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- 2021-04-16 发布
2017-2018年度高二12月月度联考
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆台 C．圆锥 D．两个圆锥
3.若直线与互相垂直，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4.已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5.已知执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A． B． C． D．
6.下列命题为真命题的是（ ）
A．命题“，”的否定为“，”
B．常数数列既是等差数列也是等比数列
C．函数为非奇非偶函数
D．若函数（）的最小正周期为，则是其图象的一条对称轴
7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和正视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，侧视图中的正方形的边长也为2，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.某班按座位将学生分为三组，第一组为13人，第二组39人，第三组26人，现采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中安排两人去打扫卫生，则这两人分别来自第二组和第三组的概率为（ ）
A． B． C． D．
9.过圆内一点作此圆的弦，则弦长的最小值与最大值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
10.已知等差数列与等比数列满足，直线上三个不同的点， ，与直线外的点满足，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
11.的内角，，所对的边分别为，，，已知，
若的面积，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
12.设双曲线（，）的上、下焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点，且，，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.命题“若，则”的否命题为 ．
14.已知向量，，若，则与的夹角余弦值为 ．
15.过点的直线交抛物线：于，两点，若弦的中点恰好为，则直线的倾斜角为 ．
16.已知三棱柱内接于球，，，平面，，则球的表面积是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知：原点到直线的距离小于1；：方程表示离心率大于2的双曲线．
（1）若为真，求的取值范围；
（2）判断是的什么条件，并说明理由．
18.已知椭圆：（）的一个焦点为，设椭圆的
焦点恰为椭圆短轴上的顶点，且椭圆过点．
（1）求的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，求．
19.曲线与坐标轴的交点都在圆上．
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆上恰有一个点到直线的距离为，求的值．
20.如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．
（1）求证：；
（2）若，为线段上的点，且三棱锥的体积为，求的值．
21.已知短轴长为的椭圆：（）的上顶点为，右焦点为，且的中点为，的周长为3（为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）直线过点且与椭圆交于另一点，且，求的方程．
22.设抛物线：（）的焦点为，准线为，，且在第一象限，已知以为圆心，为半径的圆交于，两点（在的上方），为坐标原点．
（1）若是边长为的等边三角形，且直线：（）与抛物线相交于，两点，证明：为定值；
（2）记直线与抛物线的另一个交点为，若与的面积比为3，证明：直线过点．
2017-2018年度高二12月月度联考数学试卷（理科）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.若，则 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）若为真，则，得．
若为真，则得，
因为为真，所以．
（2）因为 ，但是，
所以是的必要不充分条件．
18.解：（1）设的方程为（），
则，
又，解得，，
∴的方程为．
（2）由得，
即，设，
则，，
∴．
19.解：（1）曲线与坐标轴的交点分别为，，
线段的中垂线为，
线段的中垂线为，即，
联立得所以圆心坐标为，
则半径为，
所以圆的方程为．
（2）因为圆上恰有一个点到直线的距离为，
所以圆的圆心到直线的距离为，
由，得，或．
20.（1）证明：连接，则和皆为正三角形．
取中点，连接，，则，，从而平面，．
（2）解：由（1）知，，又，满足，
所以，平面，如图所示，延长，过，分别作，，垂足分别为，，所以．
因为，所以，
又因为，所以，从而．
21.解：（1）由题意可知，，，且，∴，，
故椭圆的方程为，．
（2）当的斜率不存在时，，故的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
∴，，
∴，
∴，
∴，∴的方程为．
22.证明：（1）∵，
∴，抛物线的方程为．
由得，
设，，则，
∴，
∴，
∴为定值．
（2）与的面积比为．
过作于，过作于，设，，
则，，
由得，
则，∴，
∴，
故直线的倾斜角为，易知，所以以为圆心，为半径的圆过点，则与重合，所以，则直线过点．