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- 2021-04-15 发布
考点06二次函数与幂函数
（1）了解幂函数的概念.
（2）结合函数的图象，了解它们的变化情况.
一、二次函数
1．二次函数的概念
形如的函数叫做二次函数.
2．表示形式
(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.学/
(3)两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.
3．二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称性
函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性
当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数.
在上是增函数；
在上是减函数.
最值
当时，
当时，
4．常用结论
(1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根.
(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1−x2|=.
(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0().
二、幂函数
1．幂函数的概念
一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
过定点
过定点
过定点
3．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
考向一求二次函数或幂函数的解析式
1．求二次函数解析式的方法
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下：
2．求幂函数解析式的方法
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
(1)指数为常数；
(2)底数为自变量；
(3)系数为1.
典例1已知幂函数的图象过点，则
A． B．1
C． D．2
【答案】A
1．若函数是幂函数，且满足，则的值等于
A． B．
C． D．
考向二幂函数的图象及性质的应用
1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0,1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α
α>1
0<α<1
α<0
图象
特殊点
过(0,0)，(1,1)
过(0,0)，(1,1)
过(1,1)
凹凸性
下凸
上凸
下凸
单调性
递增
递增
递减
举例
y=x2
、
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：
结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
典例2如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．故本题选B．
2．当时，幂函数的图象不可能经过的象限是
A．第二象限 B．第三象限
C．第四象限 D．第二、四象限
典例3设，则的大小关系是
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
【答案】A
【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量.
3．设，则之间的关系是
A． B．
C． D．
考向三二次函数的图象及性质的应用
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略：
1．图象识别问题
辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．
2．二次函数最值问题的类型及处理思路
(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
3．解决一元二次方程根的分布问题的方法
常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析．
4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题
往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.
(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.
另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
6．如果函数对任意的实数x，都有，那么
A． B．
C． D．
7．若，，则下列各式中一定正确的是
A． B．
C． D．
8．当时，函数在时取得最大值，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
9．若，则满足的的取值范围是___________．
10．若，且，则的最小值为___________．
1．（2017年高考浙江卷）若函数f(x)=x2+ ax+b在区间上的最大值是M，最小值是m，则M – m
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
2．（2016年高考新课标III卷）已知，则
A． B．
C． D．
3．（2016年高考浙江卷）已知函数f(x)=x2+bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x
)的最小值相等”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2017年高考北京卷）已知，，且x+y=1，则的取值范围是_________．
变式拓展
1．【答案】A
2．【答案】D
【解析】的图象经过第一、三象限，的图象经过第一象限，的图象经过第一、三象限，的图象经过第一、三象限．故选D．
3．【答案】A
【解析】由函数的图象可知，又由函数的图象可得该函数在上单调递增，因为，所以，综上所述选A．
4．【答案】A
【解析】因为时，函数在区间上为增函数；函数在区间上为增函数时，．所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件．故选A．
5．【答案】C
【解析】令f(x)=g(x)，即x2−2(a＋2)x＋a2=−x2＋2(a−2)x−a2＋8，即x2−2ax＋a2−4=0，解得x=a＋2或x=a−2.f(x)与g(x)的图象如图．
由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a−2)，∴A−B=f(a＋2)−g(a−2)=(a＋2)2−2(a＋2)2＋a2＋(a−2)2−2(a−2)2＋a2−8=−16.
考点冲关
1．【答案】B
2．【答案】C
【解析】函数的对称轴为，因为函数的单调递减区间为，所以，所以，故选C．
3．【答案】B
【解析】因为幂函数的图象不过原点，所以，解得或．故选B．
4．【答案】A
【解析】当时，8＞0成立；当时，，即，解得，
所以实数m的取值范围是．故选A．
5．【答案】B
【解析】幂函数a=2，b=，c=，d=−1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x=1的右侧部分的图象，由下至上幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.
6．【答案】D
【解析】由题意，函数对任意的实数x，都有，则说明二次函数的对称轴为，开口向上，则，则，故选D．
7．【答案】A
8．【答案】D
【解析】当时，，在时取得最小值，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，
若，要使在时取得最大值，则，解得；
若，要使在时取得最大值，则，解得，与矛盾，舍去．
综上，实数a的取值范围是．故选D．
9．【答案】
【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.
10．【答案】
【解析】令，由，可得当时，取得最小值．
直通高考
1．【答案】B
【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
2．【答案】A
【解析】因为，，又函数在上是增函数，所以，即，故选A．
【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构，联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及对数，则联系对数的单调性来解决．
3．【答案】A
【解析】由题意知，最小值为.
令，则，
当时，的最小值为，所以“”能推出“的最小值与的最小值相等”；
当时，的最小值为0，的最小值也为0，所以“的最小值与的最小值相等”不能推出“”．故选A.
4．【答案】
【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.