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- 2021-04-15 发布
潮南实验学校2017-2018下学期4月理科数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【来源：全,品…中&高*考+网】
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知等差数列前9项的和为，则
A. 100 B. 99 C. 98 D. 97
2. 设，其中是实数，则
A. 1 B. C. D. 2
3. 设集合，则
A. B. C. D.
4. 执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
5. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
6. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
A. B. C. D.
7. 已知P是椭圆上的动点，则P点到直线l：的距离的最小值为【来源：全,品…中&高*考+网】
A. B. C. D.
8. 已知向量，且，则
A. B. C. 6 D. 8
1. 观察下列一组数据
，
，
，
，
则从左到右第一个数是
A. 91 B. 89 C. 55 D. 45
2. 设满足约束条件，则的最小值是
A. B. C. 1 D. 9
3. 在中，的对边分别为，若，则
A. B. C. D.
4. 已知定义在R上的偶函数，其导函数为；当时，恒有，若，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
5. 已知，则与的大小是______ ．
6. 函数的图象可由函数的图象至少向右平移______ 个单位长度得到．
7. 设向量，且，则 ______ ．
8. 已知p：：，则p是q的______ 条件从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
9. 的内角的对边分别为，已知．
求c；
设D为BC边上一点，且，求的面积．
10.
盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分现从盒内任取3个球
Ⅰ求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
Ⅱ求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
Ⅲ设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望．
1. 已知数列的前n项和为，且，
求数列的通项公式；
若，设数列的前n项和为，证明．
2. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面ABCD，已知．
设M是PC上一点，求证：平面平面PAD；
求四棱锥的体积．
3. 若函数，当时，函数有极值．
求函数的解析式；
求函数的极值；
若关于x的方程有三个零点，求实数k的取值范围．
4.
已知抛物线C：的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于两点，交C的准线于两点．
Ⅰ若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明；
Ⅱ若的面积是的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
答案和解析
【答案】
1. C 2. B 3. D 4. D 5. C 6. C 7. A
8. D 9. A 10. A 11. C 12. A
13.
14.
15.
16. 充分不必要
17. 解：，
，
，
，
由余弦定理可得，
即，
即，
解得舍去或，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
18. 解：Ⅰ取出的3个球中至少有一个红球的概率：
分
Ⅱ记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C
，
则 分
Ⅲ可能的取值为分
，
，
，
分
的分布列为：【来源：全,品…中&高*考+网】【来源：全,品…中&高*考+网】
0【来源：全,品…中&高*考+网】
1
2
3
P
的数学期望分；
19. 解：当时，得，
当时，得，
所以，
由得：，
又
得
两式相减得：，
故，
所以．
20. 证明：在三角形ABD中由勾股定理得，
又平面平面ABCD，平面平面，
所以平面PAD，
又平面BDM，
所以平面平面PAD；
解：取AD中点为O，则PO是四棱锥的高，
底面ABCD的面积是三角形ABD面积的，即，
所以四棱锥的体积为．
21. 解：
由题意知，
解得，
所求的解析式为；
由可得
令，得或，
因此，当时，有极大值，
当时，有极小值；
由知，得到当或时，为增函数；当时，为减函数，
函数的图象大致如图．
由图可知：．
22. Ⅰ证明：连接，
由及，得，
，
是PQ的中点，
，
≌，
，
，
，
，
．
Ⅱ设，
，准线为，
，
设直线AB与x轴交点为N，
，
的面积是的面积的两倍，
，即．
设AB中点为，由得，
又，
，即．
中点轨迹方程为．
【解析】
1. 解：等差数列前9项的和为27，
，
又，
，
，
故选：C
根据已知可得，进而求出公差，可得答案．
本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．
2. 解：，
，
即，解得，即，
故选：B．
根据复数相等求出的值，结合复数的模长公式进行计算即可．
本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出的值是解决本题的关键．
3. 解：集合，
，
，
故选：D
解不等式求出集合，结合交集的定义，可得答案．
本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．【来源：全,品…中&高*考+网】
4. 解：由题可知初始值，
要使输出S的值小于91，应满足“”，
则进入循环体，从而，
要使输出S的值小于91，应接着满足“”，
则进入循环体，从而，
要使输出S的值小于91，应不满足“”，跳出循环体，
此时N的最小值为2，
故选：D．
通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．
本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
5. 解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，
在轴截面中圆锥的母线长是，
圆锥的侧面积是，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
圆柱表现出来的表面积是
空间组合体的表面积是，
故选：C．
空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．
6. 解：从中任取一个字母，再从中任取一个数字，取法总数为：
共15种．
其中只有一个是小敏的密码前两位．
由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．
故选：C．
列举出从中任取一个字母，再从中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．
本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．
7. 解：设，则P到直线l的距离，
当时，d取得最小值．
故选：A．
设，代入距离公式化简得，根据三角函数的性质即可得出d
的最小值．
本题考查了椭圆的性质，点到直线的距离公式，属于中档题．
8. 解：向量，
，
又，
，
解得：，
故选：D．
求出向量的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．
本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
9. 解：观察数列 中，，
各组和式的第一个数为：
即，
其第n项为：．
第10项为：．
从而的第一个加数为91．
故选A．
观察数列 中，各组和式的第一个数：找出其规律，从而得出的第一个加数为91．
本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力属于中档题．
10. 解：x、y满足约束条件的可行域如图：
经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由解得，
则的最小值是：．
故选：A．
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
11. 解：在中，由余弦定理得：，
代入已知等式得：，即，
，
故选：C．
利用余弦定理，结合条件，两边除以ac，求出，即可求出的值．
此题考查了余弦定理，考查学生的计算能力，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
12. 解：定义在R上的偶函数，
时，恒有，
，
，
，
在为减函数，
为偶函数，
为偶函数，
在上为增函数，
，
即，
解得，
故选：A
根据函数为偶函数，则也为偶函数，利用导数可以判断在为减函数，则不等式转化为，解得即可
本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题
13. 解：，
，
，
，
，
故答案为：
作差即可比较出大小．
本题考查了“作差法”比较两个数的大小，属于基础题．
14. 解：，
，
令，
则，
即
，
当时，正数，
故答案为：．
令，则，依题意可得，由，可得答案．
本题考查函数y x的图象变换得到y A A，的图象，得到是关键，也是难点，属于中档题．
15. 解：，
可得．
向量，
可得，解得．
故答案为：．
利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．
16. 解：：，解得．
是q的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要
q：，解得即可判断出结论．
本题考查了一元二次方程的解法、充分不必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17. 先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，
先根据夹角求出，求出AD的长，再求出和的面积，即可求出的面积．
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题
18. Ⅰ可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解；
Ⅱ可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；
Ⅲ可能的取值为，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解；
此题主要考查离散型随机变量的期望与方差，互斥事件与对立事件的定义，计算的时候要仔细，是一道基础题；
19. 利用递推关系即可得出．
利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
本题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20. 推导出平面PAD，由此能证明平面平面PAD．
取AD中点为O，则PO是四棱锥的高，由此能求出四棱锥
的体积．
本题本题考査空间面面关系判定及向何体体积的计算，考查面面垂直的证明，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
21. 先对函数进行求导，然后根据可求出的值，进而确定函数的解析式．
根据中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而函数的极值；
由得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．
本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．
22. Ⅰ连接，利用等角的余角相等，证明，即可证明；
Ⅱ利用的面积是的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．
本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．