2020高中数学 第2章 平面向量 第三讲 向量的坐标表示1 平面向量基本定理习题 苏教版必修4 3页

平面向量基本定理 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎1. 下列关于基底的说法正确的是________。（填序号）‎ ‎①平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底；‎ ‎②基底中的向量可以是零向量；‎ ‎③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的。‎ ‎**2. 设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝________。‎ ‎3. 设一直线上三点A，B，P满足（m≠－1），O是直线所在平面内一点，则用，表示为________。‎ ‎**4. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，若＝r＋s，则r＋s＝________。‎ ‎**5. 已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且，，，则＝________。‎ ‎**6. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________。‎ ‎*7.（保定高一检测）设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a。‎ ‎8. 平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n。‎ ‎（1）以b，d为基底，表示；‎ ‎（2）以m，n为基底，表示。‎ ‎**9. 如图所示，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：。‎ 3‎ ‎1. ①③ 解析：作为基底的两个向量不共线，故基底中的向量不能是零向量，②不正确，①③正确。‎ ‎2. 2 解析：由e1＋2e2＝λ（me1＋ne2），得mλ＝1且nλ＝2，‎ ‎∴＝2。‎ ‎3. 解析：由＝m得－＝m（），‎ ‎∴，∴。‎ ‎4. 解析：由E是AD的中点，则＝－＝－，则r＋s＝－。‎ ‎5. 0 解析：由，易知，所以，再由＝2，，可知3＝，3＝，所以2＋3＋3＝0。‎ ‎6. 解析：设＝b，＝a，则b－a，‎ ‎＝b－a，＝b－a，代入＝，‎ 得b－a＝（λ＋）b－（＋μ）a，‎ 即解得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝。‎ ‎7. 解：设a＝λ1b＋λ‎2c，λ1，λ2∈R则，‎ ‎－e1＋3e2＝λ1（4e1＋2e2）＋λ2（－3e1＋12e2），‎ 即－e1＋3e2＝（4λ1－3λ2）e1＋（2λ1＋12λ2）e2，‎ ‎∴ ∴ ∴a＝－b＋c。‎ ‎8. 解：如图所示，‎ ‎（1）－＝（b＋d）－（d＋b）＝‎ 3‎ b－d。‎ ‎（2）m＝＝d＋，①‎ n＝d，‎ 所以2n＝2＋d，②‎ 由①②消去d，得n－m。‎ ‎9. 【证明】记＝e1，＝e2，所以＝－3e2，＝－e1，‎ 则＝＝－3e2－e1，＝＝2e1＋e2，因为A，P，M共线，且B，P，N共线，所以存在实数λ，μ，使＝λ＝－3λe2－λe1，＝μ＝2μe1＋μe2，‎ 所以＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1‎ ‎＝（2μ＋λ）e1＋（μ＋3λ）e2，又＝＝2e1＋3e2，‎ 所以 解之得 所以，‎ 所以AP∶PM＝4∶1，即＝4。‎ 3‎