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- 2021-04-15 发布
专题2 正弦定理与余弦定理的应用
1．实际问题中的常用角：
(1)仰角和俯角；
(2)方位角；
(3)方向角．
2．三角形面积公式：
(1)S＝ah(h表示a边上的高)；
(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
例1 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝2，cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S.
变式1 在△ABC中，若a＝2，C＝，cos B＝，求△ABC的面积S.
例2
如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D
为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D间的距离(计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449)．
变式2 如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为______．
例3 A，B，C是海面上三点，B点北偏西60°且距离B点10海里的A点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达A点需要多长时间？
变式3 如图所示，一架飞机从A地飞到B地，两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700 km远了多少？
A级
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )
A. B.
C. D.
2．若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则角A的对边长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A．40 B．20
C．40 D．20
4．小红向正东方向走x千米后，她向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果她离出发点恰好千米，那么x的值为( )
A. B．2
C.或2 D．3
5．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______．
6．已知三角形的三边为a，b，c面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.
7．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
B级
8．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )
A．15 m B．5 m
C．10 m D．12 m
9．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )
A. B.
C. D.
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
11．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则∠B＝__________.
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B＝，cos A＝，b＝.
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积．
详解答案
典型例题
例1 解 由正弦定理及＝2，得c＝2a.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cos B＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×，
解得a＝1.从而c＝2.
又因为cos B＝，且0