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- 2021-04-16 发布
乌尊镇中学2019-2020学年度第一学期高三年级12月月考卷
（理科数学）
一、选择题（本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合根据交集的定义写出即可．
【详解】,,所以.
故选:.
【点睛】本题考查集合的交集运算,难度容易.
2.已知，，且，则x等于（ ）
A. 9 B. 6 C. 5 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
等价于,坐标代入即可.
【详解】∵，
∴，解得，故选B.
答案：B
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,难度容易.
3.若实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A. 18 B. 6 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由基本不等式可知,已知条件代入即可.
【详解】.
当且仅当时取等号，故的最小值是6.
法二：由，得，
∴.
当且仅当，即时等号成立.
答案：B
【点睛】本题考查基本不等式的应用,难度较易.
4.在正方体中，分别是线段的中点，则下列判断错误的是（ ）
A. 与垂直 B. 与垂直
C. 与平行 D. 与平行
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数形结合，逐一判断，可得结果.
【详解】如图
由分别是线段的中点
所以//
A选项正确，
因为，所以
B选项正确，
由，所以
C选项正确
D选项错误，
由//，而与相交，
所以可知，异面
故选：D
【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，属基础题.
5.数列的前2016项和等于（ ）
A. －2016 B. 2016 C. －2015 D. 2015
【答案】B
【解析】
【分析】
由相邻两项之和为,求和即可.
【详解】.
故选B.
【点睛】本题考查数列的求和,难度较易.
6. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )
A. B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】由已知可得，则
，所以的最小值，应选答案C．
7.设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A. << B. <<
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得在上为减函数,则有,再结合偶函数的性质,即可得出结论.
【详解】∵偶函数的定义域为R,当时,是增函数,
∴x∈(-∞,0)时,是减函数,
∵为偶函数,∴.
∵在上为减函数,且,
∴,即,
故选:C.
【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性的综合应用,难度不大.
8.某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图
如图所示，则这个几何体的体积为( )
A. 4 B.
C D. 8
【答案】D
【解析】
由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2. ，将相同的两个几何体拼在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为.
9.已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（ ）
A. ，0 B. 4， C. 16，0 D. 4，0
【答案】D
【解析】
分析】
利用向量的坐标运算得到|2用θ的三角函数表示化简求最值．
【详解】解：向量，向量，则2（2cosθ，2sinθ+1），
所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），
所以|22的最大值，最小值分别是：16，0；
所以|2的最大值，最小值分别是4，0；
故选：D．
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性．
10.已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．
【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则=，
∵，∴，
∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．
∴S△PBC=S△ABC．
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P==．
故选B．
【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
11.已知函数 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为，所以，则，即，则；故选A.
12.已知椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),过点F2且斜率为的直线l交直线2bx+ay=0于M,若M在以线段F1F2为直径的圆上,则该椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得出过点F2且斜率为的直线l的方程，与2bx+ay=0联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可求得，进而求出离心率．
【详解】设过点F2且斜率为的直线l的方程为y=（x-c），
与2bx+ay=0联立，
可得交点
∵点M在以线段F1F2为直径的圆：x2+y2=c2上，
∴
∴
则，由 可得 .
故选C．
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查离心率的求法，考查直线的点斜式、圆的方程的应用，属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.二项式的展开式中的系数为15，则等于______．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据题意，展开式的通项为，令即可求解可得答案．
【详解】根据题意，展开式的通项为，令，则
故答案为6．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，区分某一项的系数与二项式系数．
14.若，满足，则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】
作可行域，则直线过点A(3,3)时取最大值9.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15.已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．
【答案】
【解析】
正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示，
PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且,设正方体棱长为a，则，
由，得，所以，因为球心到平面ABC的距离为.
考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力
16.已知数列满足，，，则的前项和= .
【答案】
【解析】
试题分析：∵,∴，∴，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴
∴，，，……，，
∴,
∴,
∴.
考点：1.等比数列的证明方法；2.累加法求通项公式；3.等比数列的求和公式.
三、解答题（各题均为12分，共计70分）
17.已知函数
（1）求的值；
（2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）利用两角和的正弦函数公式化简化简解析式可得代入利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）由得f（x）在区间上是增函数由
[-m，m]解不等式组即可得解m的最大值
试题解析：
（1）∵
，
∴
（2）由
得
∴在区间上是增函数
∴当时， 在区间上是增函数
若函数在区间上是单调增函数，则
∴，解得，∴的最大值是.
18.已知等差数列满足：，，其前项和为.
(1）求数列的通项公式及；
(2）若等比数列的前项和为，且，，求.
【答案】(1）,;(2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由等差数列的通项公式,据已知的值,建立关于的方程组,解方程组可得,从而得到等差数列的通项公式和前项和公式;（2） 已知,由等比数列的通项公式,利用
求出,可得等比数列的前项和.
试题解析:（1）设等差数列的公差为，则，
解得：， ∴，
（2）设等比数列的公比为，∵，，∴，
∴，
∴
考点：等差数列;等比数列
19.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
(1) 因为,由,可知，.即证得平面,进而可得平面.
(2)合理建立坐标系,通过求出平面与平面的法向量,利用公式即可求得.
【详解】解：（1）在图1中，，
，，，
所以，即在图2中，
，.
又，所以，又，
所以.
（2）由已知，，
又由（Ⅰ）知，，
所以为二面角的平面角，所以.
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，
，，
，.
设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，
由得取，
由得取，
从而，
即平面与平面夹角的余弦值为.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理,考查向量法求锐二面角的余弦值,难度一般.
20.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
是否需要志愿 性别
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由.
P
0.0
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）；（2）有；（3）能，理由见解析
【解析】
【分析】
(1) 由500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助,即可求出需要志愿者提供帮助的老年人的比例;(2)通过列联表计算,即可得出结论;(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,应该采用分层抽样的方法.
【详解】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，
∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为.
（2）根据列联表所给数据，代入随机变量的观测值公式，.
∵，
∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.
（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.
【点睛】本题主要考查列联表,考查独立性检验的应用,同时考查了运算求解的能力,分析问题和解决问题的能力,难度一般.
21.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点.（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线经过点，且与椭圆交于不同的两点,求面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由椭圆的两个焦点坐标分别是，即椭圆的焦半径，并且经过点，所以根据椭圆的定义求得椭圆的长半轴，再根据即可求出椭圆的短半轴的值.从而得到椭圆的标准方程.
（2）假设过点的直线，联立方程，韦达定理以及弦长公式表示出弦长.再用点到直线的距离，即可得到高.再通过换元求得最值.
试题解析：（1）设椭圆的标准方程为，有椭圆的定义可得
又
故椭圆的标准方程为
（2）设直线的方程为，
由得，依题意，
设，
则，
，
由点到直线的距离公式得，
设
，
当且仅当时，上式取等号，
所以，面积的最大值为1
考点：1.椭圆的标准方程.2.直线与椭圆的位置关系.3.点到直线的距离.4.最值的求法.
22.设函数的导函数为，若函数的图象关于直线对称，且.
（1）求实数a、b的值；
（2）若函数恰有三个零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
(1)先求,再借助已知代入即可解出.
(2) 由（1）得：求得可知函数在，上是增函数，在上是减函数,再求出极值,只需极大值为正,极小值为负,即可使恰有三个零点.即可求出实数m的取值范围.
【详解】（1）由，
得：
则其对称轴为，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，，所以
则，
又由可得，.
（2）由（1）得：
所以，
当时，，时，，时，.
故函数在，上是增函数，在上是减函数，
所以，函数的极大值为，极小值为.
而函数恰有三个零点，故必有，解得：.
所以，使函数恰有三个零点的实数m的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查极值点的应用,考查已知函数的零点求参数问题,难度一般.
23.在xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，曲线：，.
（1）把的参数方程化为极坐标方程；
（2）设分别交，于点P，Q，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1) 首先利用对曲线的参数方程（（为参数）进行消参数运算，化为普通方程,再根据普通方程化极坐标方程的公式得到曲线的极坐标方程.
(2)设点的极坐标分别为，,由,坐标代入即可求出,因为点到曲线的距离为,借助即可求得.
【详解】（1）曲线的普通方程为，即，
所以的极坐标方程为，即.
（2）方法一：依题意，设点P，Q的极坐标分别为，.
将代入，得，
将代入，得，
所以，
点到曲线（）的距离.
所以.
方法二：依题意，设点P，Q的极坐标分别为，.
将代入，得，得，
将代入，得，即.
因为，所以，
所以
.
【点睛】本题考查曲线的参数方程与普通方程的互化,考查圆的极坐标方程,考查极坐标方程的求解运算,考查了学生的计算能力以及转化能力,属于较易.
24.已知函数.
（1）若不等式的解集为，求a，b的值；
（2）求使不等式有解的实数k的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
(1)先化分段函数形式,再根据分段函数性质分类解不等式,最后求并集得结果,即可求得;
(2)不等式有解,即为有解,即,求出的最小值即可.
【详解】（1）∵，
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴.
故由得，∴，.
（2）不等式有解，
即，
即有解，
又可知当时，取得最小值为，
∴实数k的取值范围为.
【点睛】本题考查了绝对值不等式求解,考查了不等式有解问题,考查了学生分析问题能力和数学运算的能力,难度一般.