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- 2021-04-15 发布
数学（理科）“11月月考”考试题 第 1 页 共 12 页
四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试
(2021届）2018级高三上学期 11月月考理科数学试题
一、单选题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知集合 3|A x y lg x ， 2{ | 6 8 0}B x x x ，则 A B （ ）
A． | 2 3x x B． | 2 3x x C． | 2 4}x x D． | 3 4x x
2．已知复数 z满足 (1 ) 2z i i ，则复数 z在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“直线 l与平面 内无数条直线垂直”是“直线 l与平面 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
4．已知等差数列 na 、 nb ，其前 n项和分别为 nS 、 nT ，
2 3
3 1
n
n
a n
b n
，则
11
11
S
T
（ ）
A．
15
17
B．
25
32
C．1 D． 2
5．若
3tan
4
，则 2cos 2sin 2 （ ）
A．
64
25
B．
48
25
C．1 D．
16
25
6.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．
2
3
B．
4
3
C．2 D．4
7．祖冲之是中国古代数学家、天文学家，他将圆周率推算到小数点后 第七位.利用随机模
拟的方法也可以估计圆周率的值，如右图程序框图中 rand( )表示产生区间[ ]0,1 上的随机数，则由此可估计 的近
似值为（ ）
A．0.001n B.0.002n C.0.003n D．0.004n
8. 2020年 2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，部分工厂转业
生产口罩，下表为某小型工厂 2-5月份生产的口罩数（单位：万）
数学（理科）“11月月考”考试题 第 2 页 共 12 页
月份 x 2 3 4 5
口罩数 y 4.5 4 3 2.5
口罩数 y与月份 x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是 0.7y x a ，则 a的值为（ ）
A．6.1 B．5.8 C．5.95 D．6.75
9．若变量 x， y满足约束条件
2 ,
1,
1
y x
x y
x
，则的
1
1
yz
x
取值范围是（ ）
A．
1 1, ,
2 2
B．
1 3,
2 2
C．
1 1,
2 2
D．
1 3, ,
2 2
10．设 f x 是定义在 R上的偶函数，对任意的 xR，都有 2 2f x f x ，且当 2,0x 时，
1 1
2
x
f x
，若关于 x的方程 log 2 0( 1)af x x a 在区间 2,6 内恰有三个不同实根，则实数 a的
取值范围是（ ）
A． 4 43, 8 B． 3 4,2 C． 4 3,2 D． 3 4,2
11．已知双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a b
a b
的左、右焦点分别为 1 2F F， ，过 2F 作一条直线与双曲线右支交于 A B， 两
点，坐标原点为O，若 1 5OA c BF a， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 15
2
B． 10
2
C． 15
3
D． 10
3
12．若不等式
2sin 1 2cos
2
x xa
x
对 (0, ]x 恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A．[1, ) B．
1 ,
C．
1 ,
3
D．
1 ,
3
二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，请把答案填在答题卷上）
13．已知抛物线 2 4x y 上一点 A的纵坐标为 4，则点 A到抛物线焦点的距离为
数学（理科）“11月月考”考试题 第 3 页 共 12 页
14．在 6(2 ) ( 1)x x 展开式中，含 4x 的项的系数是__________ .
15．在 ABC 中，已知 2AB ， | | | |CA CB CA CB
，
2cos2 2sin 1
2
B CA
，则 BA
在 BC
方向上的投
影为__________.
16.已知数列 na 的前 n项和为 nS ，直线 2 2y x 与圆
2 2 2 2nx y a 交于 nA ， *nB n N 两点，且
21
4n n nS A B .若 2
1 2 32 3 2n na a a na a 对 *n N 成立，则实数 的取值范围是______.
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，已知向量 BAm cos,cos ，
bcan 2, ，且 nm // ．（1）求角 A的大小；（2）若 4a ，求 ABC 面积的最大值．
18．（本小题满分 12 分）某中学准备对高 2020级学生文理科倾向做摸底调查，由教务处对高一学生文科、理科进
行了问卷，问卷共 100道题，每题 1分，总分 100分。教务处随机抽取了 200名学生的问卷成绩（单位：分）进行
统计，将数据按照
0,20
，
20,40
，
40,60
，
60,80
，
80,100
分成 5组，绘制的频率分布直方图如图所示，
若将不低于 60分的称为“文科方向”学生，低于 60分的称为“理科方向”学生。
理科方向 文科方向 总计
男 110
女 50
总计
数学（理科）“11月月考”考试题 第 4 页 共 12 页
（1）根据已知条件完成下面 2 2 列联表，并据此判断是否有 99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？
（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取 1人，共抽取 3次，记被抽取的 3人中“文
科方向”的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列、期望 E 和方差 D .
参考公式：
2
2 n ad bc
K
a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
参考临界值：
2
0P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， ,D E分别是 1,AB BB 的中点， 1
2 2
2
AA AC CB AB .
（1）证明： 1BC 平面 1ACD；（2）求二面角 1D AC E 的余弦值.
数学（理科）“11月月考”考试题 第 5 页 共 12 页
20．（本小题满分 12 分）已知 ),0(),0,( 00 yBxA 两点分别在 x轴和 y轴上运动，且 1|| AB ，若动点 ),( yxP 满足
.32 OBOAOP
（1）求出动点 P的轨迹对应曲线C的标准方程；
（2）直线 1: tyxl 与曲线C交于 BA、 两点， )0,1(E ，试问：当 t变化时，是否存在一直线 l，使 ABE 面
积为 32 ？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由.
21.已知函数
ln( ) ( )xf x a
x a
R ，曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处切线与直线 8 0x y 垂直.
（1）试比较 20212020 与 20202021 的大小，并说明理由；
（2）若函数 ( ) ( ) g x f x k有两个不同的零点 1x ， 2x ，证明：
2
1 2x x e .
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
数学（理科）“11月月考”考试题 第 6 页 共 12 页
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C的参数方程为
2 2cos
2sin
x
y
，
（ 为参数），直线 l的极坐标方程为
3 2sin( )
4 2
．（I）求曲线 C的极坐标方程和直线 l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若 (0,1)A ，直线 l与曲线 C相交于不同的两点 M，N，求
1 1
| | | |AM AN
的值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知函数 ( ) | 2 | | 3 |f x x ax ．
（1）当 3a 时，求不等式 ( ) 6f x 的解集；
（2）若
1
2
x ，不等式 2( ) 3f x x x 恒成立，求实数 a的取值范围．
高 2018级高三（上）11月月考
数学（理科）“11月月考”考试题 第 7 页 共 12 页
（理科）数学参考答案
第Ⅰ卷 （选择题 共 60分）
一、单选题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1-5:DBBAA; 6-10:ADCCB 11-12:BD
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90分）
二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，请把答案填在答题卷上）
13． 5 .14．____-100_____.15．_____ 3 ____.16.__
1( , )
2
____.
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分 12 分）
【解析】（1） nm // ，所以 0cos2cos AbcBa ，由正弦定理得 BAcossin 0cossinsin2 ABC ，
ACABBA cossin2cossincossin ACBA cossin2sin ，
由 CBA ， ACC cossin2sin ，由于 C0 ，因此 0sin C ，所以 2
1cos A
，
由于 A0 ， 3
A
（6 分）
（2）由余弦定理得 Abccba cos2222
bcbcbcbccb 216 22 ，因此 16bc ，当且仅当 4 cb 时，等号成立；
因此 ABC 面积 34sin
2
1
AbcS ，因此 ABC 面积的最大值 34 ．（12 分）
18.（本小题满分 12 分）解（1）
【解析】（1）由频率分布直方图可得分数在 60,80 之间的学生人数为0.0125 20 200 50 ＝ ，在 80,100 之间的
学生人数为 0.0075 20 200 30 ＝ ，所以低于 60分的学生人数为 120.因此列联表为
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理科方向 文科方向 总计
男 80 30 110
女 40 50 90
总计 120 80 200
又
22 200 80 50 30 40
16.498 6.635
120 80 110 90
K
，
所以有 99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关. （6分）
（2）易知从该校高一学生中随机抽取 1人，则该人为“文科方向”的概率为
80 2
200 5
p .
依题意知
2~ 3,
5
B
，所以
3
3
2 2C 1
5 5
i i
iP i
（ 0,1, 2,3i ），所以 的分布列为
0 1 2 3
P
27
125
54
125
36
125
8
125
所以期望 2 63
5 5
E np ，方差 2 2 181 3 1
5 5 25
D np p
. （12分）
19．（本小题满分 12 分）
证明：证明：连接 1AC 交 1AC于点 F ，则 F 为 1AC 的中点．又D是 AB的中点，
连接DF，则 1 / /BC DF．
因为DF 平面 1ACD， 1BC 平面 1ACD，
所以 1 / /BC 平面 1ACD． （4分）
数学（理科）“11月月考”考试题 第 9 页 共 12 页
（2）由 1
2 2
2
AA AC CB AB ，可得： 2AB ，即 2 2 2AC BC AB 所以 AC BC
又因为 1 1 1ABC ABC 直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线 1CA CB CC、 、 为 x轴、 y轴、 z轴，建立空
间直角坐标系，
则 1
2 2 20,0,0 2,0, 2 ) , ,0 0, 2,
2 2 2
C A D E
、 、 、 ，(6分）
1
2 2 22,0, 2 , , ,0 , 0, 2,
2 2 2
CA CD CE
设平面 1ACD的法向量为 , ,n x y z
，则 0n CD
且 1 0n CA
，可解得 y x z ，令 1x ，得平面 1ACD的
一个法向量为 1, 1, 1n
r
，（8分）
同理可得平面 1ACE的一个法向量为 2,1, 2m
，(10分）
则
3cos ,
3
n m
，所以二面角 1D AC E 的余弦值为
3
3
.（12分 ）
20．（本小题满分 12 分）
解（1）设 (x, y)P ，因为 .32 OBOAOP 即 ),3,2(),0(3)0,(2),( 0000 yxyxyx
所以 ,3,2 00 yyxx 所以 ,
3
3,
2
1
00 yyxx 又因为 1|| AB 所以 12
0
2
0 yx 即 1)
3
3()
2
1( 22 yx 即
1
34
22
yx
，所以椭圆的标准方程为 1
34
22
yx
（4分）
（2）由方程组
1
34
1
22 yx
tyx
得 (*)09643 22 tyyt ）（
设 ),,(),,( 2211 yxByxA 则 0
43
9,
43
6
221221
t
yy
t
tyy
（6分）
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所以
43
112)
43
9(4)
43
6(4)(|| 2
2
2
2
221
2
2121
t
t
tt
tyyyyyy
（8分）
因为直线 1 tyx 过点 )0,1(F 所以 ABE 的面积
43
112
43
1122
2
1||||
2
1
2
2
2
2
21
t
t
t
tyyEFS ABE
（10 分）
令 32
43
112
2
2
t
t
则 2 2 0
3
t = - < 不成立，不存在直线 l满足题意.（12 分）
21．【详解】（1）函数
ln( ) ( )xf x a
x a
R ，
2
1 ln
( )
( )
a x
xf x
x a
，所以 2
1(1)
( 1)
af
a
，
又由切线与直线 8 0x y 垂直，可得 1 1f ，即
1 1
1 a
，解得 0a ，（2分）
此时 2
ln 1 ln( ) ( )x xf x f x
x x
，令 0f x ，即1 ln 0x ，解得0 x e ，令 0f x ，即1 ln 0x ，
解得 x e ，即有 ( )f x 在 0,e 上单调递增，在 ,e 单调递减（4 分）
所以
ln 2020 ln 2021(2020) (2021) 2021ln 2020 2020ln 2021
2020 2021
f f
即 2021 20202020 2021 （5 分）
（2）不妨设 2 1 0x x ，
由条件： 2 1 2 2 1 10 ln ln 0g x g x x kx x kx ， 1 2 1 2ln lnx x k x x ， 1 2 1 2ln lnx x k x x
要证：
2
1 2x x e 只需要证： 1 2ln ln 2x x ，（8分）
也即为 1 2 2k x x ，由
2 1
2 1
ln lnx xk
x x
，只需要证：
2 12 1 2
2 1 1 2 1 2 1
2ln ln 2 ln
x xx x x
x x x x x x x
，
设
2
1
1xt
x
即证：
2( 1)ln ( 1)
1
tt t
t
，（10 分）设
2( 1)( ) ln ( 1)
1
th t t t
t
，则
2
2 2
1 4 ( 1)( ) 0
( 1) ( 1)
th t
t t t t
，
h t 在 1, 上是增函数，故 ( ) (1) 0h h ，即
2 1
ln
1
t
t
t
得证，所以
2
1 2x x e .（12分）
数学（理科）“11月月考”考试题 第 11 页 共 12 页
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
【解】（I）依题意，曲线
2 2
:( 2) 4C x y ，故 2 2 4 0x y x ，即 2 4 cos 0 ，即 4cos ．（2 分）
由
3 2
4 2
sin
，可得
2 2 2
2 2 2
sin cos ，即 1 0sin cos ，（3分）
将 x cos ， y sin 代入上式，可得直线 l的直角坐标方程为 1 0x y ．（5 分）
（Ⅱ）将直线 l的参数方程
2
2
21
2
x t
y t
（6 分），代入 2 2 4 0x y x 中，化简可得 2 3 2 1 0t t ，
设M，N所对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 1 2 3 2t t ， 1 2 1t t ，（8分）
故 1 2
1 2
1 1 | | | | 3 2
| | | | | | | |
t tAM AN
AM AN AM AN t t
．（10 分）
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
【解析】（1）当 3a 时， ( ) | 2 | 3 | 1|f x x x ，不等式 ( ) 6f x 可化为 | 2 | 3 | 1| 6x x ．（1分）
①当 2x 时，不等式可化为 2 3 3 6x x ，即 4 5x ，无解；
②当 2 1x 时，不等式可化为 2 3 3 6x x ，即 2 1x ，解得
1 1
2
x ；（3分）
③当 1x 时，不等式可化为 2 3 3 6x x ，即 4 7x ，解得
71
4
x ，
综上，可得
1 7
2 4
x ，故不等式 ( ) 6f x 的解集为
1 7( , )
2 4
．（5分）
（2）当
1
2
x 时，不等式 2( ) 3f x x x ，即 22 | 3 | 3x ax x x ，整理得 2| 3 | 1ax x ，即
2 21 3 1x ax x ，即 2 22 4x ax x ，因为
1
2
x ，所以分离参数可得
2
4
a x
x
a x
x
．（8分）
显然函数
2( )g x x
x
在
1[ , )
2
上单调递减，所以
1 7( ) ( )
2 2
g x g ，而函数
4 4( ) 2 4h x x x
x x
，当且仅
数学（理科）“11月月考”考试题 第 12 页 共 12 页
当
4x
x
，即 2x 时取等号，所以实数 a的取值范围为
7[ , 4]
2
．（10分）