2021版高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-8曲线与方程（含轨迹问题）课件理北师大版 13页

第八节　 曲线与方程 ( 含轨迹问题 ) 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 曲线与方程 曲线的方程与方程的曲线需要满足两个关系 : (1)_________________________________. (2)___________________________________. 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 以方程的解为坐标的点都是曲线上的点 2. 坐标法求动点的轨迹方程的基本步骤 3. 求曲线的轨迹方程的常用方法 (1) 直接法 : 直接利用条件建立 x,y 之间的关系 f(x,y)=0. 也就是 : 建系、设点、列式、代换、化简、证明 , 最后的证明可以省略 , 必要时加以说明 . (2) 定义法 : 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线 , 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 . (3) 待定系数法 : 已知所求的曲线类型 , 先根据条件设出曲线方程 , 再由条件确定其待定系数 . (4) 相关点法 : 动点 P(x,y) 依赖于另一动点 Q(x 0 ,y 0 ) 的变化而变化 , 并且 Q(x 0 ,y 0 ) 又在某已知曲线上 , 首先用 x,y 表示 x 0 ,y 0 , 再将 x 0 ,y 0 代入已知曲线得到要求的轨迹方程 . (5) 交轨法 : 动点 P(x,y) 是两动直线 ( 或曲线 ) 的交点 , 解决此类问题通常是通过解方程组得到交点 ( 含参数 ) 的坐标 , 再消去参数求出所求的轨迹方程 . 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 方程 x 2 +xy=x 的曲线是一个点和一条直线 . ( 　　 ) (2) 到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x 2 =y 2 . ( 　　 ) (3)y=kx 与 x= y 表示同一直线 . ( 　　 ) (4) 动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的 . ( 　　 ) (5) 方程 y= 与 x=y 2 表示同一曲线 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 方程 x 2 +xy=x, 即 x(x+y-1)=0, 化简可得 x=0 或 x+y-1=0. 而 x=0 表示直 线 ,x+y-1=0 也表示直线 , 故原方程的曲线是两条直线 , 故错误 . (2) × . 由于建系不同 , 可得到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程不同 , 故错误 . (3) × .y=kx 与 x= y 中 k 的取值范围不同 ,y=kx 可以表示直线 y=0, 而 x= y 不能 表示该直线 , 故错误 . (4)×. 前者表示方程 , 后者表示曲线 , 故错误 . (5) × . 方程 y= 表示的曲线是 x=y 2 在第一象限的部分 , 与 x=y 2 表示的曲线不同 , 故错误 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 不能准确将条件坐标化 考点一、典例 2 利用定义判断轨迹形状 , 忽视隐含条件导致增解 考点二、变式 3 不能正确建立相关点的坐标之间的关系 考点三、典例 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-1P86 例 2 改编 ) 到点 F(0,4) 的距离比到直线 y=-5 的距离小 1 的动点 M 的轨迹方程为 ( 　　 ) A.y=16x 2 B.y=-16x 2 C.x 2 =16y D.x 2 =-16y 【 解析 】 选 C. 由条件知 : 动点 M 到 F(0,4) 的距离与到直线 y=-4 的距离相等 , 所以点 M 的轨迹是以 F(0,4) 为焦点 , 直线 y=-4 为准线的抛物线 , 其标准方程为 x 2 =16y. 2.( 选修 2-1P86 练习 T3 改编 ) 已知 △ABC 的顶点 B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长 |CD|=3, 则顶点 A 的轨迹方程为 ________________.  【解析】 设 A(x,y), 则 D , 所以 |CD|= =3, 化简得 (x-10) 2 +y 2 =36, 由于 A,B,C 三点构成三角形 , 所以 A 不能落在 x 轴上 , 即 y≠0. 答案 : (x-10) 2 +y 2 =36(y≠0)