已知 得
2
1
1
1
2
n
n
n a
aa
，
又因为 ，所以 110 2
1 na , 因此 12 nn aa ，即 ．
(2) 由结论(1)可知
11221 2
1
2
1
2
1 aaaa nnnn
，即
112
1 aa nn
，
于是
2
1 2 1 1 1 1 11
1
1
2
1
1
2
11 222nn nS a a a a a a a a
，即 12aSn ．
【范例 3】由坐标原点 O 向曲线 )0(3 23 abxaxxy 引切线，切于 O 以外的点 P1 ),( 11 yx ，再由 P1 引此曲线的
切线，切于 P1 以外的点 P2 22 ,( yx ），如此进行下去，得到点列{ Pn nn yx ,( }}.
求：（Ⅰ） )2(1 nxx nn与 的关系式；
（Ⅱ）数列 }{ nx 的通项公式；
（Ⅲ）（理）当 n 时， nP 的极限位置的坐
解析 （Ⅰ）由题得 baxxxf 63)( 2
过点 P1（ ), 11 yx 的切线为 ),0)()((: 11111 xxxxfyyl
1l 过原点
3 2 2
1 1 1 1 1 1 1
3( 3 ) ( )(3 6 ), .2x ax bx x x ax b x a 得
又过点 Pn（ ,)nnxy的 : ( )( )n n n nl y y f x x x
因为 nl 过点 Pn-1（ 11,)nnxy 11( )( )n n n n ny y f x x x
整理得 .0))]((32[ 11
2
1
2
1 nnnnnnnn xxxxaxxxx
2
1 1 1 1
1
( ) ( 2 3 ) 0, 2 3 0.
13( 2).22
n n n n n n n n
nn
x x x x a x x x x a
x x a n
由 得
（Ⅱ）由（I）得 1
1 ( ).2nnx a x a
所以数列{xn-a}是以 2
a
公比为 2
1
的等比数列
.])2
1(1[)2
1(2
1 axaax n
n
n
n
（Ⅲ）
,])2
1(1[limlim aax n
nnn
.23)(lim 333 aababaaafynn
nP点 的极限位置为（ ).2, 3aaba
【点睛】注意曲线的切线方程 1 1 1 1: ( )( )l y y f x x x 的应用，从而得出递推式．求数列的通项公式是数列的基本问
题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知 Sn，求
通项，破解方法：利用 Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递
推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
【变式】已知函数 f (x)=
32xx ，数列｜x n ｜(x ＞0)的第一项 x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线 x=f (x)在
))(,( 11 nn xfx 处的切线与经过（0，0）和（x ,f (x )）两点的直线平行（如图）.
求证：当 n
*N 时，(Ⅰ) x ;23 1
2
1
2
nnnn xxx （Ⅱ）
21 )2
1()2
1( n
n
n x
.
解、 (I ) 证明：因为
'2( ) 3 2 ,f x x x
所以曲线 ()y f x 在 11( , ( ))nnx f x处的切线斜率 1
2
113 2 .nnnk x x
即 (0,0) 和( , ( ))nnx f x 两点的直线斜率是
2 ,nnxx 以
22
1132n n n nx x x x .
（II）因为函数
2()h x x x，当 0x 时单调递增，
而
22
1132n n n nx x x x 2
1142nnxx 2
11(2 ) 2nnxx，
所以 12nnxx ，即
1 1 ,
2
n
n
x
x
因此
11 2
1 2 1
1( ) .
2
nnn
n
nn
xx xx
x x x
又因为 1
22
12( ),nn n nx x x x 令
2 ,n n ny x x 则
1 1 .
2
n
n
y
y
因为
2
1 1 1 2,y x x 所以
12
1
11( ) ( ) .
22
nn
nyy
因此
221( ) ,2
n
n n nx x x
故
1211( ) ( ) .22
nn
nx