人教A版数学必修一课时提升作业(二十二) 9页

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(二十二) 幂 函 数 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.下列函数中,是幂函数的是 ( ) A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x2 【解析】选 C.由幂函数所具有的特征可知,选项 A,B,D 中 x 的系数不是 1;故只 有选项 C 中 y= =x-1 符合幂函数的特征. 【补偿训练】下列函数:①y=x2+1;②y= ;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y= +1.其 中是幂函数的是 ( ) A.①⑤ B.①②③ C.②④ D.②③⑤ 【解析】选 C.由幂函数所具有的特征可知②④符合,而①③⑤中有常数项 1,均 不符合幂函数的特征. 2.(2015·长治高一检测)若幂函数 y=(m2-3m+3)xm-2 的图象不过原点,则 m 的取值 范围为 ( ) A.1≤m≤2 B.m=1 或 m=2 C.m=2 D.m=1 【解析】选 D.由题意得 解得 m=1. 3.函数 y=x-2 在区间 上的最大值是 ( ) A. B. C.4 D.-4 【解析】选 C.y=x-2 在区间 上单调递减, 所以 x= 时,取得最大值为 4. 【延伸探究】若本题的条件不变,则此函数在区间 上的最大值和最小值之和 为多少? 【解析】y=x-2 在区间 上单调递减,所以 x=2 时,取得最小值为 ,当 x= 时,取 得最大值为 4.故最大值和最小值的和为 . 4.在下列函数中,定义域为 R 的是 ( ) A.y= B.y= C.y=2x D.y=x-1 【解析】选 C.选项 A 中函数的定义域为[0,+∞),选项 B,D 中函数的定义域均为(- ∞,0)∪(0,+∞). 【误区警示】本题在确定函数的定义域时易忽略指数是负数,从而自变量不能为 0 的情况,导致错选 B 或 D. 【补偿训练】设α∈ ,则使函数 y=xα的定义域为 R 且为奇函数的所有 α的值为 ( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 【解析】选 A.函数 y=x-1 的定义域是 ,函数 y= 的定义域是[0,+∞),函 数 y=x 和 y=x3 的定义域为 R 且为奇函数. 5.(2015·荆门高一检测)函数 y=|x (n∈N,n>9)的图象可能是 ( ) 【解析】选 C.因为 y=|x 为偶函数,所以排除选项 A,B.又 n>9,所以 <1.由幂函 数在(0,+∞)内幂指数小于 1 的图象可知,只有选项 C 符合题意. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.幂函数 f(x)=xα过点 ,则 f(x)的定义域是 . 【解析】因为幂函数 f(x)过点 ,所以 =2α, 所以α=-1,所以 f(x)=x-1= , 所以函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 答案:(-∞,0)∪(0,+∞) 7.(2015·铁岭高一检测)若 y=a 是幂函数,则该函数的值域是 . 【解析】由已知 y=a 是幂函数,得 a=1,所以 y= ,所以 y≥0,故该函数的值 域为[0,+∞). 答案:[0,+∞) 【补偿训练】(2014·济宁高一检测)当 x∈(0,+∞)时,幂函数 y=(m2-m-1)xm 为减 函数,则实数 m 的值为 . 【解析】由于函数 y=(m2-m-1)xm 为幂函数, 所以 m2-m-1=1,解得 m=-1 或 m=2. 当 m=2 时函数在(0,+∞)上递增,所以要舍去. 当 m=-1 时函数在(0,+∞)上递减, 所以 m=-1 符合题意,故填-1. 答案:-1 8.若函数 f(x)是幂函数,且满足 =3,则 f 的值等于 . 【解析】依题意设 f(x)=xα,则有 =3,得α=log23, 则 f(x)= ,于是 f = = = = . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.比较下列各组数的大小: (1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2; (3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 【解析】(1)由于函数 y=x0.1 在第一象限内单调递增, 又因为 1.1<1.2,所以 1.10.1<1.20.1. (2) 由 于 函 数 y=x-0.2 在 第 一 象 限 内 单 调 递 减 , 又 因 为 0.24<0.25, 所 以 0.24-0.2>0.25-0.2. (3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数 y=x0.3 在第一象限内单调递增, 而 0.2<0.3,所以 0.20.3<0.30.3. 再比较同底数的两个数的大小,由于函数 y=0.3x 在定义域内单调递减,而 0.2<0.3,所以 0.30.3<0.30.2. 所以 0.20.3<0.30.3<0.30.2. 10.已知幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上为增函数,求满 足条件(a+1 <(3-2a 的实数 a 的取值范围. 【解析】因为幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,所以函数y=x3-p 是偶函数. 又 y=x3-p 在(0,+∞)上为增函数, 所以 3-p 是偶数且 3-p>0. 因为 p∈N*,所以 p=1, 所以不等式(a+1 <(3-2a 化为: (a+1 <(3-2a . 因为函数 y= 是[0,+∞)上的增函数, 所以 ⇒ ⇒-1≤a< ,故实数 a 的取值范围为 . (20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是 ( ) A.y= B.y=x2 C.y=x3 D.y= 【解析】选 B.函数 y= ,y=x3,y= 在各自定义域上均是增函数,y=x2 在(-∞,0) 上是减函数. 【补偿训练】下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是 ( ) A.y= B.y=x4 C.y=x-2 D.y= 【解析】选 B.函数 y=x4 是过点(0,0),(1,1)的偶函数,故 B 正确;函数 y=x-2 不过 点(0,0),故 C 不正确;函数 y= ,y= 是奇函数,故 A,D 不正确. 2.在同一坐标系内,函数 y=xa(a≠0)和 y=ax- 的图象可能是 ( ) 【解析】选 C.当 a<0 时,函数 y=ax- 在 R 上是减函数,此时 y=xa 在(0,+∞)上也 是减函数,同时为减的只有 D 选项,而函数 y=ax- 与 y 轴相交于点 ,此点 在 y 轴的正半轴上,故 D 选项不适合.当 a>0 时,函数 y=ax- 在 R 上是增函数,与 y 轴相交于点 ,此点在 y 轴的负半轴上,只有 A,C 适合,此时函数 y=xa 在 (0,+∞)上是增函数,进一步判断只有 C 适合. 【补偿训练】函数 y=xα与 y=αx(α∈{-1,1, ,2,3})的图象只可能是下面中的 哪一个 ( ) 【解析】选 C.A 中直线对应函数 y=x,曲线对应函数为 y=x-1,1≠-1,故 A 错;B 中 直线对应函数为 y=2x,曲线对应函数为 y= ,2≠ ,故 B 错;C 中直线对应函数为 y=2x,曲线对应函数为 y=x2,,22=2×2,故 C 对;D 中直线对应函数为 y=-x,曲线对 应函数为 y=x3,-1≠3.故 D 错. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.设 a= ,b= ,c= ,则 a,b,c 的大小关系是 . 【解析】因为 y= 在 x∈(0,+∞)上递增, 所以 > ,即 a>c,因为 y= 在 x∈(-∞,+∞)上递减,所以 > ,即 c>b,所以 a>c>b. 答案:a>c>b 4.(2015·徐州高一检测)已知幂函数 f = (m∈Z)的图象与 x 轴,y 轴都无 交点,且关于原点对称,则函数 f 的解析式是 . 【解题指南】由于函数的图象与 x 轴,y 轴都无交点,所以 m2-1<0,再根据图象关 于原点对称,且 m∈Z,确定 m 的值. 【解析】因为函数的图象与 x 轴,y 轴都无交点,所以 m2-1<0,解得-1g ,x 为何值时 f 1 或 x<-1 时,f >g ; 当-11). (1)求函数 g(x)的解析式. (2)当 x∈(t,a)时,g(x)的值域为(1,+∞),试求 a 与 t 的值. 【 解 析 】 (1) 因 为 f(x) 是 幂 函 数 , 且 在 (0,+ ∞ ) 上 是 增 函 数 , 所 以 解得 m=-1, 所以 g(x)=loga . (2)由 >0 可解得 x<-1 或 x>1, 所以 g(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞). 又 a>1,x∈(t,a),可得 t≥1, 设 x1,x2∈(1,+∞),且 x10,x1-1>0,x2-1>0, 所以 - = >0, 所以 > . 由 a>1,有 loga >loga ,即 g(x)在(1,+∞)上是减函数.又 g(x)的值域是 (1,+∞), 所以 得 g(a)=loga =1,可化为 =a, 解得 a=1± ,因为 a>1,所以 a=1+ , 综上,a=1+ ,t=1. 【补偿训练】已知函数 f(x)=xm- 且 f(4)= . (1)求 m 的值. (2)判定 f(x)的奇偶性. (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 【解析】(1)因为 f(4)= ,所以 4m- = , 所以 m=1. (2)由(1)知 f(x)=x- , 因为 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 又 f(-x)=-x- =- =-f(x), 所以 f(x)是奇函数. (3)f(x)在(0,+∞)上单调递增. 设 x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2)=x1- - =(x1-x2) , 因为 x1>x2>0,所以 x1-x2>0,1+ >0, 所以 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. 关闭 Word 文档返回原板块