2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末数学试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集,集合,集合,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据补集和交集定义,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ 则.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用韦恩图来辅助分析问题.‎ ‎2．计算:( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据,化简即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 则 ‎ ‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数运算.掌握对数公式 ‎,是解本题关键,属于基础题.‎ ‎3．已知幂函数在区间上是单调递增函数,则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为是幂函数,则,解得或,结合在区间上是单调递增函数,即可求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎ 是幂函数,则 解得或 又 在区间上是单调递增函数 ‎ ‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数相关知识,掌握幂函数基础知识是解题关键,属于基础题.‎ ‎4．在中,已知,则此三角形一定为( )‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】将,化简为,即,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故,即 ‎ ,故此三角形是等腰三角形 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形形状的判定,考查诱导公式与正弦两角和公式,考查运算能力与推理能力,属于中档题.‎ ‎5．若实数,满足,则下列不等关系成立的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据可得:,逐一验证每个选项,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 对于A,因为无法判断的正负性,故无法保证真数有意义,故A错误;‎ 对于B, 因为无法判断的正负性,故无法保证二次根式下非负,故B错误;‎ 对于C, 因为当,满足,此时,故C错误;‎ 对于D, 因为在上单调递增,所以可得,故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的单调性，考查了对数和二次根式的定义，考查了幂函数的单调性，掌握基本初等函数的性质和利用特殊值法是解题关键,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎6．下列关系式一定正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据诱导公式,正弦二倍角公式等基础知识,逐项判断,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 对于A,因为2弧度的角是第二象限角,所以,故A错误;‎ 对于B,因为3弧度的角是第二象限角,所以,故B错误;‎ 对于C,因为根据诱导公式可得:,故C错误;‎ 对于D,因为,故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了判断三角函数象限符号,诱导公式和正弦二倍角公式.掌握三角函数基础知识是解本题关键,属于基础题.‎ ‎7．若函数的图像经过点,则其图像必经过点( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数的图像经过点,可得,根据诱导公式逐项检验,即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的图像经过点,‎ ‎ 可得:‎ 对于A,将代入,可得,则函数不一定经过点,故A错误;‎ 对于B,将代入,可得,则函数不一定经过点,故B错误;‎ 对于C,将代入,可得,则函数经过点,故C正确;‎ 对于D,将代入,可得,则函数不一定经过点,故D错误.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了判断点是否在已知直线上,熟练使用诱导公式是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎8．已知,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据和 ,化简,结合已知,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据和 化简 ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数化简求值,掌握正切的差角公式和二倍角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎9．函数(其中)的图像如图所示,则,的值为( )‎ A．, B．,‎ C．, D．,‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的图像的顶点坐标求出,由周期求出, 点在函数的图像上,结合已知即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 由函数的图像的顶点坐标,可求得 ‎ ‎ ‎ ，故，‎ 又点在函数的图像上，知 解得,符合.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数的部分图像求解析式,由函数的图像的顶点坐标求出,由周期求出,考查了分析能力,属于中档题.‎ ‎10．某数学课外兴趣小组对函数的图像与性质进行了探究,得到下列四条结论：① 该函数的值域为; ② 该函数在区间上单调递增;③ 该函数的图像关于直线对称;④ 该函数的图像与直线不可能有交点.则其中正确结论的个数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出,逐项判断,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 画出如图:‎ 对于①,根据图像可知,函数的值域为,①错误;‎ 对于②, 根据图像可知,函数在区间上单调递减,在上单调递增,②错误;‎ 对于③, 根据图像可知,函数的图像关于直线对称,③正确;‎ 对于④,因,所以函数的图像与直线不可能有交点,④正确.‎ 综上所述,正确结论的个数为 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数解析式画出函数图像.掌握函数的基础知识和数形结合是解题关键,考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎11．函数在区间上的图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 令（），，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，由此排除A,D两个选项.‎ 当时，，而为第二象限角，所以，而 ‎，所以，由此排除C选项.故B选项符合.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，判断函数的图像，属于基础题.‎ ‎12．已知函数是定义在上的函数,.若对任意的,且有,则不等式的解集为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为等式可化为,即,令函数,根据函数是上的增函数,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ 不等式可化为 即 令函数,由 可得,结合 ‎ 函数是上的增函数 又 不等式 ‎ ‎ ‎ ,即 不等式的解集为:.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对数函数真数大于零和分式分母不为零,列出不等式组,即可求得的定义域.‎ ‎【详解】‎ ‎ 根据对数函数真数大于零和分式分母不为零 ‎ 得,解得且,‎ 故其定义域为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中熟记函数的定义域的概念,以及根据函数的解析式有意义,列出相应的不等式组是解答的关键.‎ ‎14．计算：____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据诱导公式和正弦的和角公式,化简,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ 根据诱导公式 则 化简 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数化简求值,掌握诱导公式和正弦的和角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎15．已知函数,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,故,,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知函数解析式求函数值,解题关键是求出是定值,考查了分析能力和计算能力.‎ ‎16．若为不等边的最小内角,则的值域为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为不等边的最小内角,得,设,故,,化简,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ 为不等边的最小内角 ‎ 得,设 ‎ ‎ 得: ‎ ‎ ‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了辅助角公式与正弦函数的单调性,以及换元法的应用和基本不等式的应用,考查了分析能力和计算能力,属于中档题目．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合,集合.‎ ‎（1）当时,求；‎ ‎（2）若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）当时,,根据并集定义,即可求得;‎ ‎（2）因为,分别讨论和两种情况,即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时,‎ ‎ 又,则 ‎（2）因为,‎ ‎ ‎ 当时,,解得 当时,,解得 综上所述,实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集运算和子集运算.本题的解题关键是掌握当时,分别讨论和两种情况,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎18．已知角的顶点在坐标原点,始边与轴非负半轴重合,终边经过点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）因为角的终边经过点,则,根据三角函数的定义,即可求得答案;‎ ‎（2）根据诱导公式化简,结合已知,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 角的终边经过点 ‎ ‎ 根据三角函数的定义可知 故.‎ ‎（2）根据诱导公式化简:‎ 则 ‎ 的值为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数定义和诱导公式.在三角求值时,充分利用相关公式和已知条件进行化简,着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平,属于中等题.‎ ‎19．已知函数图像两条相邻对称轴间的距离为.‎ ‎（1）求函数在上的单调递增区间;‎ ‎（2）将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像,求函数图像的对称中心坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）化简,得,根据正弦最小正周期:,结合已知解得,则,结合正弦函数单调区间即可求得答案;‎ ‎（2）将函数的图像向左平移个单位后得到函数,得,即可求得图像的对称中心坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）化简 ‎ ‎ 根据正弦最小正周期:‎ ‎ ,则 ‎ 根据正弦函数单调性其单调增区间为:‎ 解得:‎ 又,‎ ‎ 函数在上的单调递增区间为:.‎ ‎（2） 将函数的图像向左平移个单位后得到函数 ‎ ‎ 令，解得 ‎ 故图像的对称中心坐标为 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的单调区间和求三角函数的对称中心, 解题关键是掌握辅助角公式: ,(),考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎20．已知函数,其中,且.‎ ‎（1）若函数的图像过点,且函数只有一个零点,求函数的解析式;‎ ‎（2）在（1）的条件下,若,函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1）因为,根据函数的图像过点,且函数只有一个零点,联立方程即可求得答案;‎ ‎（2）因为,由（1）可知:,可得,根据函数在区间上单调递增,即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 根据函数的图像过点,且函数只有一个零点 ‎ 可得,整理可得,消去 ‎ 得,‎ 解得或 ‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 综上所述,函数的解析式为:或 ‎ ‎（2） 当,由（1）可知: ‎ ‎ ‎ 要使函数在区间上单调递增 则须满足 ‎ 解得,‎ ‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求解二次函数解析式和已知复合函数单调区间求参数范围.掌握复合函数单调性同增异减是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.‎ ‎21．某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快 ‎.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积(单位：平方米)与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.‎ ‎（1）试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;‎ ‎（2）问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍(参考数据:)‎ ‎【答案】（1）答案见解析（2）‎ ‎【解析】（1）因为函数中,随的增长而增长的速度越来越快,而函数中,随的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选更合适,结合已知,即可求得该模型的函数解析式;‎ ‎（2）由（Ⅰ）知,当时,,所以原先投放的此生物的面积为8平方米,设经过个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,则有,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 函数中,随的增长而增长的速度越来越快,‎ 而函数中,随的增长而增长的速度越来越慢,‎ 根据已知条件应选更合适 由已知得,解得 ‎ 函数解析式为 ‎ ‎（2）由（1）知,当时,,所以原先投放的此生物的面积为8平方米;‎ 设经过个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,‎ ‎ 有 ‎ 解得 ‎ ‎ 约经过个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求解模型解析式和求解指数方程,解题关键是掌握函数的基础知识解题关键,考查了分析能力和计算能力.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时,恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎（2）是否同时存在实数和正整数,使得函数在上恰有2019个零点若存在,请求出所有符合条件的和的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）答案见解析 ‎【解析】（1）化简得:,则当时,, 要使对任意恒成立,令,则,对任意恒成立,即可求得答案.‎ ‎（2）若同时存在实数和正整数满足条件,函数在上恰有2019个零点,即函数与直线在上恰有2019个交点,对进行讨论,即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）化简: ‎ 当时,,‎ ‎ ,则 ‎ 要使对任意恒成立,‎ 令,则,对任意恒成立,‎ 只需 ‎ ‎ 解得,‎ 实数的取值范围为.‎ ‎（2）假设同时存在实数和正整数满足条件,函数在上恰有2019个零点,即函数与直线在上恰有2019个交点 当时,,‎ ‎①当或时,函数与直线在上无交点,‎ ‎②当或时,函数与直线在上仅有一个交点,‎ 此时要使函数与直线在上恰有2019个交点,则; ‎ ‎③当或时,函数与直线在上有两个交点,‎ 此时函数与直线在上有偶数个交点,不可能有2019个交点,不符合;‎ ‎④当时,函数与直线在上有2个交点,‎ 此时要使函数与直线在上恰有2019个交点,则; ‎ 综上所述,存在实数和正整数满足条件:‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 当时,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据不等式恒成立求参数和求函数交点个数问题.掌握函数的单调性的应用和函数的最值求法,数形结合是解题关键,考查等价转化思想方法与分析能力,属于中档题.‎