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- 2021-04-15 发布
§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
最新考纲
考情考向分析
1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义．
2.掌握可以作为推理依据的公理和定理.
主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
概念方法微思考
1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？
提示 不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．
2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？
提示 不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( × )
(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √ )
(5)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )
(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．( × )
题组二 教材改编
2．[P52B组T1(2)]如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，
故∠D1B1C即为所求的角．
又B1D1＝B1C＝D1C，
∴△B1D1C为等边三角形，
∴∠D1B1C＝60°.
3．[P45例2]如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
答案 (1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD
解析 (1)∵四边形EFGH为菱形，
∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)∵四边形EFGH为正方形，
∴EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
题组三 易错自纠
4．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
答案 D
解析 依题意，m∩α＝A，n⊂α，
∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．
5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
答案 D
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．
答案 3
解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．
题型一 平面基本性质的应用
例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF