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- 2021-04-16 发布
《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）
专题16导数的综合应用与优化问题
本专题特别注意：
1.导数与不等式证明
2.极值点偏移问题
3.导函数为0的替换作用
4.导数与数列不等式的证明
5.变形后求导
6.讨论参数求参数
7.与三角函数有关的含参数的求导问题
8.构造函数问题
9.恒成立求参数
方法总结：
1．有关超越型不等式的证明、方程根的探究等问题，构造函数应用导数推理求解是有效方法之一，也是近几年高考压轴题的常见命题方法之一．
2．利用导数解决生活中的优化问题的思路是：阅读审题引入建模解模回归实际．
3．在解决生活中的优化问题时应注意：
(1)实际问题的意义．
(2)建立函数模型后还应根据实际问题情境确定函数的定义域．
高考模拟：
一、单选题
1．已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.
因为函数f(x)有两个零点，所以
又
又
令
则
所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，
又，
∴，即.
故答案为：B
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.
2．己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意，函数，得，得到函数的单调性与最大值，再又方程，解得或，结合图象，即可求解.
详解：由题意，函数，可得，
当时，，所以函数单调递增，
当时，，所以函数单调递减，且，
所以函数的最大值为，
又方程，解得或，
结合图象，可知只有一个实数解，
要使得方程恰有三个不同的实数解，
则，解得，故选C.
点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数与方程等知识点的综合运用，把方程的解得个数转化为函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想方法和数形结合思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.
3．已知函数（其中无理数），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
详解：由题意可得函数的定义域为，且.
令得或，则函数在，上单调递增；
令得，则函数在上单调递减.
∵
∴函数的图象如图所示：
令，则的增减性与相同，.
∵关于的方程有四个不等的实根
∴有四个不等的实根，即在和上分别有根.
令，则.
∴，即
∴
故选C.
点睛：本题考查的是有关已知函数零点个数有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合，求得相应的结果.
4．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（ ）
A. B. C. -2 D. -1
【答案】D
【解析】分析：利用导数研究函数的单调性可证明函数存在唯一零点，即，可得在有零点，由可得结果.
①若，即，
此时的零点为，显然符合题意；
②（i）若，即或，
若在只有一个零点，则；
（ii）若在只有两个零点，
则，解得，
即的最小值为，故选D.
点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.
5．已知函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：函数与的图像有4个不同的交点，即有4个不同的实根，由可得，讨论其性质可得的取值范围.
详解：
函数与的图像有4个不同的交点，即有4个不同的实根，由可得，即其定义域为且，设 （且），则 则在上单调递增，在上单调递减，但且），故的值域为 ，设，则,此时 此时，函数在上单调递减，在上单调递增，由图像可知，在上单调递减，在上单调递增，且当时，函数函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围为.
故选C.
点睛：本题考查利用导数眼函数零点问题，注意数形结合思想的应用，解题时注意函数的定义域，属难题．
6．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式 的解集为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据题意，设g（x）=x2f（x），x＜0，求出导数，分析可得g′（x）≤0，则函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，结合函数g（x）的定义域分析可得：原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．
详解：根据题意，设g（x）=x2f（x），x＜0，
其导数g′（x）=[x2f（x）]′=2xf（x）+x2f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），
又由2f（x）+xf′（x）＞x2≥0，且x＜0，
则g′（x）≤0，则函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，
（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0
⇒（x+2018）2f（x+2018）＞（﹣2）2f（﹣2）⇒g（x+2018）＞g（﹣2），
又由函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，
则有，
解可得：x＜﹣2020，
即不等式（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣2020）；
故选：B．
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等
7．已知，且，有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分析：构造函数，利用可得，结合可得，利用导数研究函数的单调性，由数形结合思想，列不等式求解即可
详解：
因为，
所以，
设，则，
∴，
即，又因为，∴，
∴ ，，
则在上为减函数，在上为增函数，
曲线与都过点，
当时，若有且仅有一个整数解，只能为，
则，解之得，故选A.
点睛：构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
8．在平面直角坐标系内，如果两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称是函数的一对“奇点”（奇点与看作是同一奇点）.已知函数恰有两对“奇点”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：求出的一段图象关于原点对称的函数解析式，令与的另一段图象有2个交点即可．
详解：当时，关于原点对称的函数为 ∵恰有两对“奇点”，与恰好有两个交点，
显然设与恰好有1条公共切线，切点为，
则 ，解得
此时与轴交点为公切点．
∴当 ,即 时，有两对“奇点”．
故选C．
点睛：本题考查了函数交点个数的判断，考查对新定义的理解，属于中档题．
9．已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 恒成立 B. 恒成立
C. D. 当时，；当时，
【答案】A
【解析】分析：先构造函数g(x)=(x-1)f(x),再利用导数得到函数的单调性和图像，从而得到恒成立.
点睛：（1）本题主要考查导数的乘法运算，考查导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、数形结合分析的能力. (2)解答本题有两个关键，其一是观察已知想到构造函数g(x)=(x-1)f(x),再求导,其二是得到函数g(x)的单调性后，分析出
x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0.
10．已知函数 ，当时，对于任意的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：求得f（x）的导数，可得f（x）的单调性，令g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），可得g（x）的单调性，以及g（x）+g（1﹣x）=0，将原不等式转化，可得x1＞1﹣sin2θ恒成立，由正弦函数的值域即可得到所求范围．
详解：函数f（x）=e2018x+mx3﹣m（m＞0），
导数为f′（x）=2018e2018x+3mx2，
可得m＞0时，f（x）在R上递增，
可令g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），
可得g（x）在R上递增，
且g（x）+g（1﹣x）=f（x）﹣f（1﹣x）+f（1﹣x）﹣f（x）=0，
由f（x1）+f（sin2θ）＞f（x2）+f（cos2θ）成立，
可得f（x1）﹣f（x2）+f（sin2θ）﹣f（cos2θ）＞0成立，
即为f（x1）﹣f（1﹣x1）+f（sin2θ）﹣f（1﹣sin2θ）＞0，
即g（x1）+g（sin2θ）＞0，
可得g（x1）＞﹣g（sin2θ）=g（1﹣sin2θ），
即有x1＞1﹣sin2θ恒成立，
由于1﹣sin2θ的最大值为1，可得x1＞1，
故选：D．
点睛：处理抽象不等式的常用方法：般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则 ，若函数是奇函数，则．
11．已知函数,曲线关于直线对称,现给出如结论：
①若,则存在，使；
②若，则不等式的解集为；
③若，且是曲线 的一条切线,则的取值范围是.
其中正确结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】由题意得过点，
且
所以，
因此，
①若,则由，因此存在
②若，则，此时,图像如图所示，因此不等式 等价于，即不等式的解集为；
③若，且，如图，则是曲线的一条切线,
设切点为，则，
因为，所以
，
由，
所以，
综上，正确结论的个数为3，选D.
点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.
12．已知函数，如果时，函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
点睛：本题的解答过程是巧妙构造函数，先运用求导法则求出函数的导数，再运用分类整合思想分析推断不等式成立的条件，进而求得实数的取值范围，使得问题获解.
13．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足： 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数, ,有下列命题：
①在内单调递增；
②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为-4；
③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
④和之间存在唯一的“隔离直线”.
其中真命题的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】①， ，在内单调递增，故①正确；②，③设的隔离直线为，则对一切实数成立，即有，又对一切成立，则，即，即有且，同理可得，故②正确，③错误，④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令 ， ，当时， ；当时， ；当时， ；当时， 取到极小值，极小值是，也是最小值， ，则， 函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.
【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的.
14．定义在上的偶函数的导函数为，且当.则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，设g（x）=x2f（x），
其导数g′（x）=（x2）′f（x）+x2•f（x）=2xf（x）+x2•f（x）=x[2f（x）+xf'（x）]，
又由当x＞0时，有2f（x）+xf'（x）<0成立，则数g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]<0，
则函数g（x）在（0，+∞）上为减函数，
若g（x）=x2f（x），且f（x）为偶函数，则g（-x）=（-x）2f（-x）=x2f（x）=g（x），
即g（x）为偶函数，所以 即 因为为偶函数，所以,所以
故选D
点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g（x）并分析g（x）的单调性与奇偶性．
15．已知定义在上的函数的导函数为，且， ，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：本题考察导数中的构造函数技巧，本题的构造比较复杂，由条件和问题综合想到构造，得到在上单调递增，将问题转化为，得到答案。
16．已知函数， ，若对任意的， ，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
令，则，
所以在单调递减， 单调递增，
所以，
则,
所以，令，
则， ，
则在区间上， ，则单调递减，
又，所以在单调递增， 单调递减，
所以，
所以，故选A。
点睛：本题考察导数的任意恒成立问题，先求的最大值为1，得，分离参数法得，通过双次求导得到，所以得到。
17．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是________．
①；② ；③；④
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】D
【解析】构造函数g（x）=，
则g′（x）=（），
∵对任意的满足，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）在单调递增，
则g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜，故①错误，
g（0）＜g（），即＜，∴f（0）＜，故②错误，
g（）＞g（），即＞，∴＞，故③错误，
g（）＜g（），即 ＜，∴，故④正确，
故选：D．
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等
18．已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】表示点与点距离的平方， 点的轨迹是函数的图象， 的轨迹是直线．则．作的图象平行于直线的切线，切点为，则，所以，切点为，所以，若存在使得成立，则，此时恰好为垂足，所以
，解得．故本题答案选．
点睛：本题主要考查函数性质,利用数形结合的方法求参数取值.函数有零点(方程有根),求参数取值常用以下方法(1)直接法:直接根据题目所给的条件,找出参数所需要满足的不等式,通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离成参数与未知量的等式,将含未知量的等式转化成函数,利用求函数的值域问题来解决;(3)数形结合法:先对解析变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后结合图像求解.
19．设偶函数定义在上，其导函数为，当时， ，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，因为是定义在上的偶函数，所以是定义在上的偶函数，又当时， ，所以在上恒成立，即在上单调递减，在上单调递增，将化为，即，则，又，所以，即不等式的解集为.故选C.
点睛：本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用
“”和“”的联系构造函数.
20．已知函数的导函数为，且，若，其中为圆周率， 为自然数（），则的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上都有可能
【答案】C
【解析】当时， ，可知： ，
因为,即函数在上单调递减，
∵∴，
∴，即.
故选：C
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.
二、填空题
21．若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），有下列命题：
①在内单调递增；
②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；
③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；
④和之间存在唯一的“隔离直线”.
其中真命题的序号为__________．（请填写正确命题的序号）
【答案】①②④
【解析】分析：①求出的导数，检验在x∈（﹣，0）内的导数符号，即可判断；
②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y=kx+b，x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，又≤kx+b对一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出k，b的范围，即可判断②③；
④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值．
若则有符合题意;
若则有对任意恒成立,又 则有，，即有且，，，同理，可得，
所以， ，故②正确，③错误；
④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由恒成立，
若，则不恒成立.
若，由恒成立，令，
在单调递增，，故不恒成立.
所以，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，
令 ，，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，极小值是，也是最小值，，则，函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，故答案为①②④．
点睛：本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，考查了逻辑思维能力，考查了函数与方程思想，属于难题．
22．已知（），且满足的整数共有个，（）的最大值为，且，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】分析：首先判断出函数是偶函数，这样由得，可解得，其次还要注意时，是常数，这样，从而，即恒成立，利用导数求出的最大值即可．注意到，因此在上递减才能符合要求．
详解：∵，∴是偶函数，
又由绝对值性质知时，是增函数，
所以由得，解得或，
结合，可知也满足要求，所以，故.
即在时恒成立.
，且，可得
当时，单调递减，符合题意；
当时，，使得在单调递增，不合题意，舍去.
故答案为.
点睛：本题有两个知识点，一个函数方程，解函数方程的方法是确定函数的性质如单调性、奇偶性、周期性等，利用函数性质去，本题是利用偶函数的性质及单调性性质得出，当然还要注意在上函数为常数，否则会漏解；二是不等式恒成立问题，也就量用导数求函数最值问题，此题中要掌握复合函数的求导法则，同时本题判断导数的正负还用到了整体换元思想，二次函数的性质，这要求我们要熟练掌握这些知识并能灵活应用．
23．设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立， ，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时， 取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.
24．已知函数满足，当时， ，当时，
，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
当时，则，故；当时，则，故；当时，则，又因为，所以，则。所以， ，画出函数在区间上的图像与函数的图像，由于直线是过定点斜率是的动直线，数形结合可知：当与相切时，即方程有唯一解，可求得，故结合图像可知：当时，函数在区间上的图像与直线的图像有且只有三个不同的交点，即定义在上的函数
有三个不同的零点，应填答案。
点睛：解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数在区间上的解析表达式求出来，再画出其图像数形结合，从而将问题转化为方程有唯一解，可求得，通过数形结合，求得当时，函数在区间上的图像与直线的图像有且只有三个不同的交点，即定义在上的函数有三个不同的零点。
25．已知函数若函数存在零点，则实数的取值范围为__________．
【答案】或
【解析】函数存在零点，即方程 存在实数根，
也就是函数与的图象有交点．如图：直线恒过定点 过点与的直线的斜率
设直线与相切于，则切点处的导数值为，则过切点的直线方程为由切线过则 得 ．此时切线的斜率为 ．由图可知，要使函数 存在零点，则实数的取值范围为 或
故答案为： 或．
【点睛】本题考查函数零点的判定，其中数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法的灵活应用．
26．设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是方程的一个解，且，则实数__________．
【答案】1
点睛：根据题意可得为定值，设为t,代入可求出，进而可以求出解析式，然后化为新方程有零点，再借助零点定理即可求出结论
27．已知数列中， ，设 ，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】∵， （， ），当时， ， ，…， ，并项相加，得： ，
∴，又∵当时， 也满足上式，
∴数列的通项公式为，∴
，令（），
则，∵当时， 恒成立，∴在上是增函数，故当时， ，即当时， ，对任意的正整数，
当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.
点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.
三、解答题
28．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大
【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2
）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.
详解：
解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．
过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，
故OE=40cosθ，EC=40sinθ，
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），
△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．
过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．
令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．
当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
所以sinθ的取值范围是[，1）．
答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；
当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，
因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.
29．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．
（1）证明：函数与不存在“S点”；
（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；
（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）a的值为
（3）对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
（2）函数，，
则．
设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f′（x0）与g′（x0），得
，即，（*）
得，即，则．
当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点．
因此，a的值为．
（3）对任意a>0，设．
因为，且h（x）的图象是不间断的，
所以存在∈（0，1），使得，令，则b>0．
函数，
则．
由f（x）与g（x）且f′（x）与g′（x），得
，即（**）
此时，满足方程组（**），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．
因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
30．已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)先构造函数
，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.
详解：（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
31．设（）.
(1求函数的单调区间；
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)先求导数，再根据a讨论导函数零点：当时，无零点，函数单调递增，当时，函数先增后减，(2)先化简不等式为，构造函数，转化为对应函数单调递减，即对应导数恒非正，即得最小值，最后再利用导数求函数最小值，即得结果.
详解：解：（1）（），
①当时，恒成立，∴ 在上单调递增；
②当时，由得，
∴ 在上单调递增，在上单调递减.
（2）∵ ，，∴ ，
∴ ，
即在上为减函数
，
，
∴ ，
令，
，∴
当，，单调递减，
当，，单调递增，
∴ ，∴ ，∴
∴ 的取值范围是.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
32．已知函数，其中a >2.
（I）讨论函数f(x)的单调性；
（II）若对于任意的，恒有，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（2，5]
【解析】分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求导数后由可得增区间，由可得减区间．（Ⅱ）原不等式可化为令，则得在上单调递增，故在上恒成立，解不等式可得所求范围．
详解：（I）由题意得函数f(x)的定义域为，
∵，
∴，
令，得或，
∵ ，
∴．
由，解得0a-1，
由，解得12 ，
∴，
解得．
∴实数的取值范围是．
点睛：（1）注意函数的单调区间不能并在一起，若相同的单调区间有多个，中间应用“和”或“，”．
（2）函数在某一区间上单调递增（减）的问题，可转化为导函数在该区间上大于等于零（或小于等于零）处理，解题时注意不要忘了等号．
33．已知函数，其中a >2.
（I）讨论函数f(x)的单调性；
（II）若对于任意的，恒有，求a的取值范围.
（III）设，，求证：.
【答案】(1)f(x)的单调递增区间为，单调减区间为(1，a-1).(2)(2,5];(3)见解析.
【解析】分析：（I）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；；（II）对任意的，恒有，等价于，令，即函数在上为增函数，，∴恒成立，结合基本不等式，即可求实数的取值范围；（III） 由（I）可知当时，函数为减函数， ，由（II）知，即可证明结论.
（II）设，则不等式等价于·
整理得，
令
∴函数g(x)在x∈(0，+∞)上为增函数.
∵，∴恒成立
而
∴ ∵a>2 ∴
∴，即a的取值范围是（2，5].
（III）∵ 由（I）可知当时，函数f(x)为减函数，
而
那么 ∴
由（II）知
∴
即.
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
34．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，增区间为，当时，递增区间为，减区间为；（2）.
【解析】分析：（1）求导可得，分和两种情况讨论可得函数的单调区间．（2）由题意得，且在上恒成立，，令，则
，然后再根据的范围分类讨论可得所求范围．
详解：（1）∵，
∴．
①当时，则，所以在上单调递增；
②当时，则由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意得，
∵当时，函数的图象恒不在轴的上方，
∴在上恒成立．
设，
则.
令，
则，
①若，则，故在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，
∴，
从而，不符合题意．
②若，当时，，在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，
∴,
从而在上，不符合题意；
③若，则在上恒成立，
∴在上单调递减，
∴，
∴在上单调递减，
∴，
从而恒成立．
综上可得实数的取值范围是.
点睛：（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．
（2）利用函数的导数研究不等式的恒成立问题是一类重要的题型，其实质是求函数的最值问题，它体现了导数的工具性作用．将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为高考中较难的题目．
35．已知函数有两个极值点，（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】分析：(Ⅰ) 函数有两个极值点，只需有两个根，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象可得当时，没有极值点；当时，当时，有两个极值点；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减，问题转化为，要证，只需证，即证，利用导数可得，从而可得结论.
详解： (Ⅰ)∵，∴.
设，则.
令，解得.
∴当时，；当时，.
∴.
当时，，∴函数单调递增，没有极值点；
当时，，且当时，；当时，.
∴当时，有两个零点.
不妨设，则.
∴当函数有两个极值点时，的取值范围为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减.
下面先证，只需证.
∵，得，∴.
设，，
则，∴在上单调递减，
∴，∴，∴.
∵函数在上也单调递减，∴.
∴要证，只需证，即证.
设函数，则.
设，则，
∴在上单调递增，∴，即.
∴在上单调递增，∴.
∴当时，，则，
∴，∴.
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
36．已知函数在点)处的切线方程是.
(I)求的值及函数的最大值
(Ⅱ)若实数满足.
()证明:;
()若,证明:.
【答案】(1) ； .
(2)见解析.
【解析】分析：第一问利用题中所给的条件，结合导数的几何意义以及切点应该在切线上，建立关于的等量关系式，解方程组求得的值，从而确定出函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，从而求导函数的最大值，第二问将问题转化，利用导数，构造函数，证得结果.
详解：（Ⅰ），
由题意有，解得．
故，，
，所以在为增函数，在为减函数．
故有当时，．
（Ⅱ）证明：
（ⅰ），
由（Ⅰ）知，所以，即.
又因为（过程略），所以，故.
（ⅱ）法一：
由（1）知
法二：，
构造函数，，
因为，所以，
即当时，，所以在为增函数，
所以，即，故
点睛：该题所考查的是有关导数的综合应用，首先是应用导数的几何意义以及切点在切线上，建立相应的等量关系式，求得参数的值，以确定函数的解析式，从而利用导数来研究函数的单调性，从而确定出函数的最值，之后在证明不等式的时候，利用导数研究函数并构造新函数求得结果.
37．已知函数.
（1）若时，讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象，可筛选出函数在区间上恰有2个零点的实数的取值范围.
详解：（1）
当时，，此时在单调递增；
当时，
①当时，，恒成立，，此时在单调递增；
②当时，令
在和上单调递增；在上单调递减；
综上：当时，在单调递增；
当时，在和上单调递增；
在上单调递减；
点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力．
38．（本小题满分14分）
下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．
（1）求两索塔之间桥面的长度；
（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．
【答案】(1)500米.
(2) 两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.
【解析】分析: (1) 设，，记，利用和角的正切得到t 的方程，解方程即得两索塔之间的距离AC=500米．(2) 设AP=x，点P处的承重强度之和为.先求出，且，再利用导数求最小值.
详解：（1）设，，记，则
，
由，
化简得 ，解得或（舍去），
所以，．
答：两索塔之间的距离AC=500米．
（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.
则，且，
即
记，则，
令，解得，
当，，单调递减；
当，，单调递增；
所以时，取到最小值，也取到最小值.
答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.
点睛：本题主要考查和角的正切和导数的应用，意在考查学生的转化能力和运用数学知识解决实际问题的能力.
39．已知函数.
（1）求函数的极值点；
（2）当时，恒有成立，求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析：（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可求得函数的极值；（2）设, 分四种情况讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，分别求出函数最小值，利用最小值大于零，可筛选出符合条件的的取值范围.
②若，，
在上，；
在，，
③若， ，在上，；
在（,与上，．
综上，当时，极小值点为，无极大值点；当时，极
小值点为，极大值点为 ；当时，极小值点为，极
大值点为；当时，无极值点
（2）设,
因为，得 ,
且函数在上单调递增
（i）当时，有，此时函数在上单调递增，
则，
①若即时，有函数在上单调递增，
则，符合题意；
②若即时，存在满足，，此时函数在 上单调递减，不符合题意；
（ii）当时，有，存在满足
，此时在上单调递减，，此时函
数在 上单调递减，不符合题意．
综上，实数的取值范围是．
点睛：本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，筛选出符合题意的范围.
40．已知.
（1）若的图象在处的切线与的图象也相切，求实数的值；
（2）若有两个不同的极值点，求证：.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.
【解析】分析：(1)求出的图象在处的切线与与联立，利用，求出实数的值；(2)由有两个不同的极值点，可知，由题意知，两式相减得，而，设，构建新函数转求最值即可.
(Ⅱ) ，
，
若，是增函数，
最多有一个实根，
最多有一个极值点，不满足题意，
所以，
由题意知，
两式相减得，
由，
设，则，
要证，即证时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，则，
所以在上是增函数，
所以，
所以时，恒成立，即.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.