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- 2021-04-15 发布
第2讲 数系的扩充与复数的引入
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 复数的有关概念
1．复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0，b≠0，则a＋bi为纯虚数．
2．复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
考点2 复数的几何意义
考点3 复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1．加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
2．减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
3．乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
4．除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
[必会结论]
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程x2＋1＝0没有解．( )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．( )
(4)已知复数z的共轭复数＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．( )
(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．[2017·全国卷Ⅲ]复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 ∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.
3．[2017·全国卷Ⅱ]＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
答案 D
解析 ＝＝＝2－i.故选D.
4．[2018·榆林模拟]设复数z＝－2＋i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1＋z)·|等于( )
A. B．2
C．5 D.
答案 D
解析 ∵z＝－2＋i，∴＝－2－i，
∴|(1＋z)·|＝|(1－2＋i)·(－2－i)|＝|3－i|＝＝.故选D.
5．[2017·江苏高考]已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
答案
解析 ∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，
∴|z|＝＝.
|z|＝|1＋i||1＋2i|＝×＝.
6．[2018·湖北高中联考]已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则－z2的共轭复数是________．
答案 1＋3i
解析 －z2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i.
板块二 典例探究·考向突破
考向 复数的有关概念
例 1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]下列各式的运算结果为纯虚数的是
( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
答案 C
解析 A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
(2)[2017·天津高考]已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
答案 －2
解析 ∵a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.
触类旁通
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．
【变式训练1】 (1)若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为( )
A．－ B．－i
C. D.i
答案 A
解析 由题意得所以a＝1，所以＝＝＝－i，根据虚部的概念，可得的虚部为－.故选A.
(2)[2018·福州调研]已知m∈R，i为虚数单位，若>0，则m＝( )
A．1 B.
C. D．－2
答案 B
解析 由已知得＝＝
，由>0，可得1－2m＝0，则m＝.选B.
考向 复数的几何意义
例 2 (1)[2017·北京高考]若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案 B
解析 ∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，
又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴解得a＜－1.故选B.
(2)[2018·贵阳模拟]已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝在复平面上对应的点在y轴上，则a＝________.
答案 －3
解析 z＝＝＝，由a＋3＝0，得a＝－
3.
触类旁通
复数几何意义的理解及应用
复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
【变式训练2】 (1)[2018·邯郸模考]已知i是虚数单位，若复数z＝在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的值可以是( )
A．－2 B．1 C．2 D．3
答案 A
解析 z＝＝＝，因为复数z＝在复平面内对应的点在第四象限，所以解得－41 B．a<0
C．01.故选A.
核心规律
1.实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2.设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．
3.在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法法则需分母实数化．
满分策略
1.判定复数是不是实数，仅注意虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2.注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚数，如虚数不能比较大小，但说两个复数不能比较大小就不对了．
3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立.
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列13——解决复数问题的实数化思想
[2018·金华模拟]已知z∈C，解方程z·－3i＝1＋3i.
解题视点 设z＝a＋bi(a，b∈R)，根据已知中恒等的条件，列出一组含a，b的方程，解方程组使问题获得解决．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.
根据复数相等的定义，得
解之得或∴z＝－1或z＝－1＋3i.
答题启示 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.
(2)本题求解的关键是先把z用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法.
(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.
跟踪训练
[2018·金版创新]设复数z满足z＋||＝2＋i，则z＝( )
A．－＋i B.＋i
C．－－i D.－i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知得a＋bi＋＝2＋i，由复数相等可得∴故z＝＋i.故选B.
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )
A. B.
C. D．2
答案 C
解析 由(1＋i)z＝2i，得z＝＝1＋i，
∴|z|＝.故选C.
∵2i＝(1＋i)2，
∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝.
故选C.
2．[2018·湖南模拟]已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
答案 D
解析 由＝1＋i，得z＝＝＝
＝－1－i.
3．[2018·江西模拟]已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为( )
A.＋i B.＋i
C.－i D.－i
答案 A
解析 z1·z2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝＋i.故选A.
4．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i
，则＝( )
A．1＋i B.＋i
C．1＋i D．1＋i
答案 B
解析 因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i.故选B.
5．[2018·天津模拟]已知复数z满足(i－1)(z－i3)＝2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．i－1 B．1＋2i
C．1－i D．1－2i
答案 B
解析 依题意可得z＝＋i3＝－i＝－(i－1)－i＝1－2i，其共轭复数为1＋2i.故选B.
6．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝( )
A．1 B．0
C．1＋i D．1－i
答案 D
解析 z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，则有＝＝＝1－i.选D.
7．[2018·郴州模拟]设z＝1－i(i是虚数单位)，若复数＋z2在复平面内对应的向量为，则向量的模是( )
A．1 B.
C. D．2
答案 B
解析 z＝1－i(i是虚数单位)，
复数＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝1－i.
向量的模：＝.故选B.
8．[2018·温州模拟]满足＝i(i为虚数单位)的复数是________．
答案 －
解析 由已知得z＋i＝zi，则z(1－i)＝－i，
即z＝＝＝＝－.
9．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
答案
解析 ∵a，b∈R，且＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴∴
∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.
10．[2017·浙江高考]已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
答案 5 2
解析 (a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.
所以a2＋b2＝5，ab＝2.
[B级 知能提升]
1．[2018·成都模拟]已知复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为 z，则|z|＝( )
A. B．5
C．2 D．2
答案 A
解析 复数z1＝2＋6i，z2＝－2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,6)，B(0，－2)，线段AB的中点C(1，2)对应的复数为z＝1＋2i，则|z|＝＝.故选A.
2．[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.
3．[2018·厦门模拟]已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．
答案
解析 ∵|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知max＝＝.
4．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．
解 (1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．
5．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3
的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解 存在．设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，
则z＋＝a＋bi＋
＝a＋bi.
又z＋3＝a＋3＋bi实部与虚部互为相反数，z＋是实数，根据题意有
因为b≠0，所以
解得或
所以z＝－1－2i或z＝－2－i.