【数学】2019届一轮复习人教A版导数的概念及运算学案 17页

第10讲　导数的概念及运算 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ‎1．定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，‎ 即f′(x0)＝ ＝ .‎ ‎2．几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ 考点2　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝nxn－1‎ f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0且a≠1)‎ f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax ‎(a>0且a≠1，x>0)‎ f′(x)＝ f(x)＝ln x(x>0)‎ f′(x)＝ 考点3　导数的运算法则 若y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ 考点4　复合函数的导数 设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．‎ ‎2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.‎ ‎3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．‎ ‎4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　)‎ ‎(2)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．(　　)‎ ‎(3)′＝cos.(　　)‎ ‎(4)若(ln x)′＝，则′＝ln x．(　　)‎ ‎(5)y＝cos3x由函数y＝cosu，u＝3x复合而成．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2．[课本改编]f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.故选D.‎ ‎3．[2018·九江模拟]已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为(　　)‎ A．3 B．2 C．1 D. 答案　B 解析　因为y＝－3ln x，所以y′＝－.再由导数的几何意义，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故选B.‎ ‎4．[课本改编]若曲线y＝ex＋ax＋b在点(0,2)处的切线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a＋b＝(　　)‎ A．3 B．－1 C．1 D．－3‎ 答案　A 解析　因为直线x＋3y＋1＝0的斜率为－，所以切线l的斜率为3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲线过点(0,2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.故选A.‎ ‎5．[2018·秦皇岛模拟]函数f(x)＝exln x在点(1，f(1))‎ 处的切线方程是(　　)‎ A．y＝2e(x－1) B．y＝ex－1‎ C．y＝e(x－1) D．y＝x－e 答案　C 解析　f(1)＝0，∵f′(x)＝ex，∴f′(1)＝e，∴切线方程是y＝e(x－1)．故选C.‎ ‎6．[2018·烟台诊断]已知曲线y＝asinx＋cosx在x＝0处的切线方程为x－y＋1＝0，则实数a的值为________．‎ 答案　1‎ 解析　因为y′＝acosx－sinx，y′|x＝0＝a，根据题意知a＝1.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　导数的基本运算 例　1　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝x；‎ ‎(3)y＝sin3x＋sin3x；(4)y＝.‎ 解　(1)y′＝′＝ ‎＝－.‎ ‎(2)因为y＝x3＋＋1，所以y′＝3x2－.‎ ‎(3)y′＝(sin3x)′＋(sin3x)′＝3sin2xcosx＋3cos3x.‎ ‎(4)y′＝′＝[(2x－1)－3]′‎ ‎＝－3(2x－1)－4×2＝－6(2x－1)－4.‎ 触类旁通 导数的运算方法 ‎(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；‎ ‎(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；‎ ‎(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；‎ ‎(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；‎ ‎(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．‎ ‎【变式训练】　(1)已知函数f(x)在x＝1处的导数为－，则f(x)的解析式可能为(　　)‎ A．f(x)＝x2－ln x B．f(x)＝xex C．f(x)＝sin D．f(x)＝＋ 答案　D 解析　A中f′(x)＝′＝x－，‎ B中f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex，‎ C中f′(x)＝′＝2cos，‎ D中f′(x)＝′＝－＋.‎ 分别将x＝1代入检验，知D符合．‎ ‎(2)求下列函数的导数：‎ ‎①y＝；②y＝sin.‎ 解　①y′＝[(1－2x) ]′＝－(1－2x) ×(－2)＝(1－2x) .‎ ‎②y′＝′＝cos×(－2)＝－2cos＝－2cos.‎ 考向　导数几何意义的应用 命题角度1　求切线的方程 例　2　曲线y＝f(x)＝e2x＋1在点处的切线方程为________．‎ 答案　2x－y＋2＝0‎ 解析　∵f′(x)＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，‎ ‎∴f′＝2e0＝2，‎ ‎∴曲线y＝e2x＋1在点处的切线方程为y－1＝2，即2x－y＋2＝0.‎ 命题角度2　求切点的坐标 例　3　[2018·江西模拟]若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ 答案　(e，e)‎ 解析　设P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．∴k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．‎ 命题角度3　求参数的值 例　4　已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)‎ A．－1 B．－3 C．－4 D．－2‎ 答案　D 解析　∵f′(x)＝，‎ ‎∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，‎ 又f(1)＝0，‎ ‎∴切线l的方程为y＝x－1.‎ g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2.故选D.‎ 触类旁通 求解曲线切线方程应注意的问题 ‎(1)对于曲线的切线方程的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．‎ ‎(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．‎ 核心规律 ‎1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即[f(x0)]′＝0.‎ ‎2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导．‎ 满分策略 ‎1.利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆．‎ ‎2.直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点．‎ ‎3.曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y＝0是曲线y＝x3在点(0,0)处的切线．‎ 板块三　启智培优·破译高考 易错警示系列3——求曲线的切线方程考虑不全面致错 ‎[2018·浙江杭州质检]若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于(　　)‎ A．－1或－ B．－1或 C．－或－ D．－或7‎ 错因分析　(1)审题不仔细，未对(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，不知所措，无法与导数的几何意义联系．‎ 解析　∵y＝x3，∴y′＝3x2.‎ 设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，‎ 则在该点处的切线斜率为k＝3x，所以切线方程为：‎ y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.‎ 又点(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝.‎ 当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；‎ 当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，得a＝－1.‎ 综上，a＝－1或a＝－.故选A.‎ 答案　A 答题启示　(1)求曲线的切线方程，首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.‎ (2)求解切线问题时，无论是已知切线的斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.‎ 跟踪训练 ‎[2018·山西师大附中质检]已知曲线y＝x3＋.‎ ‎(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；‎ ‎(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．‎ 解　(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4.‎ 所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.‎ ‎(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′＝x.‎ 所以切线方程为y－＝x(x－x0)，‎ 即y＝x·x－x＋.‎ 因为点P(2,4)在切线上，所以4＝2x－x＋，‎ 即x－3x＋4＝0，所以x＋x－4x＋4＝0，‎ 所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，‎ 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，‎ 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎[A级　基础达标]‎ ‎1．若f(x)＝e2xln 2x，则f′(x)＝(　　)‎ A．e2xln 2x＋ B．e2xln 2x＋ C．2e2xln 2x＋ D．2e2x· 答案　C 解析　f′(x)＝(e2x)′·ln 2x＋e2x·(ln 2x)′＝2e2xln 2x＋.故选C.‎ ‎2．[2018·海南文昌中学模拟]曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1‎ C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1‎ 答案　A 解析　依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.故选A.‎ ‎3．[2018·大同模拟]已知函数f(x)＝xsinx＋ax，且f′＝1，则a＝(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ 答案　A 解析　∵f′(x)＝sinx＋xcosx＋a，且f′＝1，‎ ‎∴sin＋cos＋a＝1，即a＝0.‎ ‎4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为(　　)‎ A．1 B．2 C．－1 D．－2‎ 答案　B 解析　设直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln (x0＋a)．‎ 又曲线的导函数y′＝，所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1.‎ 又y0＝ln (x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.‎ ‎5．[2018·金版创新]已知f(x)＝－x2＋2xf′(2017)＋2017ln x，则f′(1)＝(　　)‎ A．2016 B．6045 C．2017 D．6048‎ 答案　D 解析　因为f′(x)＝－x＋2f′(2017)＋，所以f′(2017)＝－2017＋2f′(2017)＋，即f′(2017)＝2017－1＝2016.‎ 故f′(x)＝－x＋2×2016＋，f′(1)＝－1＋2×2016＋2017＝6048.故选D.‎ ‎6．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为(　　)‎ A．1 B．2 C．5 D．－1‎ 答案　A 解析　由题意可得3＝k＋1,3＝1＋a＋b，则k＝2.又曲线的导函数y′＝3x2＋a，所以3＋a＝2，解得a＝－1，b＝3，所以2a＋b＝1.故选A.‎ ‎7．[2018·上饶模拟]若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案　B 解析　因为定义域为(0，＋∞)，所以y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.‎ ‎8．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋1，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，因为点(2,7)在切线上，所以7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.‎ ‎9．直线x－2y＋m＝0与曲线y＝相切，则切点的坐标为________．‎ 答案　(1,1)‎ 解析　∵y＝＝x，∴y′＝x，令y′＝x＝，则x＝1，则y＝＝1，即切点坐标为(1,1)．‎ ‎10．[2018·江苏模拟]在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．‎ 答案　－3‎ 解析　由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，得 ‎4a＋＝－5.①‎ 又y′＝2ax－，所以当x＝2时，4a－＝－，②‎ 由①②得所以a＋b＝－3.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·南昌模拟]已知f(x)＝2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)‎ A．y＝0 B．y＝2x C．y＝x D．y＝－2x 答案　B 解析　∵f(x)＝2exsinx，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)，∴‎ f′(0)＝2，∴曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.‎ ‎2．曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则实数a＝(　　)‎ A．1 B．－1 C．7 D．－7‎ 答案　C 解析　f′(x)＝＝，‎ ‎∵f′(1)＝tan＝－1，即＝－1，∴a＝7.‎ ‎3．[2018·陕西模拟]设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．‎ 答案　(1,1)‎ 解析　y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k＝1，又曲线y＝(x＞0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝(x＞0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝(x＞0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．‎ ‎4．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．‎ 解　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.‎ 设切点为(x0，y0)，‎ ‎∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①‎ f′(x0)＝1－＝k，②‎ ‎①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.‎ 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.‎ ‎∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.‎ ‎5．[2018·苏州十校联考]设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ 解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，故解得故f(x)＝x－.‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，‎ 由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，‎ 即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.‎ 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面 积为|－||2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.‎