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- 2021-04-15 发布
2016-2017学年河北省张家口市涿鹿中学高二（上）第三次调研数学试卷（理科）
一、单项选择题（60分，每小题5分）
1．在区间[1，7]上任取一个数，这个数在区间[5，8]上的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆 +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A． +=1 B． +=
C． +=1 D． +=1
3．某校有40个班，每班50人，每班派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是（ ）
A．40 B．50 C．120 D．150
4．已知p：x＞0，y＞0，q：xy＞0，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．双曲线3x2﹣y2=3的离心率为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．已知△ABC的顶点A（0，﹣4）、B（0，4），且4（sinB﹣sinA）=3sinC，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．﹣=1（x＞3） B．﹣=1（x＜﹣7）
C．﹣=1（y＞3） D．﹣=1（y＜﹣3）
7．设△ABC是等腰三角形，∠
ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知a∈R，则“a＜2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A． B． C． D．
10．若点P到点F（2，0）的距离比它到直线x+3=0的距离小1，则点P的轨迹方程是（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．x2=8y
11．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
组别
（0，10]
（10，20]
（20，30]
（30，40]
（40，50]
（50，60]
（60，70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在（10，50]上的频率为（ ）
A．0.13 B．0.37 C．0.52 D．0.68
12．将一枚骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，]上为减函数的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（20分，每小题5分）
13．若点P（3，﹣4，5）在平面xoy内的射影为M，则OM的长为 ．
14．将二进制数110 101（2）转为七进制数，结果为 ．
15．若数据a1，a2，a3，a5，a6这6个数据的平均数为，方差为0.20，则数据a1，a2，a3，a5，a6，这7个数据的方差是 ．
16．设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为 ．
三、解答题
17．以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且过点P（﹣2，﹣4）的抛物线标准方程为 ．
18．如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
19．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为、离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（I）求椭圆方程；
（II）求m的取值范围．
20．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与BC所成的角是60°．
21．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．
（Ⅰ）若a，b都是从集合{1，2，3，4}中任取的数字，求方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a是从区间[0，4]中任取的数字，b是从区间[1，4]中任取的数字，求方程有实根的概率．
22．已知椭圆c： =1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2是正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．
2016-2017学年河北省张家口市涿鹿中学高二（上）第三次调研数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（60分，每小题5分）
1．在区间[1，7]上任取一个数，这个数在区间[5，8]上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．
【解答】解：在区间[1，7]上任取一个实数，相应的基本事件对应的区间长度为l=6．
取[1，7]与[5，8]交集，得到区间[5，7]，相应基本事件对应的区间长度l'=2．
因此，所求的概率为P==．
故选C．
2．已知椭圆 +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A． +=1 B． +=
C． +=1 D． +=1
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2 和b2的值，可得椭圆的方程．
【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，
故椭圆的方程为 +=1，
故选：D．
3．某校有40个班，每班50人，每班派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是（ ）
A．40 B．50 C．120 D．150
【考点】分层抽样方法．
【分析】由题意，第班抽三人，四十个班共抽取120人，由此知样本容量即为120，选出正确选项即可
【解答】解：由题意，是一个分层抽样，每个班中抽三人，总共是40个班，故共抽取120人组成样本
所以，样本容量是120人
故选C．
4．已知p：x＞0，y＞0，q：xy＞0，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】直接利用充要条件的判定方法判断即可，x＞0，y＞0，⇒xy＞0，而xy＞0不能推得x＞0，y＞0．
【解答】解：因为：x＞0，y＞0，⇒xy＞0，即p⇒q；
而xy＞0，表明x，y同号，即可推得，x＞0，y＞0，或x＜0，y＜0，
即不能由q推得p，
故p是q的充分不必要条件．
故选A．
5．双曲线3x2﹣y2=3的离心率为（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】将双曲线3x2﹣y2=3化成标准形式，得，从而得出出a、b的值，用平方关系算出c==2，再用双曲线的离心率公式，可得离心率e的值．
【解答】解：双曲线3x2﹣y2=3化成标准形式为
∴a2=1，b2=3，得c==2
由此可得双曲线的离心率为e==2
故选D
6．已知△ABC的顶点A（0，﹣4）、B（0，4），且4（sinB﹣sinA）=3sinC，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．﹣=1（x＞3） B．﹣=1（x＜﹣7）
C．﹣=1（y＞3） D．﹣=1（y＜﹣3）
【考点】轨迹方程．
【分析】利用正弦定理，转化顶点C的轨迹满足双曲线定义，推出方程即可．
【解答】解：∵4（sinB﹣sinA）=3sinC，∴由正弦定理得4|AC|﹣4|BC|=3|AB|，
即|CA|﹣|CB|=×8=6．∴C点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的上支．
可得a=3，c=4，b=，
则顶点C的轨迹方程是：﹣=1（y＞3）．
故选：C．
7．设△ABC是等腰三角形，∠
ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题设条件可知2c=|AB|，所以，由双曲线的定义能够求出2a，从而导出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意2c=|AB|，所以，由双曲线的定义，有，
∴
故选B．
8．已知a∈R，则“a＜2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；绝对值不等式的解法．
【分析】要判断“a＜2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．
【解答】解：函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）
则当a＜2时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立
反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2
故“a＜2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充要条件
故选C
9．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环累加循环变量的值到累加变量S，并在循环变量k值大于等于8时，输出累加结果．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，k=0
满足条件k＜8，k=2，s=，
满足条件k＜8，k=4，s=+，
满足条件k＜8，k=6，s=++，
满足条件k＜8，k=8，s=+++=，
不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．
故选：A．
10．若点P到点F（2，0）的距离比它到直线x+3=0的距离小1，则点P的轨迹方程是（ ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．x2=8y
【考点】轨迹方程．
【分析】利用已知条件转化求解抛物线方程即可．
【解答】解：点P到点F（2，0）的距离等于它到直线x+2=0的距离，
所以由抛物线的定义知：点P的轨迹是以点F（2，0）为焦点，
以直线x+2=0为准线的抛物线，且p=4，故点P的轨迹方程为y2=8x．
故选：C．
11．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
组别
（0，10]
（10，20]
（20，30]
（30，40]
（40，50]
（50，60]
（60，70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在（10，50]上的频率为（ ）
A．0.13 B．0.37 C．0.52 D．0.68
【考点】频率分布表．
【分析】根据所给的表格，算出样本落在（20，30]上的频率，样本事件落在（10，20]上的频率，样本事件落在（30，40]上的频率，样本事件落在（40，50]上的频率，数据就落在四个区间上是互斥的，根据互斥事件的概率得到结果．
【解答】解：由表格知，样本事件落在（10，20]上的频率是=0.13，
样本事件落在（20，30]上的频率是=0.24，
样本事件落在（30，40]上的频率是=0.15，
样本事件落在（40，50]上的频率是=0.16
落在四个区间上是互斥的，
根据互斥事件的概率得到样本事件落在（10，50]上的频率是0.13+0.24+0.15+0.16=0.68
故选D．
12．将一枚骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，]上为减函数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型；二次函数的性质．
【分析】确定函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，]
上为减函数满足条件，求出基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，即可求概率．
【解答】解：由题意，函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，]上为减函数满足条件
∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，
∴a取1、2时，b可取1，2，3，4，5，6；a取3、4时，b可取2，3，4，5，6；a取5、6时，b可取3，4，5，6，共30种
∵（a，b）的取值共36种情况
∴所求概率为=
故选D．
二、填空题（20分，每小题5分）
13．若点P（3，﹣4，5）在平面xoy内的射影为M，则OM的长为 5 ．
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】先求出M点坐标，再利用两点间距离公式求解．
【解答】解：∵点P（3，﹣4，5）在平面xoy内的射影为M，
∴M（3，﹣4，0），
∴OM==5．
故答案为：5．
14．将二进制数110 101（2）转为七进制数，结果为 104（7） ．
【考点】进位制．
【分析】本题的考查点为二进制与十进制数，七进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案．
【解答】解：先将二进制数110 101（2）转为十进制数，
110101（2）=1+1×22+1×24+1×25=53，
再把十进制的53化为七进制：
53÷7=7…4，
7÷7=1…0，
1÷7=0…1，
所以结果是104（7）
故答案为：104（7）．
15．若数据a1，a2，a3，a5，a6这6个数据的平均数为，方差为0.20，则数据a1，a2，a3，a5，a6，这7个数据的方差是 ．
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】求出a1，a2，a3，a5，a6，这6个数据的方差，从而求出a1，a2，a3，a5，a6，这7个数据的方差．
【解答】解：由题意知=，
0.2=，
故++…+=1.2；
从而数据a1，a2，a3，a4，a5，a6，这7个数据的平均数为： =，
故这7个数据的方差为==，
故答案为：．
16．设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为 9 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的简单性质、余弦定理列出方程组，求出PF1•PF2
=36，由此能求出△F1PF2的面积．
【解答】解：∵F1、F2是双曲线的两个焦点，P是此双曲线上的点，∠F1PF2=60°，
不妨设PF1＞PF2，
∴，
∴，
整理，得PF1•PF2=36，
∴△F1PF2的面积S==9．
故答案为：9
三、解答题
17．以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且过点P（﹣2，﹣4）的抛物线标准方程为 y2=﹣8x或x2=﹣y ．
【考点】抛物线的标准方程．
【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=2px和x2=﹣2py，然后将M点坐标代入即可求出抛物线标准方程．
【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点 （﹣2，﹣4），
设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0）
∴16=4p，解得p=4，
∴y2=﹣8x．
（2）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点 （﹣2，﹣4），
设它的标准方程为x2=﹣2py（p＞0）
∴4=﹣8p，
解得：p=﹣．
∴x2=﹣y
故答案为：y2=﹣8x或x2=﹣y．
18．如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）由题意，联立方程组，根据判别式从而求实数b的值；
（2）求出点A的坐标，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，问题得以解决．
【解答】解：（1）由得x2﹣4x﹣4b=0，①
因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，
解得b=﹣1．
（2）由（1）可知b=﹣1，故方程①即为x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入x2=4y，得y=1．
故点A（2，1），
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，
所以圆A的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．
19．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为、离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（I）求椭圆方程；
（II）求m的取值范围．
【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）先设椭圆的标准方程，根据短轴长为、离心率为可求出a，b，c的值，从而得到答案．
（2）先设l与椭圆C交点为A、B的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，进而得到两根之和、两根之积，再表示出再将两根之和、两根之积代入可得，整理可得＞0解出m的范围．
【解答】解：（I）设C： =1（a＞b＞0），设c＞0，c2=a2﹣b2，
由条件知2b=，，
∴a=1，b=c=
故C的方程为：
（II）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
由得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0
得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0
△=（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）=4（k2﹣2m2+2）＞0（*）
，
∵∴﹣x1=3x2
∴
得3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴3
整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2=0
m2=时，上式不成立；m2时，，
由（*）式得k2＞2m2﹣2
因k≠0∴＞0，
∴﹣1＜m＜﹣或＜m＜1
即所求m的取值范围为（﹣1，﹣）∪（，1）．
20．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与BC所成的角是60°．
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．
【分析】（1）要证AM∥平面BDE，直线证明直线AM平行平面BDE内的直线OE即可；
（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，说明∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角，然后求二面角A﹣DF﹣B的大小．
（3）设出线段AC上P点的坐标，由PF与CD所成的角是60°，得到向量夹角的余弦值为，得到关于t 的等式，由此可求得P点的坐标
【解答】解：（1）记AC与BD的交点为O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE
∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角
在Rt△ASB中，AS==，AB=，
∴tan∠ASB=，∠ASB=60°，
∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°；
（3）如图设P（t，t，0）（0≤t≤），
则=（﹣t，﹣t，1），=（，0，0）
又∵，夹角为60°，∴，
解之得t=或t=（舍去），
故点P为AC的中点时满足题意．
21．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．
（Ⅰ）若a，b都是从集合{1，2，3，4}中任取的数字，求方程有实根的概率；
（Ⅱ）若a是从区间[0，4]中任取的数字，b是从区间[1，4]中任取的数字，求方程有实根的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．
【分析】（Ⅰ）列举所有的情况，找出方程有实根的事件包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可；
（Ⅱ）画出a是从区间[0，4]中任取的数字，b是从区间[1，4]中任取的数字的可行域，找出方程有实根的事件所代表的平面区域，利用几何概型概率公式计算即可．
【解答】解：（I）设事件A为“方程有实根”，
记（a，b）为取到的一种组合，则所有的情况有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
一共16种且每种情况被取到的可能性相同．
∵关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根，
∴△=4a2﹣4b2≥0，
∴a≥b．
∴事件A包含的基本事件有：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），
（4，3），（4，4）共10种．
∴P（A）=．
∴方程有实根的概率是．
（Ⅱ）设事件B=“方程有实根”，记（a，b）为取到的一种组合．
∵a是从区间[0，4]中任取的数字，b是从区间[1，4]中任取的数字，
∴点（a，b）所在区域是长为4，宽为3的矩形区域．
又∵满足a≥b的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P（B）==．
∴方程有实根的概率是．
22．已知椭圆c： =1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2是正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．
【考点】椭圆的简单性质；两点间的距离公式．
【分析】（1）根据椭圆的定义和△AF1F2周长为6，建立关于a、b、c的方程组，解之得a=2、b=且c=1，即可得到椭圆C的标准方程，用离心率的公式即可得到该椭圆的离心率；
（2）设直线AF1的方程为y=（x+1），求出原点O关于直线AF1
的对称点M的坐标为（﹣，），从而得到|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|=，再由MF2的方程y=﹣（x﹣1）与AF1方程联解，即可得到此时点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意，得，解之得a=2，b=，c=1
故椭圆C的方程为=1，离心率e=；
（2）∵△AF1F2是正三角形，可得直线AF1的斜率为k=tan=
∴直线AF1的方程为y=（x+1）
设点O关于直线AF1的对称点为M（m，n），则，
解之得m=﹣，n=，可得M坐标为（﹣，），
∵|PO|=|PM|，|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|＞|MF2|
∴|PF2|+|PM|的最小值为|MF2|==
直线MF2的方程为y=（x﹣1），即y=﹣（x﹣1）
由解得，所以此时点P的坐标为（﹣，）．
综上所述，可得求|PF2|+|PO|的最小值为，此时点P的坐标为（﹣，）．