2017-2018学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学（理）试题（B） Word版 9页

‎2017-2018学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学（理）试题（B）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数的虚部为（ ）‎ A． B． C．-2 D．0‎ ‎2．已知函数，且，则的值为（ ）‎ A． B．1 C．-1 D．0‎ ‎3．有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（ ）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 ‎4．在复平面内，复数所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C第三象限． D．第四象限 ‎5．定积分等于（ ）‎ A．3 B．6 C．-3 D．-6‎ ‎6．已知，复数，则（ ）‎ A．-2 B．1 C．0 D．2‎ ‎7．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）‎ A．至少有两个零点 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在处切线斜率为0‎ ‎8．设复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ）‎ A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角 C．假设三角形的三个内角没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 ‎10．用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，不等式的左边（ ）‎ A．增加了一项 B．增加了两项 C．增加了两项，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 ‎11．函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有 成立，则不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若复数满足，则复数的模为 ．‎ ‎14．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则的值为 ．‎ ‎15．由直线与曲线围成的封闭图形的面积是 ．‎ ‎16．在平面内，点三点共线的充要条件是：对于平面内任一点，有且只有一对实数，满足向量关系式，且.类比以上结论，可得到在空间中，四点共面的充要条件是：对于空间内任一点，有且只有一对实数满足向量关系式 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17． 已知函数，求：‎ ‎（Ⅰ）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）的单调递减区间.‎ ‎18． （Ⅰ）求证：‎ ‎（Ⅱ）已知，且，求证：和中至少有一个小于2.‎ ‎19． 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎20． 已知数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求值；‎ ‎（Ⅱ）归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.‎ ‎21． 已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件.今年拟下调销售单价以提高销量增加收益.据估算，若今年的实际销售单价为元/件，则新增的年销量（万件）.‎ ‎（Ⅰ）写出今年商户甲的收益（单位：万元）与的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？请说明理由.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最小值.‎ 高二理科数学试题（B）参考答案 一、选择题 ‎1-5:CBAAD 6-10:CBAAD 11、12：CBAAD 二、填空题 ‎13． 14．-1 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）∵‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴函数的图象在点处的切线方程为，‎ 即.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎，‎ 令，解得或.‎ ‎∴函数的单调递减区间为 ‎18.（Ⅰ）证明：因为和 都是正整数，所以 只需证，‎ 只需证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 因为显然成立，所以原不等式成立.‎ ‎（Ⅱ）解：假设 则因为，有 所以，‎ 故.这与题设条件相矛盾，所以假设错误.‎ 因此和中至少有一个小于2.‎ ‎19.解：（Ⅰ），则，‎ ‎∴，‎ 由，所以，当，；，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增. ‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由已知在上恒成立，∴.‎ 令， ‎ ‎∴在上单调递减，∴.‎ ‎∴‎ ‎20.解：（Ⅰ）计算得 ‎ ‎（Ⅱ）猜想 ‎ 证明如下：①当时，猜想显然成立；‎ ‎②假设当时猜想成立，即成立，‎ 则当时， ，‎ 即时猜想成立 由①②得对任意，有 ‎21．解：（Ⅰ）由题意知，今年的年销售量为（万件）.‎ 因为每销售一件，商户甲可获利元，‎ 所以今年商户甲的收益 ‎（Ⅱ）由 ‎ 得 ‎ 令，解得或 ‎ 当时，，是增函数；‎ 当时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数；‎ ‎∴为极大值点，极大值为 ‎∵，∴当或2时，在区间上的最大值为1（万元），而往年的收益为（万元），‎ 所以商户甲采取降低单价提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益. ‎ ‎22.（Ⅰ）由函数可知，‎ 函数的定义域是，且，‎ 当时， ，‎ 令，得；令，得，‎ ‎∴的单调增区间为，单调减区间是；‎ 当时，令得或，‎ 若，即，则恒成立，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 若，即，则和时， ，‎ 当时， ，‎ ‎∴在和上单调递增，在上单调递减；‎ 若，即，则和时， ，‎ 当时，，‎ ‎∴在和上单调递增，在上单调递减，‎ 综上所述，当时，的单调区间为，单调减区间是，‎ 当时， 的单调增区间为和，‎ 单调减区间是；‎ 当时， 的单调增区间是；‎ 当时， 的单调增区间是和，单调减区间是．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当，即时， 在上单调递增，‎ ‎∴在上的最小值是；‎ 当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴在上的最小值是，‎ 当时，即时， 在上单调递减，‎ ‎∴在的最小值是，‎ 综上所述，当时， 在上的最小值是；‎ 当时， 在上的最小值是；‎ 当时， 在上的最小值是． ‎