高考数学专题复习练习选修4-2 矩阵与变换 5页

选修4-2 矩阵与变换 ‎1．已知矩阵A＝，B＝，C＝，求满足AXB＝C的矩阵X.‎ 解 AXB＝C，所以(A－‎1A)XB·B－1＝A－1CB－1‎ 而A－1AXB·B－1＝EXBB－1‎ ‎＝X(BB－1)＝X，所以X＝A－1CB－1‎ 因为A－1＝，‎ B－1＝，‎ 所以X＝A－1CB－1‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎2．设圆F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一图形F′，试求变换矩阵M及图形F′的方程．‎ 解 ∵＝＝，‎ ‎∴M＝.‎ ‎∵圆上任意一点(x，y)变换为(x′，y′)＝(x＋2y，y)，[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎∴，‎ 即.‎ ‎∵x2＋y2＝1，‎ ‎∴(x′－2y′)2＋(y′)2＝1.‎ 即F′的方程为(x－2y)2＋y2＝1.‎ ‎(1)求实数a、b、c、d的值；‎ ‎(2)求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．‎ 解　(1)由题设得：解得 ‎(2)∵矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点)，‎ ‎∴可取直线y＝3x上的两点(0，0)，(1，3)，‎ 得点(0，0)，(1，3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(0，0)，(－2，2)．‎ 从而，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y＝－x.‎ ‎4．已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A.‎ 解　由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ‎1a1，‎ 即 ＝－1×，得 同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.‎ 因此矩阵A＝.‎ ‎5．设矩阵M＝(其中a>0，b>0)．‎ ‎(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；‎ ‎(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a、b的值．‎ 解　(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，‎ 则MM－1＝.‎ 又M＝.∴ ＝.‎ ‎∴2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1，‎ 即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，‎ 故所求的逆矩阵M－1＝.‎ ‎(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上，‎ ‎∴＋y′2＝1.则＋b2y2＝1为曲线C的方程．‎ 又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故 又a>0，b>0，∴ ‎6．给定矩阵M＝，N＝，向量α＝.‎ ‎(1)求证：M和N互为逆矩阵；‎ ‎(2)求证：向量α同时是M和N的特征向量；‎ ‎(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值．‎ 解 (1)证明：因MN＝ ＝，‎ 且NM＝＝，‎ 所以M和N互为逆矩阵．‎ ‎(2)证明：因为Mα＝＝，‎ 所以α是N的特征向量．‎ 因为Nα＝＝，‎ 所以α是N的特征向量．‎ ‎(3)由(2)知，M对应于特征向量的特征值为1，N对应于特征向量的特征值也为1，‎ 故1是矩阵M和N的一个公共特征值．‎