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- 2021-04-15 发布
突破31 用动量定理解决连续流体的作用问题
通常情况下应用动量定理解题，研究对象为质量一定的物体，它与其他物体只有一次相互作用，我们称之为“单体作用”。这类题目对象明确、过程清楚，求解不难。而对于流体连续相互作用的这类问题，研究对象不明，相互作用的过程也较复杂，求解有一定难度。
1．流体作用模型
对于流体运动，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在极短的时间Δt内通过某一横截面S的柱形流体的长度为Δl，如图所示．设流体的密度为ρ，则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量为Δm＝ρSΔl＝ρSvΔt，根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即FΔt＝ΔmΔv，分两种情况：
(1)作用后流体微元停止，有Δv＝－v，代入上式有F＝－ρSv2；
(2)作用后流体微元以速率v反弹，有Δv＝－2v，代入上式有F＝－2ρSv2.
2．微粒类问题
微粒及其特点
通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n
分析步骤
(1)建立“柱体”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S
(2)微元研究，作用时间Δt内一段柱形流体的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt
(3)先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算
【典例1】某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中．为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开．忽略空气阻力．已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g.求：
(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；
(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度．
【答案】：(1)ρv0S (2)－
【解析】：(1)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则
Δm＝ρΔV ①
ΔV＝v0SΔt ②
由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为
＝ρv0S. ③
(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v.对于Δt
【典例2】 有一宇宙飞船，它的正面面积S = 0.98m2，以v = 2×103 m/s的速度飞入一宇宙微粒尘区，此尘区每立方米空间有一个微粒，微粒的平均质量m = 2×10﹣7 kg，要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？（设微粒与飞船外壳碰撞后附于飞船上）。
【答案】0.78N
【解析】选在时间△t内与飞船碰撞的微粒为研究对象，其质量应等于底面积为S，高为v△t的圆柱体内微粒的质量 M=mSv△t，初动量为0，末动量为mv。
设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得：F•△t=Mv﹣0
则 F===mSv2；
根据牛顿第三定律可知，微粒对飞船的撞击力大小也等于mSv2，则飞船要保持原速度匀速飞行牵引力应增加F′=F=mSv2；
代入数据得：F′=2×10﹣4×10﹣3×0.98×（2×103）2N=0.78N
【跟踪短训】
1．如图所示，自动称米机已在许多大粮店广泛使用．买者认为：因为米流落到容器中时对容器有向下的冲力而不划算；卖者则认为：当预定米的质量达到要求时，自动装置即刻切断米流，此刻有一些米仍在空中，这些米是多给买者的，因而双方争执起来．下列说法正确的是( )
A．买者说的对 B．卖者说的对
C．公平交易 D．具有随机性，无法判断
【答案】C.
【解析】 设米流的流量为d，它是恒定的，米流在出口处速度很小可视为零，若切断米流后，设盛米的容器中静止的那部分米的质量为m1，空中还在下落的米的质量为m2，落到已静止的米堆上的一小部分米的质量为Δm.在极短时间Δt内，取Δm为研究对象，这部分米很少，Δm＝d·Δt，设其落到米堆上之前的速度为v，经Δt时间静止，如图所示，
即自动称米机是准确的，不存在哪方划算不划算的问题，选项C正确．
2．国产水刀——超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动，它能切割40 mm厚的钢板，50 mm厚的大理石等其他材料。
水刀就是将普通的水加压，使其从口径为0.2 mm的喷嘴中以800～1000 m/s速度射击出水射流。我们知道，任何材料，承受的压强都有一定限度，下表列出了一些材料所能承受的压强限度。
A
橡胶
5×107 Pa
B
花岗石
1.2×108～2.6×108 Pa
C
铸铁
8.8×108 Pa
D
工具钢
6.7×108 Pa
设想有一水刀的水射流横截面积为S，垂直入射的速度v＝800 m/s，水射流与材料接触后速度为零，且不附着在材料上，水的密度ρ＝1×103 kg/m3，则此水刀不能切割上述材料中的________。
【答案】 CD
【解析】 以射到材料上的水量Δm为研究对象，以其运动方向为正方向，由动量定理得pSΔt＝－ρSvΔt·v，p＝－ρv2＝－6.4×108 Pa，由表中数据可知，不能切割CD。
3. 高压采煤水枪出口的截面积为S，水的射速为v，水平射到煤层上后，水速度为零，若水的密度为ρ，求煤层对水的平均冲力的大小？
【答案】：ρSv2
4. 飞船正面面积S＝1 m2，以 v＝2×103 m/s飞入一宇宙微尘区，此区域每立方米空间有一个微尘，微尘的平均质量m0＝2×10－4 kg，设微尘与飞船相碰后附在飞船表面。要使飞船速度不变，求飞船的推力是多少。
【答案】 800 N
【解析】 微尘碰后附在飞船表面，飞船质量增大了，要使飞船速度不变，只能施加推力。取附在飞船表面的微尘为研究对象，设时间t内飞船把微尘推到相等的速度，由动量定理得Ft＝mv－0，而这段时间内附在飞船表面的微尘质量为m＝m0Svt，由以上两式得F＝m0Sv2，代入数据得F＝800 N，由牛顿第三定律知，飞船需要的推力为800 N。’
5. 一艘帆船在湖面上顺风航行，在风力的推动下做速度为v0＝4 m/s的匀速直线运动．若该帆船在运动状态下突然失去风力的作用，则帆船在湖面上做匀减速直线运动，经过t＝8 s才可静止．该帆船的帆面正对风的有效面积为S＝10 m2，帆船的总质量约为M＝936 kg.若帆船在航行过程中受到的阻力恒定不变，空气的密度为ρ＝1.3 kg/m3，在匀速行驶状态下估算：
(1)帆船受到风的推力F的大小；
(2)风速的大小v.
【答案】 (1)468 N (2)10 m/s
【解析】 (1)风突然停止，帆船只受到阻力f的作用，做匀减速直线运动，设帆船的加速度为a，则
a＝＝－0.5 m/s2
根据牛顿第二定律有－f＝Ma，所以f＝468 N
则帆船匀速运动时，有F－f＝0，解得F＝468 N.
(2)设在时间t内，正对着吹向帆面的空气的质量为m，