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- 2021-04-16 发布
揭阳三中2018―2019学年度第一学期高三级第２次月考
数 学 试 题（理科） 命题人：林双鹏
一、选择题（共12小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x＜0或x＞1}，则A∩B=（ ）
A．（﹣∞，1]∪（2，+∞） B．（﹣∞，0）∪（1，2）
C．（1，2] D．（1，2）
2．已知i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3．已知等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4．既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（ ）
A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x
5．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（ ）
A．﹣7 B．﹣ C．7 D．
6．阅读如图所示的程序框图．若输入a=6，b=1，则输出的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．命题“若ax2＜bx2，则a＜b”的逆命题是真命题
B．命题“x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题
C．命题“∃t∈R，t2﹣t≤0”的否定是∀t∈R，t2﹣t＞0
D．命题“p且q”为假命题，则命题“p”和命题“q”均为假命题
8．△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若=，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
9．已知，，并且，，成等差数列，
则的最小值为( )
A．16 B．9 C．5 D．4
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．64 B．72 C．80 D．112
11．已知函数，则函数y=f（x）的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数f（x）=若f（f（t））≤2，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，] B．[，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣2，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则= ．
14．若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率是 ．
15．直线y=3x+1是曲线y=x3﹣a的一条切线，则实数a的值为 ．
16．若命题：“存在，使成立”为假命题，则实数的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分70分）
17．已知各项都不相等的等差数列{an}，a4=10，又a1，a2，a6成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=2+2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．在中，角的对边分别为，已知
(Ⅰ)求的值；
（Ⅱ）若,求面积的最大值.
19. 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，揭阳第三中学高三年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计，制成如下频率分布表．
分数（分数段）
频数（人数）
频率
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
合 计
（1）求出上表中的的值；
（2）按规定，预赛成绩不低于分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高三（3）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②记高三（3）班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望.
20．已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点在该椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最大值时，求直线l的方程．
21.已知函数.
（1）若在处取得极值，求实数的值；
（2）若，设是函数图象上的任意两点，记直线
的斜率为，求证：.
请考生在22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22． (选修4—4：坐标系与参数方程)
在直角坐标系中，以原点为极点，在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.
（I）求曲线的极坐标方程；
（II）若射线交曲线和于、（、异于原点）,求.
23．（选修4﹣5：不等式选讲）已知．
（I）求不等式的解集；
（II）当时，证明：.
揭阳三中2018―2019学年度第一学期高三级第2次月考参考答案（文科）
一、选择题
1． C．2．D．3． B．4．B．5． D．6． B7． C．
8．解：根据正弦定理： =化简已知等式得： =，即tanA=tanB，
由A和B都为三角形的内角，得到A=B，则△ABC一定为等腰三角形．故选：A．
9．解：抛物线D：y2=16x的准线方程为x=﹣4，圆C的圆心（﹣1，0）到准线的距离d=3，
又由|AB|=8，∴=25，故圆C的面积S=25π，故选：D
10． A
11．解：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、C，
又当x=﹣1时，函数值等于0，故排除D，故选 B．
12．解：令a=f（t），则f（a）≤2，即有或，即有﹣2≤a≤0或a＞0，
即为a≥﹣2．即有f（t）≥﹣2，则或，即有t≤0或0＜t，
即有t≤．则实数t的取值范围是（﹣∞，]．故选A．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，
故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为 2．
14．解：满足约束条件区域为△ABC内部（含边界），与单位圆x2+y2=1的公共部分如图
中阴影部分所示，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率概
率为P===．故答案为：．
15．解：设切点为P（x0，y0），对y=x3﹣a求导数是y'=3x2，由题意可得3x02=3．∴x0=±1．（1）当x=1时，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×1+1=4，即P（1，4）．
又P（1，4）也在y=x3﹣a上，∴4=13﹣a．∴a=﹣3．（2）当x=﹣1时，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×（﹣1）+1=﹣2，即P（﹣1，﹣2）．又P（﹣1，﹣2）也在y=x3﹣a上，∴﹣2=（﹣1）3﹣a．∴a=1．综上可知，实数a的值为﹣3或1．故答案为：﹣3或1．
16．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）共5小题，满分60分）
17．解：（1）∵a4=10，设等差数列{an}首项为a1，公差为d，可得：a1+3d=10，①
∵a1，a2，a6成等比数列，可得：（a1+d）2=a1（a1+5d），②∴由①②可解得：a1=1，d=3，
∴an=3n﹣2…………………………………………………………………………………….6分
（2） 由（1）可知：bn=23n﹣2+2n，所以，求数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+…+bn=（2+24+27+…+23n﹣2）+2（1+2+…+n）=+2=（8n﹣1）+n（n+1）…………….12分
18.解(Ⅰ)：由 ，
由正弦定理可得 由余弦定理可得： ………6分
（Ⅱ）解： 由， 得…………………………………7分
又 ，，,所以，………………………10分
所以，面积的最大值…………12分
19. 解：（1）由题意知， …………3分
（2）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人， …………4分
①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件，
则
所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为. …………-6分
②随机变量的可能取值为 …………7分
，,， …………10分
随机变量的分布列为：
…………11分
因为 ，
所以随机变量的数学期望为. …………12分
20．解：（1）由已知抛物线的焦点为（0，﹣），故设椭圆方程为．
将点A（1，），代入方程得，，得a2=4或a2=1（舍）故所求椭圆方程为………..4分
（2）设直线BC的方程为y=x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2）代入椭圆方程并化简得，由△=8m2﹣16（m2﹣4）=8（8﹣m2）＞0可得m2＜8，①
由，故|BC|=|x1﹣x2|=．……………………………………7分
又点A到BC的距离为d=故=≤×=当且仅当2m2=16﹣2m2，即m=±2时取等号（满足①式），S取得最大值．此时求直线l的方程为
y=x±2．…………………………………………………………………………………………………………………………….…….12分
21.解：（Ⅰ）∵，在处取得极值，∴．…1分
即，解得．…2分 经检验，当时，函数在处取得极小值．…3分∴ ……4分
（2）证明：
由题， ……7分因为，故欲证，只须证明：. ……8分
又
即需证明，即需证明 ……10分
令，则则，在上递减，
所以成立，即 ……12分
22．解：(Ⅰ) 由 得
的直角坐标方程是，即…………2分
由得
曲线的极坐标方程………………………………4分
………………………………………………………………5分
(Ⅱ) 设，将代入曲线的极坐标方程得 ………7分
同理将代入曲线的极坐标方程 得………………8分
所以 ……………………………………………………10分
23（本小题满分10分）
（I）解 即 ……………………2分
解得：, 所以……………………………………………………4分
（II）要证 即证………………………6分
因为
…………………………………………………………8分
因为，所以
所以，
所以， …………………………………………………10分